2021学年第24章 圆综合与测试同步测试题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）

A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)

3、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

4、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（    ）cm．

A．3π B．6π C．12π D．18π

5、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

6、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（    ）

A．19° B．38° C．52° D．76°

7、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

8、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（    ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

9、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（      ）

A．55° B．60° C．65° D．75°

10、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：

已知：⊙O（纸片），其半径为．

求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．

作法：①如图1，取⊙O的直径，作射线，过点作的垂线；

②如图2，以点为圆心，为半径画弧交直线于点；

③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；

④取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点；

⑤以为边作正方形．

正方形即为所求．

根据上述作图步骤，完成下列填空：

（1）由①可知，直线为⊙O的切线，其依据是________________________________．

（2）由②③可知，，，则_____________，____________（用含的代数式表示）．

（3）连接，在Rt中，根据，可计算得_________（用含的代数式表示）．由此可得．

2、在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（2，0），∠OCB=30°，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，则△AOE面积的最大值为___________

3、如图，与x轴交于、两点，，点P是y轴上的一个动点，PD切于点D，则△ABD的面积的最大值是________；线段PD的最小值是________．

4、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________

5、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝15°，求BE的长度；

（3）在（2）的条件下，求的长．

2、如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中．

（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在的内部且平分，此时三角板OPQ旋转的角度为______度；

（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分，射线OD平分，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC与OD第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．

3、如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若sin∠CAB=，求=_______．（直接写出答案）

4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．

（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：　     ；

（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；

（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

5、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

已知：⊙O.

求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.

作法：如图，

①作直径AB；

②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；

③作直线MO交⊙O于点C，D；

④连接AC，BC．

所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO是AB的垂直平分线．

∴AC=                 ．

∵AB是直径,

∴∠ACB=        (                        ) (填写推理依据) ．

∴△ABC是等腰直角三角形．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

2、B

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

3、D

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、B

【分析】

利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【详解】

解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

5、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6、B

【分析】

连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.

【详解】

解：连接 为的直径，

为的切线，

故选B

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.

7、B

【分析】

由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．

【详解】

解：根据题意，如图：

∵AB是的直径，OD是半径，，

∴AE=CE，

∴阴影CED的面积等于AED的面积，

∴，

∵，，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．

8、B

【分析】

设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．

【详解】

解：设∠ADC=α，∠ABC=β；

∵四边形ABCO是菱形，

∴∠ABC=∠AOC；

∠ADC=β；

四边形为圆的内接四边形，

α+β=180°，

∴ ，

解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，

故选：B．

【点睛】

该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.

9、C

【分析】

由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．

【详解】

解：∵OA=OB，，

∴∠BAO=．

∴∠AOB=130°．

∴=∠AOB=65°．

故选：C．

【点睛】

此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

10、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．

【详解】

解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AM=BM，，，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得CM和DM不一定相等，

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．

二、填空题

1、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2），；（3）

【分析】

（1）根据切线的定义判断即可．

（2）由=AC+，计算即可；根据计算即可．

（3）根据勾股定理，得即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．

【详解】

解：（1）∵⊙O的直径，作射线，过点作的垂线，

∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

 （2）根据题意，得AC=r，==πr，

∴=AC+=r+πr，

∴=；

∵，

∴MA=-r=，

故答案为：，；                               

（3）如图，连接ME，

根据勾股定理，得

=

=；

 故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．

2、

【分析】

过点作轴，交于点，根据中位线定理可得，设点到轴的距离为G，则△AOE的边上的高，作的外接圆，则当点位于图中处时，最大，根据三角形面积公式计算即可．

【详解】

解：过点作轴，交于点，

∵A（－1，0），B（2，0），

∴，，

∵D为线段BC的中点，轴，

∴，

∴，

设点到轴的距离为，

则△AOE的边上的高，

作的外接圆，

则当点位于图中处时，最大，

因为，

∴，

∴为等边三角形，

∴,

∴,

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，根据题意得出点的位置是解本题的关键．

3、       

【分析】

根据题中点的坐标可得圆的直径，半径为1，分析以AB定长为底，点D在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP，设点，根据切线的性质及勾股定理可得，由其非负性即可得．

【详解】

解：如图所示：当点P到如图位置时，的面积最大，

∵、，

∴圆的直径，半径为1，

∴以AB定长为底，点D在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：

此时面积的最大值为：；

如图所示：连接AP，

∵PD切于点D，

∴，

∴，

设点，

在中，，，

∴，

在中，，

∴，

则，

当时，PD取得最小值，

最小值为，

故答案为：①；②．

【点睛】

题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．

4、

【分析】

由勾股定理求得圆锥母线长为，再由圆锥的侧面积公式即可得出圆锥侧面积为．

【详解】

∵是一个圆锥在某平面上的正投影

∴为等腰三角形

∵AD⊥BC

∴

在中有

即

由圆锥侧面积公式有．

故答案为：。

【点睛】

本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．

5、

【分析】

根据圆心角为的扇形面积是进行解答即可得．

【详解】

解：这个扇形的面积．

故答案是：．

【点睛】

本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．

三、解答题

1、（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）如图，过作 垂足分别为 连接证明 四边形为正方形，可得 证明 可得答案；

（2）先求解 再结合（1）的结论可得答案；

（3）如图，连接 先求解 再证明 再求解 可得 再利用弧长公式计算即可.

【详解】

解：（1）如图，过作 垂足分别为 连接

四边形为矩形，

由勾股定理可得： 而

四边形为正方形，

而

（2）如图，过作 垂足分别为

由（1）得：四边形为正方形，

OA＝2，∠OAB＝15°，

（3）如图，连接

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.

2、

（1）135°

（2）∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析

（3）s或s．

【分析】

（1）先根据OP平分得到∠PON，然后求出∠BOP即可；

（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；

（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．

（1）

解：∵OP平分∠MON

∴∠PON=∠MON=45°

∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．

故答案是135°

（2）

解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：

∵∠MON=90°，∠POQ=60°

∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,

∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．

（3）

解：∵射线OC平分，射线OD平分

∴∠NOC=45°，∠POD=30°

∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°

∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB旋转的角度为33×5°=165°

∴此时OC与OE的夹角165-（180-45-2×33）=96°

OC与OD第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒

设在OC与OD第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t

①当OE在OC的左侧时，有（5°-2°）t=96°-13°，解得：t=s

②当OE在OC的右侧时，有（5°-2°）t=96°+13°，解得：t=s

然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象

∵C、D第二次相遇需要时间72秒

∴在OC与OD第二次相遇前，当时，、旋转时间t的值为s或s．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

3、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）如图，连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠ACO，即可得出∠FAC=∠ACO，可得AF//OC，根据平行线的性质可得∠AFC+∠OCF=180°，根据CF⊥AF可得∠OCF=90°，即可得出CF是⊙O的切线；

（2）利用AAS可证明△AFC≌△AEC，可得S△AFC=S△AEC，根据垂径定理可得CE=DE，可得S△BCD=2S△BCE，根据AB是直径可得∠ACB=90°，根据角的和差关系可得∠BCE=∠CAB，根据正弦的定义可得，可得BE=，AB=，进而可得AE=，根据三角形面积公式即可得答案．

（1）

（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠ACO，

∵∠FAC=∠BAC，

∴∠FAC=∠ACO，

∴AF//OC，

∴∠AFC+∠OCF=180°，

∵CF⊥AF，

∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线．

（2）

在△AFC和△AEC中，，

∴△AFC≌△AEC，

∴S△AFC=S△AEC，

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE，

∴S△BCD=2S△BCE，

∵∠BCE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，

∴∠BCE=∠CBA，

∵sin∠CAB=，

∴sin∠CAB=sin∠BCE=，

∴BE=，AB=，

∴AE=，

∴====．

故答案为：

【点睛】

本题考查切线的判定、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是90°；垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；在直角三角形中，锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

4、（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；

（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；

（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．

【详解】

（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），

故答案为：（4，﹣1）；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．

【点睛】

本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．

5、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角

【分析】

（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；

（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．

【详解】

（1）①作直径AB；

②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；

③作直线MO交⊙O于点C，D；

④连接AC，BC．

所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.

（2）证明：连接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO是AB的垂直平分线．

∴AC=BC．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．

∴△ABC是等腰直角三角形．

故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．

【点睛】

本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．