人教版高中数学高考一轮复习训练--二项式定理

考点规范练50　二项式定理

一、基础巩固

1.(多选)下列关于(a-b)10的展开式的说法正确的是 (　　)

A.展开式的二项式系数之和是1 024

B.展开式的第6项的二项式系数最大

C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D.展开式的第6项的系数最小

2.设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为(　　)

A.16 B.10 C.4 D.2

3.若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 (　　)

A.36 B.46

C.34 D.44

4.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

5.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=(　　)

A.1 B.32 C.81 D.243

6.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是(　　)

A.74 B.121

C.-74 D.-121

7.在的展开式中,有理项共有　　　　　项,系数最小的项为　　　　　. 

8.已知3n+3n-1+3n-2+…+3+=1 024,则n=　　　　　. 

9.若(x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0=　　　　　　,-a0+a1-a2+a3-a4+a5=　　　　　. 

10.如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个数列{an},则该数列的第10项为　　　　　. 

二、综合应用

11.已知(1+x)6的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中x3的系数为(　　)

A.26 B.32 

C.38 D.44

12.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=(　　)

A.256 B.364

C.296 D.513

13.在的展开式中,各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

14.(多选)若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,x∈R,则(　　)

A.a0=1

B.ar=210-r(-1)r,r=0,1,2,…,10

C.a1+a2+…+a10=1

D.(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=310

15.9192除以100的余数是　　　　　. 

16.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8的展开式中x2的系数为　　　　　. 

三、探究创新

17.组合恒等式,可以利用“算两次”的方法证明:分别求(1+x)n+1和(1+x)(1+x)n的展开式中xm的系数.(1+x)n+1的展开式中xm的系数为.因为(1+x)(1+x)n=(1+x)·(x+…+xm-1+xm+…+xn),所以(1+x)(1+x)n的展开式中xm的系数为.因为(1+x)n+1=(1+x)(1+x)n,所以两个展开式中xm的系数相等,即.请用“算两次”的方法化简式子+…+=(　　)

A. B. 

C. D.

考点规范练50　二项式定理

1.ABD　由二项式系数的性质知+…+=210=1 024,故A正确;依题意,展开式中有11项,故二项式系数最大的项为中间项,即为第6项,故B正确,C错误;由展开式的通项Tr+1=a10-r(-b)r=(-1)ra10-rbr知,第6项的系数最小,为-,故D正确.

2.B　因为的展开式的通项公式为Tk+1=x2n-k(-1)k,令=0,得k=,所以n可取10.

3.D　(1+)4=1+()2+()3+()4=28+16,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.

4.B　由题意知an=(n=1,2,3,…,11).

因为(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项,

所以a6=最大,所以k的最大值为6.

5.D　令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,

即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243.

6.D　展开式中,含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.

7.4　-64的展开式的通项为Tr+1=(2)6-r26-r

由Z,得r=0,2,4,6,故有理项共4项.

若项的系数最小,则r为奇数,即r=1或3或5.

当r=1时,系数为-64;当r=3时,系数为-;

当r=5时,系数为-故系数最小的项为T2=-64

8.5　依题意,3n+3n-1+3n-2+…+3+=(3+1)n=4n=1 024,解得n=5.

9.-1　32　依题意,令x=0,得a0=-1.

令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-2)5=-32,

则-a0+a1-a2+a3-a4+a5=32.

10.55　由题意知a1=1,a2=1,a3=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55.

11.C　令x=1,可得(1+x)6的展开式中各项系数的和为(1+a)·26=256,解得a=3.

故(1+x)6的展开式中x3的系数为+3=38.

12.B　令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,①

令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=1,②

由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=

令x=0,得a0=1,

故a2+a4+…+a12=-1=364.

13.D　依题意,令x=1,可得各项系数的和为2n=128,解得n=7.

故的展开式的通项公式为Tr+1=

由7-Z,得r=0,2,4,6,故展开式中有4项为有理项,有4项为无理项.

把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的排法有种,而所有的排法有种,

故有理项都互不相邻的概率为

14.AD　令x=-1,得a0=(-2+1)10=1,故A正确.由已知得(2x+1)10=[-1+2(x+1)]10,故ar=(-1)10-r2r,r=0,1,2,…,10,故B错误.令x=0,得a0+a1+a2+…+a10=1,又a0=1,则a1+a2+…+a10=0,故C错误.令x=-2,得a0-a1+a2-…+a10=310,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9)(a0+a2+…+a10-a1-a3-…-a9)=1×310=310,故D正确.

15.81　因为9192=(90+1)92=9092+9091+…+902+90+9092+9091+…+902+8 200+81,

所以9192除以100的余数是81.

16.84　依题意,x2的系数为+…+=84.

17.A　因为(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n,所以两个展开式中xn的系数相等.(1+x)2n的展开式中xn的系数为

因为(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+xn)(x+x2+…+xn),所以(1+x)n(1+x)n的展开式中xn的系数为+…+,

故+…+