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    2021-2022学年沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析试题

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    沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步达标检测题

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    这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步达标检测题,共33页。试卷主要包含了下列语句判断正确的是等内容,欢迎下载使用。
    沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析
    考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
    考生注意:
    1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
    2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
    3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
    第I卷(选择题 30分)
    一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
    1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上,此时得到△EDC,斜边DE交AC边于点F,则图中阴影部分的面积为( )

    A.3 B.1 C. D.
    2、如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD^AB,垂足为点 E,若 ⊙O的半径为5,CD=8,则AE的长为( )

    A.3 B.2 C.1 D.
    3、下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    4、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠ADC=130°,则∠AOC的度数为( )

    A.25° B.80° C.130° D.100°
    5、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的,其中是中心对称图形的是( )
    A. B.
    C. D.
    6、如图所示四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A. B.
    C. D.
    7、下列语句判断正确的是(  )
    A.等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形
    B.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
    C.等边三角形是中心对称图形,但不是轴对称图形
    D.等边三角形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
    8、如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,若∠BAC=30°,BC=2,则AB的长为( )

    A.4 B.6 C.8 D.10
    9、在半径为6cm的圆中,的圆心角所对弧的弧长是( )
    A.cm B.cm C.cm D.cm
    10、下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    第Ⅱ卷(非选择题 70分)
    二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
    1、如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的半圆O上有一动点B,点,为等腰直角三角形,A为直角顶点,且C在第一象限,则线段OC长度的最大值为______.

    2、若一次函数y=kx+8(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,当k的取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,则OQ长的最小值是 ___.
    3、如图,在矩形中,,,F为中点,P是线段上一点,设,连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段,连结、,则在点P从点B向点C的运动过程中,有下面四个结论:①当时,;②点E到边的距离为m;③直线一定经过点;④的最小值为.其中结论正确的是______.(填序号即可)

    4、在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是______.
    5、如图,将半径为的圆形纸片沿一条弦折叠,折叠后弧的中点与圆心重叠,则弦的长度为________.

    三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
    1、如图,在等边中,D为BC边上一点,连接AD,将沿AD翻折得到,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.

    (1)若,求的度数;
    (2)若,求的大小;
    (3)猜想CF,BF,AF之间的数量关系,并证明.
    2、如图,在△ABC是⊙O的内接三角形,∠B=45°,连接OC,过点A作AD∥OC,交BC的延长线于D.

    (1)求证:AD是⊙O的切线;
    (2)若⊙O的半径为2,∠OCB=75°,求△ABC边AB的长.
    3、如图,是的直径,四边形内接于,是的中点,交的延长线于点.

    (1)求证:是的切线;
    (2)若,,求的长.
    4、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合,正方形ABCD固定不动,然后将三角板绕着点A旋转,∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F,连接EF.
    (1)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时,如图1所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;
    (2)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时,如图2所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;
    (3)若正方形的边长为4,在三角板旋转过程中,当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时,试求线段EF的长.

    5、如图,AB为⊙O的切线,B为切点,过点B作BC⊥OA,垂足为点E,交⊙O于点C,连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D,连接AC.
    (1)求证:AC为⊙O的切线;
    (2)若⊙O半径为2,OD=4.求线段AD的长.


    -参考答案-
    一、单选题
    1、D
    【分析】
    根据题意及旋转的性质可得是等边三角形,则,,根据含30度角的直角三角形的性质,即可求得,由勾股定理即可求得,进而求得阴影部分的面积.
    【详解】
    解:如图,设与相交于点,

    ,,

    旋转,

    是等边三角形,
    ,,





    阴影部分的面积为
    故选D
    【点睛】
    本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,旋转的性质,利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
    2、B
    【分析】
    连接OC,由垂径定理,得到CE=4,再由勾股定理求出OE的长度,即可求出AE的长度.
    【详解】
    解:连接OC,如图

    ∵AB 为⊙O 的直径,CD^AB,垂足为点 E,CD=8,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴;
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了垂径定理,勾股定理,解题的关键是掌握所学的知识,正确的求出.
    3、B
    【分析】
    把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,根据中心对称图形的概念求解.
    【详解】
    A.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    B.是中心对称图形,故本选项符合题意;
    C.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    D.不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
    4、D
    【分析】
    根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数,根据圆周角定理计算即可.
    【详解】
    解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
    ∴∠B+∠ADC=180°,
    ∵∠ADC=130°,
    ∴∠B=50°,
    由圆周角定理得,∠AOC=2∠B=100°,
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
    5、C
    【分析】
    利用中心对称图形的定义:旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形,即可判断出答案.
    【详解】
    解:A、不是中心对称图形,故A错误.
    B、不是中心对称图形,故B错误.
    C、是中心对称图形,故C正确.
    D、不是中心对称图形,故D错误.
    故选:C.
    【点睛】
    本题主要是考查了中心对称图形的定义,熟练掌握中心对图形的定义,是解决该题的关键.
    6、D
    【分析】
    根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
    【详解】
    解:A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意.
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
    7、A
    【分析】
    根据等边三角形的对称性判断即可.
    【详解】
    ∵等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,
    ∴B,C,D都不符合题意;
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查了等边三角形的对称性,熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键.
    8、A
    【分析】
    根据直径所对的圆角为直角,可得 ,再由直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可求解.
    【详解】
    解:∵AB是⊙O的直径,
    ∴ ,
    ∵∠BAC=30°,BC=2,
    ∴.
    故选:A
    【点睛】
    本题主要考查了直径所对的圆角,直角三角形的性质,熟练掌握直径所对的圆角为直角;直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
    9、C
    【分析】
    直接根据题意及弧长公式可直接进行求解.
    【详解】
    解:由题意得:的圆心角所对弧的弧长是;
    故选C.
    【点睛】
    本题主要考查弧长计算,熟练掌握弧长计算公式是解题的关键.
    10、A
    【分析】
    根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
    【详解】
    解:A、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
    B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
    C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    D、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意.
    故选:A.
    【点睛】
    本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识,关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.
    二、填空题
    1、1+
    【分析】
    过点C作CD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E,连结OB,设OD=x,根据点A(3,0)可求AD=x-3,根据为等腰直角三角形,得出AB=AC,∠BAC=90°,再证△BAE≌△ACD(AAS),得出BE=AD=x-3,EA=DC,在Rt△EBO中,根据勾股定理,
    得出CD=AE=,根据勾股定理CO=,当OD=CD时OC最大,OC=此时解方程即可.
    【详解】
    解:过点C作CD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E,连结OB,设OD=x,
    ∵点A(3,0)
    ∴AD=x-3,
    ∵为等腰直角三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=90°,
    ∴∠BAE+∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°,
    ∵CD⊥x轴, BE⊥x轴,
    ∴∠BEA=∠ADC=90°,
    ∴∠ACD+∠CAD=90°,
    ∴∠ACD=∠BAE,
    在△BAE和△ACD中,

    ∴△BAE≌△ACD(AAS),
    ∴BE=AD=x-3,EA=DC,
    在Rt△EBO中,OB=1,BE= x-3,
    根据勾股定理,
    ∴EA=OE+OA=,
    ∴CD=AE=,
    ∴CO=,
    当OD=CD时OC最大,OC=,此时,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,(舍去),
    ∴线段OC长度的最大值为.

    故答案为:1+.
    【点睛】
    本题考查等腰直角三角形性质,三角形全等判定与性质,勾股定理,掌握等腰直角三角形性质,三角形全等判定与性质,勾股定理是解题关键.
    2、8
    【分析】
    根据一次函数解析式可得:,,过点B作轴,过点A作,过点Q作,由旋转的性质可得,,依据全等三角形的判定定理及性质可得:ΔMAB≅ΔNBQ,,,即可确定点Q的坐标,然后利用勾股定理得出OQ的长度,最后考虑在什么情况下取得最小值即可.
    【详解】
    解:函数得:,,过点B作轴,过点A作,过点Q作,连接OQ,如图所示:

    将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ,
    ∴,,

    ∴,
    在ΔMAB与ΔNBQ中,

    ∴ΔMAB≅ΔNBQ,
    ∴,,
    点Q的坐标为,

    当或时,取得最小值为8,
    故答案为:8.
    【点睛】
    题目主要考查一次函数与几何的综合问题,包括与坐标轴的交点,旋转,全等三角形的判定和性质,勾股定理等,理解题意,作出相应图形是解题关键.
    3、②③④
    【分析】
    ①当在点的右边时,得出即可判断;
    ②证明出即可判断;
    ③根据为等腰直角三角形,得出都是等腰直角三角形,得到即可判断;
    ④当时,有最小值,计算即可.
    【详解】
    解:,
    为等腰直角三角形,

    当在点的左边时,

    当在点的右边时,

    故①错误;
    过点作,

    在和中,
    根据旋转的性质得:,




    故②正确;
    由①中得知为等腰直角三角形,

    也是等腰直角三角形,
    过点,
    不管P在上怎么运动,
    得到都是等腰直角三角形,

    即直线一定经过点,
    故③正确;
    是等腰直角三角形,
    当时,有最小值,


    为等腰直角三角形,


    由勾股定理:


    故④正确;
    故答案是:②③④.
    【点睛】
    本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质,勾股定理,等腰直角三角形,解题的关键是灵活运用这些性质进行推理.
    4、(3,4)
    【分析】
    关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
    【详解】
    :由题意,得点(-3,-4)关于原点对称的点的坐标是(3,4),
    故答案为:(3,4).
    【点睛】
    本题考查了关于原点对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
    5、
    【分析】
    连接OC交AB于点D,再连接OA.根据轴对称的性质确定,OD=CD;再根据垂径定理确定AD=BD;再根据勾股定理求出AD的长度,进而即可求出AB的长度.
    【详解】
    解:如下图所示,连接OC交AB于点D,再连接OA.

    ∵折叠后弧的中点与圆心重叠,
    ∴,OD=CD.
    ∴AD=BD.
    ∵圆形纸片的半径为10cm,
    ∴OA=OC=10cm.
    ∴OD=5cm.
    ∴cm.
    ∴BD=cm.
    ∴cm.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查轴对称的性质,垂径定理,勾股定理,综合应用这些知识点是解题关键.
    三、解答题
    1、(1)20°;(2);(3)AF= CF+BF,理由见解析
    【分析】
    (1)由△ABC是等边三角形,得到AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,,∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
    (2)同(1)求解即可;
    (3)如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC,然后证明∠AFE=∠AFC=60°,得到∠BFC=120°,即可证明F、C、G三点共线,得到△AFG是等边三角形,则AF=GF=CF+CG=CF+BF.
    【详解】
    解:(1)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
    由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,
    ∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,
    ∴,
    ∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
    (2)∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
    由折叠的性质可知,,AC=AE,
    ∴ ,AB=AE,
    ∴,
    ∴;
    (3)AF= CF+BF,理由如下:
    如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,
    ∴AF=AG,∠FAG=60°,∠ACG=∠ABF,BF=CG
    在△AEF和△ACF中,

    ∴△AEF≌△ACF(SAS),
    ∴∠AFE=∠AFC,
    ∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°,∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°,
    ∴∠BFD=∠ACD=60°,
    ∴∠AFE=∠AFC=60°,
    ∴∠BFC=120°,
    ∴∠BAC+∠BFC=180°,
    ∴∠ABF+∠ACF=180°,
    ∴∠ACG+∠ACF=180°,
    ∴F、C、G三点共线,
    ∴△AFG是等边三角形,
    ∴AF=GF=CF+CG=CF+BF.

    【点睛】
    本题主要考查了等边三角形的性质与判定,旋转的性质,折叠的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,熟知相关知识是解题的关键.
    2、(1)见解析;(2)
    【分析】
    (1)如图所示,连接OA,由圆周角定理可得∠COA=90°,再由平行线的性质得到∠OAD+∠COA=180°,则∠OAD=90°,由此即可证明;
    (2)连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E,先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠COB =30°,则∠AOB=120°,可以得到∠OAB=∠OBA=30°,由勾股定理可得,求出,则AB=.
    【详解】
    解:(1)如图所示,连接OA,
    ∵∠CBA=45°,
    ∴∠COA=90°,
    ∵AD∥OC,
    ∴∠OAD+∠COA=180°,
    ∴∠OAD=90°,
    又∵点A在圆O上,
    ∴AD是⊙O的切线;

    (2)连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E,
    ∵∠OCB=75°,OB=OC,
    ∴∠OCB=∠OBC=75°,
    ∴∠COB=180°-∠OCB-∠OBC=30°,
    由(1)证可得∠AOC=90°,
    ∴∠AOB=120°,
    ∵OA=OB,
    ∴∠OAB=∠OBA=30°,
    又∵OE⊥AB,
    ∴AE=BE,
    在Rt△AOE中,AO=2,∠OAE=30°,
    ∴OE=AO=1,
    由勾股定理可得,,
    ∴AB=.

    【点睛】
    本题主要考查了圆周角定理,切线的判定,等腰三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理,勾股定理,熟知相关知识是解题的关键.
    3、(1)见详解;(2)
    【分析】
    (1)连接OD,由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC,从而得OD∥BC,进而即可得到结论;
    (2)连接AC,交OD于点F,利用勾股定理可得AC,,再证明四边形DFCE是矩形,进而即可求解.
    【详解】
    (1)证明:连接OD,

    ∵是的中点,
    ∴∠ABC=2∠ABD,
    ∵∠AOD=2∠ABD,
    ∴∠AOD=∠ABC,
    ∴OD∥BC,
    ∵,
    ∴,
    ∴是的切线;
    (2)连接AC,交OD于点F,

    ∵AB是直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴AC=,
    ∵是的中点,
    ∴OD⊥AC,AF=CF=3,
    ∴,
    ∴DF=5-4=1,
    ∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°,
    ∴四边形DFCE是矩形,
    ∴DE=CF=3,CE=DF=1,
    ∴,
    ∴AD=CD=,
    ∵∠ADB=90°,

    【点睛】
    本题主要考查切线的判定定理,圆周角定理以及勾股定理,添加辅助线构造直角三角形和矩形,是解题的关键.
    4、(1)EF=DF+BE;(2)EF=DF-BE;(3)线段EF的长为或.
    【分析】
    (1)延长FD至G,使DG=BE,连接AG,先证△ABE≌△ADG,再证△GAF≌△EAF即可;
    (2)在DC上截取DH=BE,连接AH,先证△ADH≌△ABE,再证△HAF≌EAF即可;
    (3)分两种情形分别求解即可解决问题.
    【详解】
    解:(1)结论:EF=BE+DF.
    理由:延长FD至G,使DG=BE,连接AG,如图①,

    ∵ABCD是正方形,
    ∴AB=AD,∠ABE=ADG=∠DAB=90°,
    ∴△ABE≌△ADG(AAS),
    ∴AE=AG,∠DAG=∠EAB,
    ∵∠EAF=45°,
    ∴∠DAF+∠EAB=45°,
    ∴∠DAF+∠DAG=45°,
    ∴∠GAF=∠EAF=45°,
    ∵AF=AF,
    ∴△GAF≌△EAF(AAS),
    ∴EF=GF,
    ∴GF=DF+DG=DF+BE,
    即:EF=DF+BE;
    (2)结论:EF=DF-BE.
    理由:在DC上截取DH=BE,连接AH,如图②,

    ∵AD=AB,∠ADH=∠ABE=90°,
    ∴△ADH≌△ABE(SAS),
    ∴AH=AE,∠DAH=∠EAB,
    ∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°,
    ∴∠DAH+∠BAF=45°,
    ∴∠HAF=45°=∠EAF,
    ∵AF=AF,
    ∴△HAF≌EAF(SAS),
    ∴HF=EF,
    ∵DF=DH+HF,
    ∴EF=DF-BE;
    (3)①当MA经过BC的中点E时,同(1)作辅助线,如图:

    设FD=x,由(1)的结论得FG=EF=2+x,FC=4-x.
    在Rt△EFC中,(x+2)2=(4-x)2+22,
    ∴x=,
    ∴EF=x+2=.
    ②当NA经过BC的中点G时,同(2)作辅助线,

    设BE=x,由(2)的结论得EC=4+x,EF=FH,
    ∵K为BC边的中点,
    ∴CK=BC=2,
    同理可证△ABK≌FCK(SAS),
    ∴CF=AB=4,EF=FH=CF+CD-DH=8-x,
    在Rt△EFC中,由勾股定理得到:(4+x)2+42=(8-x)2,
    ∴x=,
    ∴EF=8-=.
    综上,线段EF的长为或.
    【点睛】
    本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.
    5、(1)见解析;(2)4
    【分析】
    (1)连接OB,证明△AOB≌△AOC(SSS),可得∠ACO=∠ABO=90°,即可证明AC为⊙O的切线;
    (2)在Rt△BOD中,勾股定理求得BD,根据sinD==,代入数值即可求得答案
    【详解】
    解:(1)连接OB,

    ∵AB是⊙O的切线,
    ∴OB⊥AB,
    即∠ABO=90°,
    ∵BC是弦,OA⊥BC,
    ∴CE=BE,
    ∴AC=AB,
    在△AOB和△AOC中,

    ∴△AOB≌△AOC(SSS),
    ∴∠ACO=∠ABO=90°,
    即AC⊥OC,
    ∴AC是⊙O的切线;
    (2)在Rt△BOD中,由勾股定理得,
    BD==2,
    ∵sinD==,⊙O半径为2,OD=4.
    ∴=,
    解得AC=2,
    ∴AD=BD+AB=4.
    【点睛】
    本题考查了切线的性质与判定,正弦的定义,三角形全等的性质与判定,勾股定理,掌握切线的性质与判定是解题的关键.

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