初中数学第24章 圆综合与测试课时训练

这是一份初中数学第24章 圆综合与测试课时训练，共30页。
沪科版九年级数学下册第24章圆综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
2、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）
A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)
3、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（ ）cm．
A．3π B．6π C．12π D．18π
6、如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　）

A．.等腰三角形 B．等边三角形
C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形
7、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）

A．45° B．60° C．90° D．120°
8、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．
9、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
10、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD^AB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．
2、如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作于H．连接BH，则在点C移动的过程中，线段BH的最小值是______．

3、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．
4、如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．

5、在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（2，0），∠OCB=30°，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，则△AOE面积的最大值为___________

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．
圆周角定理　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）

（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．
求证：线段AB是⊙O的直径．
请你结合图①写出推论1的证明过程．
（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为 ．
（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE． 若AB＝，则DE的长为 ．

2、在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ÐABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

3、综合与实践
“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．
独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．
已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，________，切半圆于．求证：________________．
探究解决：（2）请完成证明过程．
应用实践：（3）若半圆的直径为，，求的长度．
4、如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．

（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；
（2）若，求弧的长．
5、如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．


-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2、B
【分析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】
解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3、D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
5、B
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】
解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6、D
【分析】
根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．
【详解】
解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，
∴∠ECF＝90°，CE＝CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．
7、B
【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
8、B
【分析】
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
【详解】
解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，，，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
9、A
【分析】
根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．
【详解】
证明：∵绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴∠ADC=∠DAC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∴∠DAC=50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故选A．
【点睛】
本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
10、B
【分析】
连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．
【详解】
解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CD^AB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．
二、填空题
1、或
【分析】
设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．
【详解】
设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，
如图所示：

∵，
∴，，
∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：或，
∴或．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．
2、##
【分析】
连接，取的中点，连接，由题可知点在以为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，最小；求出，在中，，所以，即为所求．
【详解】
解：连接，取的中点，连接，

，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当、、三点共线时，最小，
是直径，
，
，，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定点的运动轨迹．
3、140
【分析】
作的外接圆，根据三角形内心的性质可得：，，再由三角形内角和定理得出：，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．
【详解】
解：如图所示，作的外接圆，

∵点I是的内心，
∴BI，CI分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
故答案为：140．
【点睛】
题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．
4、65
【分析】
连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可．
【详解】
解：如图所示：连接OA，OC，OB，

∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴DO平分，EO平分，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：65．
【点睛】
题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
5、
【分析】
过点作轴，交于点，根据中位线定理可得，设点到轴的距离为G，则△AOE的边上的高，作的外接圆，则当点位于图中处时，最大，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：过点作轴，交于点，

∵A（－1，0），B（2，0），
∴，，
∵D为线段BC的中点，轴，
∴，
∴，
设点到轴的距离为，
则△AOE的边上的高，
作的外接圆，
则当点位于图中处时，最大，
因为，
∴，
∴为等边三角形，
∴,
∴,
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，根据题意得出点的位置是解本题的关键．
三、解答题
1、【推论证明】见解析；【深入探究】；【拓展应用】．
【分析】
推论证明：根据圆周角定理求出，即可证明出线段AB是⊙O的直径；
深入探究：连接AB，首先根据∠ACB＝90°得出AB是⊙O的直径，然后求出，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度；
拓展应用：连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，首先根据等边三角形三线合一的性质求出，然后证明出A，E，C，D四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：推论证明：∵
∴，
∴A，B，O三点共线，
又∵点O是圆心，
∴AB是⊙O的直径；
深入探究：如图所示，连接AB，

∵∠ACB＝90°
∴AB是⊙O的直径
∴
∵∠ACD＝60°
∴
∵
∴
∴在中，
∴；
拓展应用：如图所示，连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，

∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点
∴，
又∵以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD
∴，
∴点A，E，C，D四点都在以AC为直径的圆上，
∵
∴
∵CF⊥DE
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
∵
∴，解得：
∴
∵
∴
∴在中，
∴
∴．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．
2、见解析
【分析】
由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【详解】
证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴，
∴AD=CD．
【点睛】
本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．
3、（1），，将三等分；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意即可得；
（2）先证明与全等，然后根据全等的性质可得，再由圆的切线的性质可得，可得三个角相等，即可证明结论；
（3）连，延长与相交于点，由（2）结论可得，再由切线的性质，，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．
【详解】
解：（1），，将三等分，
故答案为：；，将三等分，
（2）证明：在与中，
，
，
．
，
是的切线．
、都是的切线，
，
，
，将三等分．
（3）如图，连，延长与相交于点，

由（2），知．
是的切线，
，
，．
∵半径，
∴由勾股定理得，在中，
，，
．
∵，
，
，
，即，
．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．
4、
（1）相切，见解析
（2）
【分析】
（1）连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，根据AG＝CG，CD⊥AB，可得，从而OC⊥AF，再由∠AFB＝90°，可得CH∥AF，即可求证；
（2）先证明四边形CMFH为矩形，可得OC⊥AF，CM＝HF＝2，从而得到AM＝FM，进而得到OM＝BF＝2，可得到CM＝OM，进而得到 OC=4，AM垂直平分OC，可证得△AOC为等边三角形，即可求解．
（1）
解： CH与⊙O相切．
理由如下：如图，连接OC、OD、AC，OC交AF于点M，

∵AG＝CG，
∴∠ACG＝∠CAG，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴OC⊥AF，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∵BH⊥CH，
∴CH∥AF，
∴OC⊥CH，
∵OC为半径，
∴CH为⊙O的切线；
（2）
解：由（1）得：BH⊥CH，OC⊥CH，
∴OC∥BH，
∵CH∥AF，
∴四边形CMFH为平行四边形，
∵OC⊥CH，
∴∠OCH=90°，
∴四边形CMFH为矩形，
∴OC⊥AF，CM＝HF＝2，
∴AM＝FM，
∵点O为AB的中点，
∴OM＝BF＝2，
∴CM=OM，
∴OC=4，AM垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而AO＝OC，
∴AC＝OC＝OA，,
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵，
∴∠AOD＝∠AOC＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CD的长度为．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5、（1），理由见解析；（2）①60°；②PM＝，见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求解 ；
（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得 ，即可求解；
②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得，可证得，从而得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．
【详解】
解：（1） ．理由如下：
在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知：
∴
即
在和△ACP中

∴ ．
∴ ．
（2）①∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∵ ．
∴ ，
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ；
②PM＝ ．理由如下：
如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．

∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在△PCM和△NBM中

∴△PCM≌△NBM（SAS）．
∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．
∴ ．
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∴∠PBC＋∠NBM＝60°．
即∠NBP＝60°．
∵∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ．
∴ ．
在△PNB和 中

∴ （SAS）．
∴ ．
∵
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴PM＝ ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．