人教版高中数学高考一轮复习训练--利用导数研究函数的单调性

考点规范练15　利用导数研究函数的单调性

一、基础巩固

1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)

A.(-∞,2) B.(0,3)

C.(1,4) D.(2,+∞)

2.若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是(　　)

A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增

B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减

C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增

D.当x=2时,f(x)取到极小值

3.函数f(x)=x2-ln 2x的单调递减区间是(　　)

A. B.

C. D.

4.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)在R上为增函数的充要条件是(　　)

A.b2-4ac≥0 B.b>0,c>0

C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0

5.(多选)下列函数中,在区间(-∞,+∞)上为单调递增函数的有(　　)

A.f(x)=x4 B.f(x)=x-sin x

C.f(x)=xex D.f(x)=ex-e-x-2x

6.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0).

(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为　　　　　; 

(2)若f(x)在区间(0,4)内单调递减,则实数k的取值范围是　　　　　. 

7.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x(a≥1).

(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

8.设函数f(x)=(a∈R).

(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,求a的取值范围.

二、综合应用

9.已知函数f(x)=x3+2x2-x在区间内存在单调递增区间,则m的取值范围为(　　)

A.[0,+∞) B.[-4,+∞)

C.[-3,+∞) D.

10.(多选)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+xf'(x)<xf(x)对x∈R恒成立,则下列选项不正确的是(　　)

A.f(2)>f(1) B.f(2)<f(1)

C.f(1)>0 D.f(-1)>0

11.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　　. 

12.已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是　　　　　. 

13.若函数g(x)=ln x+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.

(1)确定a与b的关系;

(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.

三、探究创新

14.(多选)若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上单调递增,且F(x)=在区间I上也单调递增,则称y=f(x)在区间I上“一致单调递增”.已知f(x)=x+,若函数f(x)在区间I上“一致单调递增”,则区间I可能是(　　)

A.(-∞,-2) B.(-∞,0)

C.(0,+∞) D.(2,+∞)

15.定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且当x∈(0,+∞)时,2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,其中f'(x)为f(x)的导函数,则(　　)

A. B.

C. D.

考点规范练15　利用导数研究函数的单调性

1.D　函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.

2.C　由题图可知在区间内,f'(x)<0,故在区间(-2,1)内,f(x)不单调递增;在区间(1,2)内,f'(x)>0,故在区间(1,3)内,f(x)不单调递减;当x=2时,f(x)取到极大值;f'(x)>0在区间(4,5)内恒成立,故f(x)在区间(4,5)内单调递增.故选C.

3.A　由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-,由f'(x)≤0,得解得0<x

4.D　f'(x)=3ax2+2bx+c,∵a>0,∴3a>0.

又f(x)在R上为增函数,∴f'(x)≥0在R上恒成立,

∴Δ=(2b)2-4×3ac≤0,即b2-3ac≤0.

5.BD　A选项,由f(x)=x4,得f'(x)=4x3,当x>0时,f'(x)=4x3>0,f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)=4x3<0,f(x)单调递减,故排除A;

B选项,由f(x)=x-sin x,得f'(x)=1-cos x,因为f'(x)≥0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=x-sin x在区间(-∞,+∞)上单调递增,故B满足题意;

C选项,由f(x)=xex,得f'(x)=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故排除C;

D选项,由f(x)=ex-e-x-2x,得f'(x)=ex+e-x-2,因为f'(x)≥2-2=0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=ex-e-x-2x在区间(-∞,+∞)上单调递增,故D满足题意.

6.(1)　(2)　(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),

由题意知f'(4)=0,解得k=

(2)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),

由题意知f'(4)≤0,解得k

又k>0,故0<k

7.解 (1)当a=1时,f(x)=x2-2x+ln x,

由f'(x)=x-2+,得f(1)=-,f'(1)=0,

故f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为2y+3=0.

(2)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-(a+1)+

若a=1,则f'(x)=0恒成立,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;

若a>1,则当x∈(1,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;

当x∈(a,+∞),(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;

综上可知,当a=1时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

当a>1时,函数f(x)在区间(1,a)内单调递减,在区间(a,+∞),(0,1)内单调递增.

8.解 (1)对f(x)求导得f'(x)=

=

因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.

当a=0时,f(x)=,f'(x)=,

故f(1)=,f'(1)=,

从而f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(x-1),化简得3x-ey=0.

(2)由(1)知f'(x)=

令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,

由g(x)=0,解得x1=,

x2=

当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,

故f(x)单调递减.

由f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,

知x2=3,解得a≥-,故a的取值范围为

9.C　f'(x)=mx2+4x-1,由题意可知mx2+4x-1≥0在区间内有解.

当m≥0时,二次函数的图象开口向上,

即mx2+4x-1≥0在区间内有解恒成立;

当m<0时,

解得-3≤m<0.综上所述,m≥-3.

10.ACD　构造函数F(x)=,

因为F'(x)=<0,

所以函数F(x)=在R上为减函数.

因为2>1,所以F(2)<F(1),即,即<f(1),故A符合题意,B不符合题意;

因为F(1)<F(0),即<0,所以f(1)<0,故C符合题意;

因为F(-1)>F(0),即>0,所以f(-1)<0,故D符合题意.

11.(0,1)∪(2,3)　由题意知f'(x)=-x+4-=-

由f'(x)=0,得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.

则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,

由t<1<t+1或t<3<t+1,

得0<t<1或2<t<3.

12　因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+20,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)在R上单调递增.

因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),

即f(2a2)≤f(1-a),

所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a,

故实数a的取值范围是

13.解 (1)因为g(x)=ln x+ax2+bx,

所以g'(x)=+2ax+b.

由题意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.

(2)由(1)知g'(x)=(x>0).

当a=0时,g'(x)=-

由g'(x)>0,解得0<x<1,

由g'(x)<0,解得x>1,

即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;

当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=,若<1,即a>,则由g'(x)>0,解得x>1或0<x<,

由g'(x)<0,解得<x<1,

即函数g(x)在区间,(1,+∞)内单调递增,在区间内单调递减;

若>1,即0<a<,则由g'(x)>0,解得x>或0<x<1,

由g'(x)<0,解得1<x<,

即函数g(x)在区间(0,1),内单调递增,在区间内单调递减;

若=1,即a=,则在区间(0,+∞)内恒有g'(x)≥0,即函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

综上可得,当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;

当0<a<时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增;

当a=时,函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增;

当a>时,函数g(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.

14.AD　f(x)=x+,则f'(x)=;F(x)==1+,则F'(x)=

当x∈(-∞,-2)时,f'(x)=>0,函数f(x)单调递增,F'(x)=>0,函数F(x)单调递增,故A满足;

f'<0,故B不满足;

F'(1)=-e<0,故C不满足;

当x∈(2,+∞)时,f'(x)=>0,F'(x)=>0,故D满足.

15.B　令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=

∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,

∴0<,∴g'(x)>0,

∴函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

又f(x)>0,

令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=

∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,

∴h'(x)=<0,

∴函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,

又f(x)>0,

综上可得,,故选B.