2022年高考数学大一轮复习 第一章 第三节　不等关系与一元二次不等式课件PPT

课时跟踪检测（三）  不等关系与一元二次不等式

[素养落实练]

1．设c>0，则下列各式成立的是(　　)

A．c>2c　　　　　　　　 B．c>c

C．2c<c  D．2c>c

解析：选D　因为c>0时，2c>1，c <1，

所以2c>c .故选D.

2．若x，y满足－<x<y<，则x－y的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由x<y，得x－y<0.

又∵－<x－y<，

∴－<x－y<0.故选A.

3．(2021·汉中质检)对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是(　　)

A.  B．[2,8]

C．[2,8)  D．[2,7]

解析：选C　因为4[x]2－36[x]＋45<0，所以<[x]<，所以2≤x<8，故选C.

4．若a<b<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．>  B．a2<ab

C．<  D．an>bn

解析：选C　(特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A、B、D项均不正确；C项，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故选C.

5．(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是(　　)

A．－x2＋x＋1≤0

B．2x2－3x＋4＜0

C．x2＋3x＋10≤0

D．－x2＋4x－＞0(a＞0)

解析：选BCD　对于A，－x2＋x＋1≤0，对应的函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为∅；

对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为∅；

对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为∅；

对于D，－x2＋4x－＞0(a＞0)，对应的函数开口向下，Δ＝16－4≤16－4× 2 ＝0，其解集为∅.故选B、C、D.

6．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(　　)

A．(－3,5)  B．(－2,4)

C．[－1,3]  D．[－2,4]

解析：选C　因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}；当a＝1时，不等式的解集为∅. 要使得解集中至多包含1个整数，

则a＝1或1<a≤3或－1≤a<1，

所以实数a的取值范围是[－1,3]，故选C.

7．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　)

A．a＞0

B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6}

C．a＋b＋c＞0

D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为∪

解析：选ABD　关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，      ∴a＞0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C选项错误；不等式bx＋c＞0即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D选项正确．

8．若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a

C．c<a<b  D．b<a<c

解析：选B　对于函数y＝f(x)＝(x>e)，

y′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．

因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.

9．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．

解析：3x2＋x－2<0变形为(x＋1)(3x－2)<0，解得－1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.

答案：

10．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．

解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.

答案：a＜0＜b

11．(2021·顺义区模拟)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是________．

解析：不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，

∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，且即a＝2b<0，

则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1)．

答案：(－2，－1)(答案不唯一)

12．函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．

解：(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，

解得－6≤a≤2，

∴实数a的取值范围是[－6,2]．

(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥a恒成立，

即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立．

令g(x)＝x2＋ax＋3－a，则有①Δ≤0或

②或③

解①得－6≤a≤2，解②得a ∈∅，解③得－7≤a＜－6.

综上可知，实数a的取值范围是[－7,2]．

(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．

只需即

解得x≤－3－或x≥－3＋.

∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．

[梯度拔高练]

1．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0,1)间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？(　　)

A．“屏占比”不变  B．“屏占比”变小

C．“屏占比”变大  D．变化不确定

解析：选C　设升级前“屏占比”为，升级后“屏占比”为(a>b>0，m>0)，

因为－＝>0，所以手机“屏占比”和升级前比“屏占比”变大．

2．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－1,1)  B.

C.  D．(0,2)

解析：选B　由题意，新定义x⊗y＝x(1－y)，

那么(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)．

∵不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，

即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，

化简得：x2－x＞a2－a－1，

∵(x2－x)min＝－，∴只需a2－a－1＜－即可．

解得－＜a＜，∴a的取值范围为，故选B.

3．若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．

解析： f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，即x2－2x＋1<a(x＋1)－1，分别令y1＝x2－2x＋1，y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A＝{x∈Z|f (x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，∴解得<a≤.

答案：

4．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？

解：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，

则y＝400＋60t－120.

令＝x，则x2＝6t，

即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，

所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，最少水量是40吨．

(2)依题意400＋10x2－120x<80，得x2－12x＋32<0，

解得4<x<8，即4<<8，<t<，

因为－＝8，所以每天约有8小时供水紧张．