2020-2021学年第24章 圆综合与测试练习

沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

2、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（    ）

A．19° B．38° C．52° D．76°

6、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

7、在半径为6cm的圆中，的圆心角所对弧的弧长是（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

8、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．

9、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

10、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在矩形中，，，F为中点，P是线段上一点，设，连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段，连结、，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当时，；②点E到边的距离为m；③直线一定经过点；④的最小值为．其中结论正确的是______．（填序号即可）

2、如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．

3、如图，PA是⊙O的切线，A是切点．若∠APO=25°，则∠AOP=___________°．

4、点（2，-3）关于原点的对称点的坐标为_____．

5、已知圆O的圆心到直线l的距离为2，且圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，则直线l与圆O的的位置关系是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．

（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝        ，d(B，⊙O)＝        ．

（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；

（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．

2、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．

（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；

（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；

（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．

3、如图，在△ABC是⊙O的内接三角形，∠B＝45°，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠OCB＝75°，求△ABC边AB的长．

4、如图，AB是的直径，CD是的一条弦，且于点E．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

5、如图，点A是外一点，过点A作出的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．

【详解】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴ ，

∵∠BAC＝30°，BC＝2，

∴．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

2、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

4、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

5、B

【分析】

连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.

【详解】

解：连接 为的直径，

为的切线，

故选B

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.

6、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.

【详解】

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.

7、C

【分析】

直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：的圆心角所对弧的弧长是；

故选C．

【点睛】

本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．

8、D

【分析】

由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．

【详解】

∵

∴

∵四边形内接于

∴

又∵

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

9、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

10、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

二、填空题

1、②③④

【分析】

①当在点的右边时，得出即可判断；

②证明出即可判断；

③根据为等腰直角三角形，得出都是等腰直角三角形，得到即可判断；

④当时，有最小值，计算即可．

【详解】

解：，

为等腰直角三角形，

，

当在点的左边时，

，

当在点的右边时，

，

故①错误；

过点作，

在和中，

根据旋转的性质得：，

，

，

，

，

故②正确；

由①中得知为等腰直角三角形，

，

也是等腰直角三角形，

过点，

不管P在上怎么运动，

得到都是等腰直角三角形，

，

即直线一定经过点，

故③正确；

是等腰直角三角形，

当时，有最小值，

，

为等腰直角三角形，

，

，

由勾股定理：

，

，

故④正确；

故答案是：②③④．

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．

2、

【分析】

如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．

【详解】

解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，

∵四边形BCDE是正方形，

∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，

∴△OCD≌△OBE（SAS），

∴OE＝OD，

根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，

∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，

∴∠DCM＝∠BCM＝45°，

∵四边形BCDE是正方形，

∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，

在△EMD和△EMB中，

，

∴△MED≌△MEB（SAS），

∴DM＝BM＝＝＝2（cm），

∴OD的最大值＝2+2，即OE的最大值＝2+2；

故答案为：（2+2）cm．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．

3、65

【分析】

根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．

【详解】

解：∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴，

∵∠APO=25°，

∴，

故答案为：65．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

4、 (-2，3)

【分析】

根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．

【详解】

点(2，-3)关于原点的对称点的坐标是(-2，3)．

故答案为: （-2，3）．

【点睛】

本题主要考查点关于原点对称，解决本题的关键是要熟练掌握关于原点对称点的坐标的关系．

5、相切或相交

【详解】

首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．

【分析】

解：∵x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝2，x2＝3，

∵圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，即圆的半径为2或3，

∴当半径为2时，直线l与圆O的的位置关系是相切，

当半径为3时，直线l与圆O的的位置关系是相交，

综上所述，直线l与圆O的的位置关系是相切或相交．

故答案为：相切或相交．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定．

三、解答题

1、（1）0，；（2）；（3）

【分析】

（1）根据新定义，即可求解；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；

（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．

【详解】

解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．

∴，

∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，

∴d（A，⊙O）＝，

∴d（B，⊙O）＝；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴

∴，

∵d（⊙O，线段AB）=0，

∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，

∴r的取值范围是，

（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∴∠OAB=60°，

∵C(m，0)，

当点C在点A的右侧时， ，

∴ ，

∴ ，

∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，

∴ ，解得： ，

当点C与点A重合时， ，

此时d（⊙C，线段AB）=0，

当点C在点A的左侧时， ，

∴

，

∴ ，解得： ，

∴．

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．

2、（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为或．

【分析】

（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可；

（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；

（3）分两种情形分别求解即可解决问题．

【详解】

解：（1）结论：EF=BE+DF．

理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，

∵ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，

∴△ABE≌△ADG（AAS），

∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，

∵∠EAF=45°，

∴∠DAF+∠EAB=45°，

∴∠DAF+∠DAG=45°，

∴∠GAF=∠EAF=45°，

∵AF=AF，

∴△GAF≌△EAF（AAS），

∴EF=GF，

∴GF=DF+DG=DF+BE，

即：EF=DF+BE；

（2）结论：EF=DF-BE．

理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，

∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，

∴△ADH≌△ABE（SAS），

∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，

∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，

∴∠DAH+∠BAF=45°，

∴∠HAF=45°=∠EAF，

∵AF=AF，

∴△HAF≌EAF（SAS），

∴HF=EF，

∵DF=DH+HF，

∴EF=DF-BE；

（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：

设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．

在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，

∴x=，

∴EF=x+2=．

②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，

设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，

∵K为BC边的中点，

∴CK=BC=2，

同理可证△ABK≌FCK（SAS），

∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，

在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，

∴x=，

∴EF=8-=．

综上，线段EF的长为或．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

3、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）如图所示，连接OA，由圆周角定理可得∠COA=90°，再由平行线的性质得到∠OAD+∠COA=180°，则∠OAD=90°，由此即可证明；

（2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠COB =30°，则∠AOB=120°，可以得到∠OAB=∠OBA=30°，由勾股定理可得，求出，则AB=．

【详解】

解：（1）如图所示，连接OA，

∵∠CBA=45°，

∴∠COA=90°，     

∵AD∥OC，

∴∠OAD+∠COA=180°，

∴∠OAD=90°，

又∵点A在圆O上，      

∴AD是⊙O的切线；

（2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，

∵∠OCB=75°，OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=75°，

∴∠COB=180°-∠OCB-∠OBC=30°，             

由（1）证可得∠AOC=90°，

∴∠AOB=120°，                  

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

又∵OE⊥AB，

∴AE=BE，  

在Rt△AOE中，AO=2，∠OAE=30°，

∴OE=AO=1，                         

由勾股定理可得，，

∴AB=．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）3

【分析】

（1）根据∠D=∠B，∠BCO=∠B，代换证明；

（2）根据垂径定理，得CE=，，利用勾股定理计算即可．

【详解】

（1）证明：

∵OC＝OB，

∴∠BCO＝∠B；

∵，

∴∠B＝∠D；

∴∠BCO＝∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，

∴CE＝CD，

∵CD＝，

∴CE＝，

在Rt△OCE中，，

∵OE＝1，

∴，

∴；

∴⊙O的半径为3．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，结合图形，熟练运用三个定理是解题的关键．

5、见解析

【分析】

先作线段的垂直平分线．确定的中点，再以中点为圆心，一半为半径作圆交于点，然后作直线，则根据圆周角定理可得为所求．

【详解】

如图，直线AB就是所求作的，

（作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹）

【点睛】

本题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．