沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步练习题

这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步练习题，共33页。试卷主要包含了点P关于原点O的对称点的坐标是等内容，欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆专项练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
2、如图，是△ABC的外接圆，已知，则的大小为（ ）

A．55° B．60° C．65° D．75°
3、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（ ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°
4、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（ ）

A．1 B． C． D．2
5、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
6、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
7、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（ ）
A．直径所对圆周角为 B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径
C．直径是最长的弦 D．垂直于弦的直径平分这条弦
8、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）
A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)
9、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（　　）

A． B．
C．或 D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
10、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．

2、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．

3、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

4、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步．

5、如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．

（1）求∠ABD的度数；
（2）图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝15°，求BE的长度；
（3）在（2）的条件下，求的长．
2、对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），，．

（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是______；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．
3、如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．

4、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．

5、如图，抛物线y＝－＋x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．


-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．
【详解】
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
2、C
【分析】
由OA=OB，，求出∠AOB=130°，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】
解：∵OA=OB，，
∴∠BAO=．
∴∠AOB=130°．
∴=∠AOB=65°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
3、B
【分析】
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．
4、B
【分析】
利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．
【详解】
解： 在Rt中，，
∴BC=3，，
连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
∵，
∴，
解得，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴，
∴，
故选：B．

【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
5、C
【分析】
过点A作AC⊥x轴于点C，设 ，则 ，根据勾股定理，可得，从而得到 ，进而得到∴ ，可得到点 ，再根据旋转的性质，即可求解．
【详解】
解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

设 ，则 ，
∵ ，，
∴，
∵， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，
∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．
故选：C
【点睛】
本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．
6、A
【分析】
根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．
【详解】
证明：∵绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴∠ADC=∠DAC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∴∠DAC=50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故选A．
【点睛】
本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
7、A
【分析】
定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.
【详解】
A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；
B、C选项，根据圆的定义可以得到；
D选项，是垂径定理；
故选：A
【点睛】
本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.
8、B
【分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】
解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
9、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，

则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴，
∴，
∴AP= ，
∴OP= 或OP= ，
∴P或P，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
10、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【详解】
解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
二、填空题
1、76°或142°
【分析】
设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．
【详解】
解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，
∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，
∴∠BOD=2∠BCD，
①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，
连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；
②若BC为等腰三角形的腰时，
当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，
连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，
当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，
综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，
故答案为：76°或142°．

【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
2、4
【分析】
由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．
【详解】
∵⊙O的周长为8π
∴⊙O半径为4
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴正六边形ABCDEF中心角为
∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的
∴正六边形ABCDEF边长为4.
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于，由中心角为得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．
3、
【分析】
连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．
4、6
【分析】
依题意，直角三角形性质，结合题意能够容纳的最大为内切圆，结合内切圆半径，利用等积法求解即可；
【详解】
设直角三角形中能容纳最大圆的半径为：；
依据直角三角形的性质：可得斜边长为：
依据直角三角形面积公式：，即为；
内切圆半径面积公式：，即为；
所以，可得：，所以直径为：；
故填：6；
【点睛】
本题主要考查直角三角形及其内切圆的性质，重点在理解题意和利用内切圆半径求解面积；
5、65
【分析】
连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可．
【详解】
解：如图所示：连接OA，OC，OB，

∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴DO平分，EO平分，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：65．
【点睛】
题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
三、解答题
1、（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）如图，过作 垂足分别为 连接证明 四边形为正方形，可得 证明 可得答案；
（2）先求解 再结合（1）的结论可得答案；
（3）如图，连接 先求解 再证明 再求解 可得 再利用弧长公式计算即可.
【详解】
解：（1）如图，过作 垂足分别为 连接





四边形为矩形，
由勾股定理可得： 而

四边形为正方形，

而

（2）如图，过作 垂足分别为

由（1）得：四边形为正方形，

OA＝2，∠OAB＝15°，



（3）如图，连接










【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弧长的计算，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键.
2、（1）①B和C；②或；（2）或
【分析】
（1）①分别找出点A，B，C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“二分点”定义即可；
②对a的取值分情况讨论：、、和，根据“二分点”的定义可求解；
（2）设线段AN上存在的“二分点”为，对的取值分情况讨论、，、，和，根据“二分点”的定义可求解．
【详解】
（1）①

∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为，最大值为，
∴点B是线段ON的“二分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为，
∴点C是线段ON的“二分点”，
故答案为：B和C；
②若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴，
解得：；
若，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，满足题意；
若时，如图所示：

点C到OD的最小值为1，最大值为，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴，
解得：（舍）；
若时，如图所示：

点C到OD的最小值为，最大值为，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴，
解得：或（舍），
综上所得：a的取值范围为或；
（2）

如图所示，设线段AN上存在的“二分点”为，
当时，最小值为：，最大值为：，
∴，即，
∵，
∴
∴；
当，时，最小值为：，最大值为：，
∴∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴不存在；
当，时，最小值为：，最大值为：，
∴，即，
∴，
∵，
∴不存在；
当时，最小值为：，最大值为：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
综上所述，r的取值范围为或．
【点睛】
本题考查坐标上的两点距离，解一元二次方程解不等式以及点到圆的距离求最值，根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．
3、见解析
【分析】
由题意易得AB⊥CD，，则有，由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求证．
【详解】
证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴，
∴，
∵CF∥BD，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键．
4、（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案
【详解】
解：（1）连接OB，

∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．
∴＝，
解得AC＝2，
∴AD＝BD+AB＝4．
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
5、（1）A（-1，0），B（0，2）；（2）点C的坐标（，）；（3）①求点F的坐标（1，2）；②点P的坐标（，）
【分析】
（1）令x=0，求得y值，得点B的坐标；令y=0，求得x的值，取较小的一个即求A点的坐标；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），根据AC＝BC，得到，令t=－＋x，解方程即可；
（3）①根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，根据B，E都在抛物线上，则B，E是对称点，从而确定点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，点E（3，2），确定BE=3，根据旋转性质，得EF=BO=2，从而确定点F的坐标；
②根据BE=3，∠BPE=90°，PB=PE，确定P到BE的距离，即可写出点P的坐标．
【详解】
（1）令x=0，得y=2，
∴点B的坐标为B（0，2）；
令y=0，得－＋x＋2=0，
解得
∵点A在x轴的负半轴；
∴A点的坐标（-1，0）；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），
∵AC＝BC，A（-1，0），B（0，2），
∴，
∵A（-1，0），B（0，2），
∴，
即，
设t=－＋x，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得
∵点C在y轴右侧的抛物线上，
∴，
此时y=，
∴点C的坐标（，）；
（3）①如图，根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，

∵B，E都在抛物线上，
∴B，E是对称点，
∴点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，
∵抛物线的对称轴为直线x=，B（0，2），
∴点E（3，2），BE=3，
∵EF=BO=2，
∴BF=1，
∴点F的坐标为（1，2）；
②如图，设抛物线的对称轴与BE交于点M，交x轴与点N，
∵BE=3，
∴BM=，
∵∠BPE=90°，PB=PE，
∴PM=BM=，
∴PM=BM=，
∴PN=2-=，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，旋转的性质，两点间的距离公式，一元二次方程的解法，换元法解方程，熟练掌握抛物线的对称性，灵活理解旋转的意义，熟练解一元二次方程是解题的关键．