九年级下册第24章 圆综合与测试同步测试题

这是一份九年级下册第24章 圆综合与测试同步测试题，共37页。试卷主要包含了如图，是的直径，等内容，欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（ ）

A． B． C． D．
3、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）

A． B． C． D．
4、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（ ）

A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上三种都不对
5、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（ ）

A．64° B．52° C．42° D．36°
6、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
7、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
8、如图，为正六边形边上一动点，点从点出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动，运动到点停止．设点的运动时间为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反映与的函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
9、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
10、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

2、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．

3、如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．

4、在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > AB；④AB < DE < AB．
5、如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，连接，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．
（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；

（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．
2、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．

求证：（1）；
（2）．
3、在中，，，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．

（1）如图，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形，并直接写出BC与CF的位置关系；
②求证：点G为BF的中点．
（2）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．
4、如图1，在中，，，点D为AB边上一点．

（1）若，则______；
（2）如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：；
（3）如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值．
5、解题与遐想．
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．
王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…
赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…
数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证
（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．
拼图演绎
（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图
（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）


-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．
【详解】
解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
2、A
【分析】
连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：连接，

，
，
与圆相切于点，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．

【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
4、C
【详解】
解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．
5、B
【分析】
先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
【详解】
解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=64°
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=64°，
∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，
∴旋转角为52°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】

故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
7、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8、A
【分析】
设正六边形的边长为1，当在上时，过作于 而 求解此时的函数解析式，当在上时，延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式，当在上时，连接 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，从而可得答案.
【详解】
解：设正六边形的边长为1，当在上时，
过作于 而




当在上时，延长交于点 过作于

同理：
则为等边三角形，



当在上时，连接

由正六边形的性质可得：

由正六边形的对称性可得： 而


由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，
在上的图象与在上的图象是对称的，
所以符合题意的是A，
故选A
【点睛】
本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.
9、C
【分析】
过点A作AC⊥x轴于点C，设 ，则 ，根据勾股定理，可得，从而得到 ，进而得到∴ ，可得到点 ，再根据旋转的性质，即可求解．
【详解】
解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

设 ，则 ，
∵ ，，
∴，
∵， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，
∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．
故选：C
【点睛】
本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．
10、B
【详解】
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题
1、
【分析】
连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．
2、##
【分析】
延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】
解：延长AG交CD于M，如图1，

∵ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，
∴△ADG≌△DGC，
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，
∴△ADM≌△CDF，
∴FD=DM且AE=DF，
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，
∴△ABE≌△DAM，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH，

∵AB=AD=2，O是AB中点，
∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥-1，
∴DH的最小值为-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
3、2
【分析】
取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，取AC中点O，
∵，即，
∴∠ADC=90°，
∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，
作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，
∵，，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．

【点睛】
本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．
4、②④
【分析】
将所给四个条件逐一判断即可得出结论．
【详解】
解：在中，
①当∠BAC > 60°时，若时，点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；
②当∠ABC时，点E与点A重合，不符合题意，当∠ABC时，点E与点O不关于AD对称，当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，
所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件；
③当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件；
④当AB < DE < AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；
所以，要使得与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或AB < DE < AB
故答案为②④
【点睛】
本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．
5、
【分析】
过点C作于点H，根据正弦定义解得CH的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．
【详解】
解：过点C作于点H，

在平行四边形中，


平行四边形的面积为：，
图中黑色阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
1、（1） （2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析
【分析】
（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；
（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意画以下图，连接EP，

∵△PBD等腰直角三角形，⊙O是△PBD的外接圆，
∴∠DPB=∠DEB=90°，
∵PB＝2，
∴ ，
∵∠DBE＝30°，
∴
（2）①点P在点A、B之间，
由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：
∠ADP=∠FBP，
又∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，
在△APD和△FPB中

∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∵AP+PB=AB
∴FP+PB=AB，
∴FP=AB-PB，
②点P在点B的右侧，如下图：

∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APF=90°，DP=BP，
∵∠PBF+∠EBP=180°，∠PDA+∠EBP=180°，
∴∠PBF=∠PDA，
在△APD和△FPB中

∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∴AB+PB=AP，
∴AB+PB=PF，
∴PF= AB+PB．
综上所述，FP=AB-PB或PF= AB+PB．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．
2、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；
（2）证明，可得，即可证明．
【详解】
证明：（1）连接，如图：

∵为的直径，为的切线，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（2）由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．
3、（1）①BC⊥CF；证明见详解；②见详解;（2）2AE2=4AG2+BE2．证明见详解．
【分析】
（1）①如图所示，BC⊥CF．根据将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，得出AE=AF，∠EAF=90°，可证△BAE≌△CAF（SAS），得出∠ABE=∠ACF=45°，可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可；
②根据AD⊥BC，BC⊥CF．可得AD∥CF，可证△BDG∽△BCF，可得，得出即可；
（2）2AE2=4AG2+BE2，延长BA交CF延长线于H，根据等腰三角形性质可得AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD=，可证△BAG∽△BHF，得出HF=2AG，再证△AEC≌△AFH（AAS），得出EC=FH=2AG，利用勾股定理得出，即即可．
【详解】
解：（1）①如图所示，BC⊥CF．
∵将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠EAC+∠CAF=90°，
∵，，
∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠ACF=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴BC⊥CF；

②∵AD⊥BC，BC⊥CF．
∴AD∥CF，
∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，
∴△BDG∽△BCF，
∴，
∵，AD⊥BC，
∴BD=DC=，
∴，
∴，
∴，
∴BG=GF;
（2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵BG=GF，AG∥HF，
∴∠BAG=∠H=45°，∠AGB=∠HFB，
∴△BAG∽△BHF，
∴，
∴HF=2AG，
∵∠ACE=45°，
∴∠ACE =∠H，
∵∠EAC+∠CAF=90°，∠CAF+∠FAH=90°，
∴∠EAC=∠FAH，
在△AEC和△AFH中，
，
∴△AEC≌△AFH（AAS），
∴EC=FH=2AG，
在Rt△AEF中，根据勾股定理，
在Rt△ECF中，即．

【点睛】
本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键．
4、
（1）5
（2）证明见解析
（3）
【分析】
(1)过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质求出CM和DM，再根据勾股定理计算即可；
(2)连BE，先证明,即可得到直角三角形ABE，利用勾股定理证明即可；
（3）取AC中点N，连接FN、BN，根据三角形BFN中三边关系判断即可．
（1）
过C作CM⊥AB于M，

∵，
∴
∵
∴
∴在Rt中
（2）
连接BE，

∵，，，
∴,
∴
∴，
∴
在Rt中
∴
∴
（3）
取AC中点N，连接FN、BN，

∵，，
∴
∵AF垂直CD
∴
∵AC中点N，
∴
∴
∵三角形BFN中
∴
∴当B、F、N三点共线时BF最小，最小值为．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．
5、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；
（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；
（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．
【详解】
解：（1）如图1，

设⊙O的半径为r，
连接OE，OF，
∵⊙O内切于△ABC，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFO是矩形，
∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，
∴AC＝4+r，BC＝5+r，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
（r+4）2+（r+5）2＝92，
∴r2+9r＝20，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝
＝20；
（2）
如图2，

（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，
∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，
∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝，
∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°，
∴∠AFB＝135°，
可以按以下步骤作图（如图3）：
①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，
②以E为圆心，AE为半径作圆，
③过点D作AB的垂线，交圆于F，
④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，
则△ABC就是求作的三角形．

【点睛】
本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．