沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列判断正确的个数有（    ）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（    ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

3、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

5、如图，，，，都是上的点，，垂足为，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（　　）

A．10 B．2 C．2 D．4

7、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C．  D．

9、的边经过圆心，与圆相切于点，若，则的大小等于（    ）

A． B． C． D．

10、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）

①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．

2、如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．

3、已知圆O的圆心到直线l的距离为2，且圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，则直线l与圆O的的位置关系是______．

4、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________

5、在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则________，________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、综合与实践

“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．

独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．

已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，________，切半圆于．求证：________________．

探究解决：（2）请完成证明过程．

应用实践：（3）若半圆的直径为，，求的长度．

2、如图1，在中，，，将边绕着点A逆时针旋转，得到线段，连接交边于点E，过点C作于点F，延长交于点G．

（1）求证：；

（2）如图2，当时，求证：；

（3）如图3，当时，请直接写出的值．

3、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)．

（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝        ，d(B，⊙O)＝        ．

（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；

（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．

4、如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

5、如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）求证：PA＋PB＝PC．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【详解】

①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③

故选B

【点睛】

本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．

2、B

【分析】

由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．

3、B

【详解】

解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系

【详解】

解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，

是的切线，

⊙C 与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．

5、B

【分析】

连接OC．根据确定，，进而计算出，根据圆心角的性质求出，最后根据圆周角的性质即可求出．

【详解】

解：如下图所示，连接OC．

∵，

∴，．

∴．

∵．

∴．

∴

∵和分别是所对的圆周角和圆心角，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．

6、D

【分析】

首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴，

由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，

∴B'C=10-6=4，

在Rt△B'C'C中，，

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．

7、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

8、B

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、A

【分析】

连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．

【详解】

解：连接，

，

，

与圆相切于点，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

10、B

【分析】

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．

二、填空题

1、①②④

【分析】

连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④．

【详解】

解：连接OM，

∵PE为的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

即AM平分，故①正确；

∵AB为的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，故②正确；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴的长为，故③错误；

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，，，

∴，

又∵，

∴，

设，则，

∴，

在中，，

∴，

∴，

由①可得，

，

故④正确，

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

2、2

【分析】

取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可．

【详解】

解：如图所示，取AC中点O，

∵，即，

∴∠ADC=90°，

∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，

作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，

∵，，∠ACB=90°，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．

3、相切或相交

【详解】

首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．

【分析】

解：∵x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝2，x2＝3，

∵圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，即圆的半径为2或3，

∴当半径为2时，直线l与圆O的的位置关系是相切，

当半径为3时，直线l与圆O的的位置关系是相交，

综上所述，直线l与圆O的的位置关系是相切或相交．

故答案为：相切或相交．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定．

4、

【分析】

由勾股定理求得圆锥母线长为，再由圆锥的侧面积公式即可得出圆锥侧面积为．

【详解】

∵是一个圆锥在某平面上的正投影

∴为等腰三角形

∵AD⊥BC

∴

在中有

即

由圆锥侧面积公式有．

故答案为：。

【点睛】

本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．

5、2    2   

【分析】

关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案．

【详解】

解：∵点和点关于原点对称，

∴，

∴，

故答案为：2；2．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．

三、解答题

1、（1），，将三等分；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）根据题意即可得；

（2）先证明与全等，然后根据全等的性质可得，再由圆的切线的性质可得，可得三个角相等，即可证明结论；

（3）连，延长与相交于点，由（2）结论可得，再由切线的性质，，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．

【详解】

解：（1），，将三等分，

故答案为：；，将三等分，

（2）证明：在与中，

，

，

．

，

是的切线．

、都是的切线，

，

，

，将三等分．

（3）如图，连，延长与相交于点，

由（2），知．

是的切线，

，

，．

∵半径，

∴由勾股定理得，在中，

，，

．

∵，

，

，

，即，

．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．

2、

（1）见解析

（2）见解析

（3）

【分析】

（1）由旋转的性质得AB=AD，所以，再根据三角形内角和定理可证明即可得到结论；

（2）连接，根据ASA证明≌得，是等边三角形，从而得出，再运用AAS证明≌得，由勾股定理可得出，从而 可得结论；

（3）证明平分，作于点，根据勾股定理得，代入求值即可．

（1）

∵边绕着点逆时针旋转得到线段，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴

又，且∠AEB=∠CEF

∴．

∴．

（2）

连接．

在和中，

∵，

∴≌（ASA）．

∴．

∴，即．

在和中，

∵，

∴≌（AAS）．

∴．

∵，

∴在中，，

即．

∵，，

∴是等边三角形．

∴．

（3）

．

∵，，

∴

∵．

∵，

∴．

∴平分．

作于点，

∴．

∴在中，．

∵≌，≌，

∴，，．

∴在中，，

∵，

∴．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．

3、（1）0，；（2）；（3）

【分析】

（1）根据新定义，即可求解；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；

（3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．

【详解】

解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)．

∴，

∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，

∴d（A，⊙O）＝，

∴d（B，⊙O）＝；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴

∴，

∵d（⊙O，线段AB）=0，

∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，

∴r的取值范围是，

（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ，

∵点A(，0)，B(0，)．

∴ ，

∴ ，

∴∠OAB=60°，

∵C(m，0)，

当点C在点A的右侧时， ，

∴ ，

∴ ，

∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1，

∴ ，解得： ，

当点C与点A重合时， ，

此时d（⊙C，线段AB）=0，

当点C在点A的左侧时， ，

∴

，

∴ ，解得： ，

∴．

【点睛】

本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．

4、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）连接OD，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；

（2）连接AC，交OD于点F，利用勾股定理可得AC，，再证明四边形DFCE是矩形，进而即可求解．

【详解】

（1）证明：连接OD，

∵是的中点，

∴∠ABC=2∠ABD，

∵∠AOD=2∠ABD，

∴∠AOD=∠ABC，

∴OD∥BC，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）连接AC，交OD于点F，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC=，

∵是的中点，

∴OD⊥AC，AF=CF=3，

∴，

∴DF=5-4=1，

∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，

∴四边形DFCE是矩形，

∴DE=CF=3，CE=DF=1，

∴，

∴AD=CD=，

∵∠ADB=90°，

∴

【点睛】

本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．

5、（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，先证明△APE是等边三角形，得到AP=PE，∠AEP=60°，可以推出∠AEC=∠APB，然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE，即可证明PC=PE+CE=AP+BP．

【详解】

解：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：

由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC

∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．

∴△ABC是等边三角形．

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，

∵∠APE=60°，AP=AE，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=PE，∠AEP=60°，

∴∠AEC=120°，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠APB=120°，

∴∠AEC=∠APB，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

又∵∠ABP=∠ACE，

∴△APB≌△AEC（AAS），

∴BP=CE，

∴PC=PE+CE=AP+BP．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．