第三节　不等关系与一元二次不等式课件PPT

展开

这是一份第三节　不等关系与一元二次不等式课件PPT，共43页。

学习要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元二次不等式.
1.两个实数比较大小的依据(1)a-b>0⇔a>b.(2)a-b=0⇔a=b.(3)a-b<0⇔a2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c.(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒①    a+c>b+d     .(4)可乘性:a>b,c>0⇒②    ac>bc    ;a>b,c<0⇒acb>0,c>d>0⇒ac>bd.(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n>1).(6)可开方性:a>b>0⇒ > (n∈N,n≥2).
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
▶提醒　开口向上的二次不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.
1.倒数性质的四个必备结论(1)a>b,ab>0⇒ < .(2)a<0b>0,0 .(4)02.简单分式不等式(1) ≥0(≤0)⇔ (2) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).
3.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时,不要忘记讨论当a=0时的情形.
4.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ 或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 或
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)a>b⇔ac2>bc2. (　　)(2)a=b⇔ac=bc. (　　)(3)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. (　　)(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R. (　　)
2.(新教材人教B版必修第一册P71练习BT1改编)已知集合A={x|x2-5x+4<0},B ={x|x2-x-6<0},则A∩B= (　　)A.(-2,3)　　　    B.(1,3)C.(3,4)　　　    D.(-2,4)
3.(易错题)若a>b>0,c0　　　    B. - <0C. > 　　　     D. <
【易错点分析】　误用不等式的可乘性致误.
4.比较两数的大小: + 　>     + .
5.(易错题)对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是　(-4,0]    .【易错点分析】　对参数的讨论忽略二次项系数为0的情况致误.
考点一　比较两个数(式)的大小
(2)若a= ,b= ,比较a与b的大小.
名师点评比较大小常用的方法 ▶提醒　用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、因式分解、配方等.
1.若a,b∈[0,+∞),A= + ,B= ,则A,B的大小关系是 (　　)A.A≤B　　　    B.A≥BC.AB
2.比较 + 与a+b(a>0,b>0)两个代数式的大小.
考点二　不等式性质的应用
1.(2020沈阳调研)若实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是(　　)A. <1　　　     B.2-x<2-yC.lg(x-y)>0　　　    D.x2>y2
解析    由x>y,得-x<-y,所以2-x<2-y,故选B.
2.(多选题)(2020商丘九校联考)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是 (　 )A.xy>yz　　　    B.xy>xzC.xz>yz　　　    D.x|y|>|y|z
解析    因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符号无法确定.对于A,由题意得x>z,若y<0,则xy<0z,x>0,所以xy>xz,故B正确;对于C,因为x>y,z<0,所以xz3.(2020河南开封模拟)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析    充分性:当a>b≥0时,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>b·b,此时成立.当0>a>b时,不等式a|a|>b|b|等价为-a·a>-b·b,即a2b时,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>-b·b,即a2>-b2,此时成立.故充分性成立;必要性:当a>0,b>0时, a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a-b>0,即a>b.当a>0,b<0 时,a>b.当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a-b> 0,即a>b,故必要性成立.综上可得,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.
名师点评判断不等式是否成立的三种方法:(1)直接利用不等式的性质逐个验证;(2)利用特殊值法排除错误选项,利用不等式的性质判断不等式是否成立时, 要特别注意前提条件;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考点三　一元二次不等式的解法
角度一　不含参数的一元二次不等式
典例2　(1)(2020江西模拟)已知集合A={x|x2-4x≤0},B={x|y=lg2(2-x)},则A∩B = (　　)A.{x|0≤x<2}　　　     B.{x|x<2}C.{x|0≤x≤4}　　　    D.{x|x≤4}
(2)(2020黑龙江大庆一中模拟)已知集合A={x|-3D.{-1,0,1,2,3}
解析　(1)因为A={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},B={x|2-x>0}={x|x<2},所以A∩B={x|0≤x<2}.(2)因为B={x∈N*|x2-2x-8<0}={x∈N*|(x-4)(x+2)<0}={x∈N*|-2角度二　含参数的一元二次不等式
典例3　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
1.解不含参数的一元二次不等式的步骤
2.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式;(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系;(3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.
1.(2020河南部分重点中学模拟)集合A={x|x>2},B={x|x2-2x-3>0},则A∩B= (　　)A.(3,+∞)　　　    B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(2,+∞)　　　    D.(2,3)
解析  B={x|x2-2x-3>0}=(-∞,-1)∪(3,+∞),A={x|x>2},故A∩B=(3,+∞).
2.解不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
考点四　一元二次不等式恒成立问题
角度一　在R上恒成立问题
典例4    (2020大庆实验中学期中)若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对于任意实数x 恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)A.(-∞,2)　　　    B.(-∞,2]C.(-2,2)　　　     D.(-2,2]
角度二　在给定区间上恒成立问题
典例5　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则 m的取值范围是         .
角度三　给定参数范围的恒成立问题
典例6　对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
1.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法:(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围).(2)转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
1.(2020铁岭调研)若不等式4x2+ax+4>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)A.(-16,0)　　　    B.(-16,0]C.(-∞,0)　　　    D.(-8,8)
解析    由题意知Δ=a2-4×4×4<0,即a2<64,解得-82.(2020湖北八校联考)若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对x∈(0,2]恒成立,则实数a 的取值范围为     ∪     .