初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试复习练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列叙述正确的有(    )个.

（1）随着的增大而增大；

（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；

（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；

（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；

（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．

A．0 B．1 C．2 D．3

2、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

3、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（   ）

A．70° B．50° C．20° D．40°

4、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

5、下列说法正确的个数有（    ）

①方程的两个实数根的和等于1；

②半圆是弧；

③正八边形是中心对称图形；

④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；

⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6、如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

7、下列语句判断正确的是（　　）

A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形

D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（    ）

A．3 B．1 C． D．

9、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

10、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（　　）

A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．

（1）点M的纵坐标为______；

（2）当最大时，点P的坐标为______．

2、如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为，则∠BAC＝________度．

3、如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若，则AC＋BC＝_____．

4、如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．

5、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝15°，求BE的长度；

（3）在（2）的条件下，求的长．

2、如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：

（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．

（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．

（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．

3、请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．

下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

证明：如图2，在上截取，连接和．

是的中点，

…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；

（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．

4、如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．

5、如图1，在中，，，点D为AB边上一点．

（1）若，则______；

（2）如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：；

（3）如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．

【详解】

当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；

如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；

∵圆的直径所对的圆周角为直角

∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；

三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；

∵

∴

∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．

2、B

【分析】

圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.

【详解】

解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，

  ⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，

直线l与⊙O的位置关系为相切，

故选B

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.

3、D

【分析】

首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．

【详解】

解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠P=140°，

∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．

故选：D．

【点睛】

此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．

4、C

【分析】

过点A作AC⊥x轴于点C，设 ，则 ，根据勾股定理，可得，从而得到 ，进而得到∴ ，可得到点 ，再根据旋转的性质，即可求解．

【详解】

解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

设 ，则 ，

∵ ，，

∴，

∵， ，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，

∴点 ，

∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，

∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．

故选：C

【点睛】

本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．

5、B

【分析】

根据所学知识对五个命题进行判断即可．

【详解】

1、，故方程无实数根，故本命题错误；

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；

3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；

4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；

5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误

综上所述，正确个数为3

故选B

【点睛】

本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．

6、C

【分析】

如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．

【详解】

解：如图，过点C作 CT⊥AB 于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，

由题意可得AB垂直平分线段OK，

∴AO=AK，OH=HK=3，

∵OA=OK，

∴OA=OK=AK，

∴∠OAK=∠AOK=60°，

∴AH=OA×sin60°=6×=3，

∵OH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AB=2AH=6，

∵OC+OH⩾CT，

∴CT⩽6+3=9，

∴CT的最大值为9，

∴△ABC的面积的最大值为=27，

故选：C.

【点睛】

本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．

7、A

【分析】

根据等边三角形的对称性判断即可．

【详解】

∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

∴B，C，D都不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．

8、D

【分析】

根据题意及旋转的性质可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，由勾股定理即可求得，进而求得阴影部分的面积．

【详解】

解：如图，设与相交于点，

，，

，

旋转，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，

阴影部分的面积为

故选D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．

9、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

10、D

【分析】

根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．

【详解】

解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于

设半径为r，即OA=OB=AB=r，

OM=OA•sin∠OAB=，

∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），

∴△AOB的面积为（cm2），

即，

，

解得r=4，

故选：D．

【点睛】

本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．

二、填空题

1、5    (4，0)   

【分析】

（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；

（2）点P在⊙M切点处时，最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，

∵A(0，2)，B(0，8)，

∴点M的纵坐标为：，

故答案为：5；

（2）过点，，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，最大，

理由：

若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，

设交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，

∵∠AEB是ΔAE的外角，

∴∠AEB>∠AB，

∵∠APB>∠AB，即点P在切点处时，∠APB最大，

∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，

∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，

设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5，

而∠POD=90°，

∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，

由勾股定理，得

MD=，

∴OP=MD=4，

∴点P的坐标为(4，0)，

故答案为：(4，0)．

【点睛】

本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．

2、60

【分析】

在Rt△BOE中，利用勾股定理求得OE=1，知OB=2OE，得到∠BOE=60°，∠BOC=120°，再利用圆周角定理即可解决问题．

【详解】

解：如图作OE⊥BC于E．

∵OE⊥BC，

∴BE=EC=，∠BOE=∠COE，

∴OE=1，

∴OB=2OE，

∴∠OBE=30°，

∴∠BOE=∠COE=60°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BAC=60°，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．

3、##

【分析】

连接，延长交于点，连接，先根据圆周角定理和圆的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而可得，作，交于点，从而可得，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，设，从而可得，利用直角三角形的面积公式可求出的值，由此即可得．

【详解】

解：如图，连接，延长交于点，连接，

都是的直径，

，

，

，

在中，，

，

平分，且，

，

，

，

，

如图，作，交于点，

，

在中，，

，

设，则，

，

，

解得或（不符题意，舍去），

则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值、圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和等腰三角形是解题关键．

4、65

【分析】

连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可．

【详解】

解：如图所示：连接OA，OC，OB，

∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴DO平分，EO平分，

∴，，

∴，，

∴，

故答案为：65．

【点睛】

题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

5、六

【分析】

设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则，由此即可得到答案．

【详解】

解：设这个正多边形的边数为n，

∵正多边形的半径与边长相等，

∴OA=OB=AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴，

∴，

∴正多边形的边数是六，

故答案为：六．

【点睛】

本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

三、解答题

1、（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）如图，过作 垂足分别为 连接证明 四边形为正方形，可得 证明 可得答案；

（2）先求解 再结合（1）的结论可得答案；

（3）如图，连接 先求解 再证明 再求解 可得 再利用弧长公式计算即可.

【详解】

解：（1）如图，过作 垂足分别为 连接

四边形为矩形，

由勾股定理可得： 而

四边形为正方形，

而

（2）如图，过作 垂足分别为

由（1）得：四边形为正方形，

OA＝2，∠OAB＝15°，

（3）如图，连接

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；

（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；

（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．

【详解】

解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；

（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；

（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；

∵AB=AG，BC=CG，

∴AC⊥BG，

∵△ABG的面积为，

∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

3、

（1）证明见解析；

（2）．

【分析】

（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；

（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．

（1）

证明：如图2，在上截取，连接，，和．

是的中点，

．

在和中

，

，

，

又，

，

；

（2）

解：如图3，截取，连接，，，

由题意可得：，

∵

∴，

在和中

，

，

，

，

，则，

，

，

∵，

∴

则

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．

4、边长为，边心距为

【分析】

过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．

【详解】

解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，

∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，

∴∠BOC==90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，   

∴BE=OE．                                  

在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得

∵OE2+BE2=OB2,

∴OE2+BE2=36,

∴OE= BE=，          

 ∴BC=2BE=，

 即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．

5、

（1）5

（2）证明见解析

（3）

【分析】

(1)过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质求出CM和DM，再根据勾股定理计算即可；

(2)连BE，先证明,即可得到直角三角形ABE，利用勾股定理证明即可；

（3）取AC中点N，连接FN、BN，根据三角形BFN中三边关系判断即可．

（1）

过C作CM⊥AB于M，

∵，

∴

∵

∴

∴在Rt中

（2）

连接BE，

∵，，，

∴,

∴

∴，

∴

在Rt中

∴

∴

（3）

取AC中点N，连接FN、BN，

∵，，

∴

∵AF垂直CD

∴

∵AC中点N，

∴

∴

∵三角形BFN中

∴

∴当B、F、N三点共线时BF最小，最小值为．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．