2023届高考一轮复习讲义（理科）第一章　集合与常用逻辑用语 第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第一章　集合与常用逻辑用语 第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案，共12页。


一、知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．
(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
(2)全称命题与特称命题
(3)全称命题与特称命题的否定
常用结论
1．一组关系
2.两类否定
(1)﹁(p∧q)⇔(﹁p)∨(﹁q)．
(2)﹁(p∨q)⇔(﹁p)∧(﹁q)．
3．三个口诀
(1)p∨q→见真即真．
(2)p∧q→见假即假．
(3)p与﹁p→真假相互．
4．四组等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真．
二、习题改编
1．(选修2­1P25例4改编)命题“∃x0∈R，lg2x0＋2<0”的否定是_________________．
答案：∀x∈R，lg2x＋2≥0
2．(选修2­1P31B组T1改编)在一次驾照考试中，甲、乙两名学员各试驾一次．设p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为________．
答案：(﹁p)∨(﹁q)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．( )
(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．( )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题． ( )
(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )
(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)全称命题或特称命题的否定出错；
(2)不会利用真值表判断命题的真假；
(3)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误；
(4)判断命题真假时忽视对参数的讨论．
1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．
答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形
2．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若eq \f(1,x)＞eq \f(1,y)，则x＜y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨q中，真命题是________．(填序号)
解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③﹁q为真命题，则p∧(﹁q)为真命题；④﹁p为假命题，则(﹁p)∨q为假命题．
答案：②③
3．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为________．
解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．
答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0
4．若p：∀x∈R，ax2＋4x＋1>0是假命题，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，4]
[学生用书P8]
含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)
1．(2020·惠州调研)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②﹁p∨q ③p∧﹁q ④﹁p∧﹁q
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
解析：选A.通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.
优解：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.
eq \a\vs4\al()
判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
全称命题与特称命题(多维探究)
角度一 全称命题、特称命题的否定
(1)(2020·西安模拟)命题“∀x＞0，eq \f(x,x－1)＞0”的否定是( )
A．∃x＜0，eq \f(x,x－1)≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1
C．∀x＞0，eq \f(x,x－1)≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1
(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为 ( )
A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
【解析】 (1)因为eq \f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq \f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B.
(2)由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．
【答案】 (1)B (2)D
角度二 全称命题、特称命题的真假判断
(1)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，x2≥0
B．∀x∈R，2x－1＞0
C．∃x0∈R，lg x0＜1
D．∃x0∈R，sin x0＋cs x0＝2
(2)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，ex＞0 B．∀x∈N，x2＞0
C．∃x0∈R，ln x0＜1 D．∃x0∈N*，sin eq \f(π,2)x0＝1
【解析】 (1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，所以－eq \r(2)≤sin x＋cs x≤eq \r(2)，所以D错误．
(2)对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．
【答案】 (1)D (2)B
eq \a\vs4\al()
(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
(2)全称命题与特称命题真假的判断方法
[提醒] 因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
(2020·河南八所重点高中第二次联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则﹁p为( )
A．∀f(x)∈A，|f(x)|∉B
B．∀f(x)∉A，|f(x)|∉B
C．∃f(x)∈A，|f(x)|∉B
D．∃f(x)∉A，|f(x)|∉B
解析：选C.全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，得﹁p为∃f(x)∈A，|f(x)|∉B，故选C.
由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)
已知p：存在x0∈R，mxeq \\al(2,0)＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．
【解】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．
【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p∧q为真，求实数m的取值范围．
解：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；
当q是真命题时，有－2＜m＜2，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＜0，,－2＜m＜2，))可得－2＜m＜0.
【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．
解：若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假．
当p真q假时eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＜0，,m≥2或m≤－2，))所以m≤－2；
当p假q真时eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0，,－2＜m＜2，))所以0≤m＜2.
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．
eq \a\vs4\al()
根据命题的真假求参数取值范围的策略
(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题．
(2)含逻辑联结词问题：
①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
②根据题意确定每个命题的真假；
③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．
1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)若命题“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，1＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：根据题意得不等式1＋tan x≤m，∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))恒成立，因为y＝1＋tan x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上为增函数，所以(1＋tan x)max＝1＋tan eq \f(π,3)＝1＋eq \r(3)，则有m≥1＋eq \r(3)，即实数m的取值范围是[1＋eq \r(3)，＋∞)．
答案：[1＋eq \r(3)，＋∞)
2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－eq \f(a,4)≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．
答案：(－∞，－12)∪(－4，4)
[学生用书P262(单独成册)]
[基础题组练]
1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为( )
A．任意常数列不是等比数列
B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列
D．不存在常数列是等比数列
解析：选C.因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C.
2．已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，﹁p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
B．p是假命题，﹁p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
C．p是真命题，﹁p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
D．p是真命题，﹁p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
解析：选C.易知f′(x)＝cs x－1<0，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0，故选C.
3．(2020·河北唐山第一次模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝xcs x的图象关于y轴对称．则下列命题为真命题的是( )
A．﹁p B．q
C．p∧q D．p∧(﹁q)
解析：选D.对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcs x，有g(－x)＝(－x)cs(－x)＝－xcs x＝－g(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p∧q为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D.
4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是( )
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“﹁p”为真命题 D．“﹁q”为假命题
解析：选A.由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.
5．(2020·湖南株洲二模)已知命题p：∀x>0，ex>x＋1，命题q：∃x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选C.令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0，所以ex>x＋1，命题p为真命题；
令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，所以g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以q假．故选C.
6．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：存在x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋1<0，则﹁p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：选D.由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
7．(2020·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )
A．p为假命题 B．﹁q为真命题
C．p∨q为真命题 D．p∧q为假命题
解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然有∃x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2（x≥0），,－x2（x＜0）))在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C.
8．有四个关于三角函数的命题：
P1：∃x∈R，sin x＋cs x＝2；
P2：∃x∈R，sin 2x＝sin x；
P3：∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， eq \r(\f(1＋cs 2x,2))＝cs x；
P4：∀x∈(0，π)，sin x＞cs x.
其中真命题是( )
A．P1，P4 B．P2，P3
C．P3，P4 D．P2，P4
解析：选B.因为sin x＋cs x＝eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，所以sin x＋cs x的最大值为eq \r(2)，可得不存在x∈R，使sin x＋cs x＝2成立，得命题P1是假命题；
因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题；
因为eq \f(1＋cs 2x,2)＝cs2x，所以 eq \r(\f(1＋cs 2x,2))＝|cs x|，结合x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))得cs x≥0，由此可得 eq \r(\f(1＋cs 2x,2))＝cs x，得命题P3是真命题；
因为当x＝eq \f(π,4)时，sin x＝cs x＝eq \f(\r(2),2)，不满足sin x＞cs x，
所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cs x不成立，故命题P4是假命题．
故选B.
9．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)，则其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋eq \f(4,x)的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C.
10．有下列四个命题：
(1)命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题；
(2)设p：eq \f(x,x＋2)＞0，q：x2＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件；
(3)命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题；
(4)非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.
其中真命题有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选C.对于(1)，∀x∈R，x2≥0，故(1)为假命题；
对于(2)，设p：eq \f(x,x＋2)＞0，q：x2＋x－2＞0，可得p∶x＞0或x＜－2；q：x＞1或x＜－2.由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故(2)为假命题；
对于(3)，命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为：若ab≠0，则a≠0且b≠0，
其否命题是真命题，故(3)为假命题；
对于(4)，非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，
可设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b，可得△OAB为等边三角形，
四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得a与a＋b的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.
11．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，eq \r(x)>x＋1”，则命题p可写为____________________．
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
12．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3由题意，得x＝－2.
答案：－2
[综合题组练]
1．(2020·西安模拟)下列各组命题中，满足“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘﹁q’为真”的是( )
A．p：y＝eq \f(1,x)在定义域内是减函数；q：f(x)＝ex＋e－x是偶函数
B．p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0；q：x>1是x>2成立的充分不必要条件
C．p：x＋eq \f(9,x)的最小值是6；q：直线l：3x＋4y＋6＝0被圆(x－3)2＋y2＝25截得的弦长为3
D．p：抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)；q：过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点的最短的弦长是3
解析：选B.A.y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．则命题p是假命题，易知q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．
B．判别式Δ＝1－4＝－3<0，则∀x∈R，x2＋x＋1≥0成立，即p是真命题，x>1是x>2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘﹁q’为真”，故B满足题意．
C．当x<0时，x＋eq \f(9,x)的最小值不是6，则p是假命题，圆心到直线的距离d＝eq \f(|3×3＋6|,\r(32＋42))＝eq \f(15,5)＝3，则弦长＝2eq \r(25－9)＝8，则q是假命题，则p∨q为假命题，不满足题意．
D．抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)，则p是真命题，椭圆的左焦点为(－1，0)，当x＝－1时，y2＝eq \f(9,4)，则y＝±eq \f(3,2)，则最短的弦长为eq \f(3,2)×2＝3，即q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．故选B.
2．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(﹁p)∧(﹁q)；④(﹁p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：显然命题p为真命题，﹁p为假命题．因为f(x)＝x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．所以命题q为假命题，﹁q为真命题．所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为假命题，(﹁p)∨q为假命题．
答案：②③④
3．若∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2xeq \\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．
解析：因为∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2xeq \\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得λ≤2x＋eq \f(1,x)恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋eq \f(1,x)，则f′(x)＝2－eq \f(1,x2)，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))时，f′(x)＜0，当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，2))时，f′(x)＞0，所以f(x)≥feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝2eq \r(2)，则λ≤2eq \r(2).
答案：(－∞，2eq \r(2)]
4．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2eq \r(2)x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(﹁q)是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为∀x∈R，不等式ax2＋2eq \r(2)x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝（2\r(2)）2－4a≤0，))解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得eq \f(5,2)＜a＜3.若命题p∧(﹁q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥2，,a≤\f(5,2)或a≥3，))解得2≤a≤eq \f(5,2)或a≥3，则实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))∪[3，＋∞)．
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))∪[3，＋∞)
p
q
p∧q
p∨q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
特称命题
存在M中的元素x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，﹁p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，﹁p(x)
否命题
命题的否定
区别
否命题既否定其条件，又否定其结论
命题的否定只是否定命题的结论
否命题与原命题的真假无必然联系
命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题为真
否定为假
假
存在一个对象使命题为假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题为真
否定为假
假
所有对象使命题为假
否定为真