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沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步达标检测题
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这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步达标检测题,共33页。试卷主要包含了下列语句判断正确的是等内容,欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上,此时得到△EDC,斜边DE交AC边于点F,则图中阴影部分的面积为( )
A.3 B.1 C. D.
2、如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD^AB,垂足为点 E,若 ⊙O的半径为5,CD=8,则AE的长为( )
A.3 B.2 C.1 D.
3、下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠ADC=130°,则∠AOC的度数为( )
A.25° B.80° C.130° D.100°
5、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的,其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
6、如图所示四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
7、下列语句判断正确的是( )
A.等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.等边三角形是中心对称图形,但不是轴对称图形
D.等边三角形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
8、如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,若∠BAC=30°,BC=2,则AB的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
9、在半径为6cm的圆中,的圆心角所对弧的弧长是( )
A.cm B.cm C.cm D.cm
10、下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的半圆O上有一动点B,点,为等腰直角三角形,A为直角顶点,且C在第一象限,则线段OC长度的最大值为______.
2、若一次函数y=kx+8(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,当k的取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,则OQ长的最小值是 ___.
3、如图,在矩形中,,,F为中点,P是线段上一点,设,连结并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段,连结、,则在点P从点B向点C的运动过程中,有下面四个结论:①当时,;②点E到边的距离为m;③直线一定经过点;④的最小值为.其中结论正确的是______.(填序号即可)
4、在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是______.
5、如图,将半径为的圆形纸片沿一条弦折叠,折叠后弧的中点与圆心重叠,则弦的长度为________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,在等边中,D为BC边上一点,连接AD,将沿AD翻折得到,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.
(1)若,求的度数;
(2)若,求的大小;
(3)猜想CF,BF,AF之间的数量关系,并证明.
2、如图,在△ABC是⊙O的内接三角形,∠B=45°,连接OC,过点A作AD∥OC,交BC的延长线于D.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠OCB=75°,求△ABC边AB的长.
3、如图,是的直径,四边形内接于,是的中点,交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
4、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合,正方形ABCD固定不动,然后将三角板绕着点A旋转,∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F,连接EF.
(1)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时,如图1所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;
(2)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时,如图2所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;
(3)若正方形的边长为4,在三角板旋转过程中,当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时,试求线段EF的长.
5、如图,AB为⊙O的切线,B为切点,过点B作BC⊥OA,垂足为点E,交⊙O于点C,连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D,连接AC.
(1)求证:AC为⊙O的切线;
(2)若⊙O半径为2,OD=4.求线段AD的长.
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据题意及旋转的性质可得是等边三角形,则,,根据含30度角的直角三角形的性质,即可求得,由勾股定理即可求得,进而求得阴影部分的面积.
【详解】
解:如图,设与相交于点,
,,
,
旋转,
,
是等边三角形,
,,
,
,
,
,
,
阴影部分的面积为
故选D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,旋转的性质,利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
2、B
【分析】
连接OC,由垂径定理,得到CE=4,再由勾股定理求出OE的长度,即可求出AE的长度.
【详解】
解:连接OC,如图
∵AB 为⊙O 的直径,CD^AB,垂足为点 E,CD=8,
∴,
∵,
∴,
∴;
故选:B.
【点睛】
本题考查了垂径定理,勾股定理,解题的关键是掌握所学的知识,正确的求出.
3、B
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,根据中心对称图形的概念求解.
【详解】
A.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B.是中心对称图形,故本选项符合题意;
C.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D.不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
4、D
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数,根据圆周角定理计算即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠B+∠ADC=180°,
∵∠ADC=130°,
∴∠B=50°,
由圆周角定理得,∠AOC=2∠B=100°,
故选:D.
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
5、C
【分析】
利用中心对称图形的定义:旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形,即可判断出答案.
【详解】
解:A、不是中心对称图形,故A错误.
B、不是中心对称图形,故B错误.
C、是中心对称图形,故C正确.
D、不是中心对称图形,故D错误.
故选:C.
【点睛】
本题主要是考查了中心对称图形的定义,熟练掌握中心对图形的定义,是解决该题的关键.
6、D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
解:A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意.
故选:D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
7、A
【分析】
根据等边三角形的对称性判断即可.
【详解】
∵等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形,
∴B,C,D都不符合题意;
故选:A.
【点睛】
本题考查了等边三角形的对称性,熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键.
8、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角,可得 ,再由直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可求解.
【详解】
解:∵AB是⊙O的直径,
∴ ,
∵∠BAC=30°,BC=2,
∴.
故选:A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角,直角三角形的性质,熟练掌握直径所对的圆角为直角;直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
9、C
【分析】
直接根据题意及弧长公式可直接进行求解.
【详解】
解:由题意得:的圆心角所对弧的弧长是;
故选C.
【点睛】
本题主要考查弧长计算,熟练掌握弧长计算公式是解题的关键.
10、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】
解:A、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
D、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意.
故选:A.
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识,关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.
二、填空题
1、1+
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E,连结OB,设OD=x,根据点A(3,0)可求AD=x-3,根据为等腰直角三角形,得出AB=AC,∠BAC=90°,再证△BAE≌△ACD(AAS),得出BE=AD=x-3,EA=DC,在Rt△EBO中,根据勾股定理,
得出CD=AE=,根据勾股定理CO=,当OD=CD时OC最大,OC=此时解方程即可.
【详解】
解:过点C作CD⊥x轴于D,过B作BE⊥x轴于E,连结OB,设OD=x,
∵点A(3,0)
∴AD=x-3,
∵为等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°,
∵CD⊥x轴, BE⊥x轴,
∴∠BEA=∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠ACD=∠BAE,
在△BAE和△ACD中,
,
∴△BAE≌△ACD(AAS),
∴BE=AD=x-3,EA=DC,
在Rt△EBO中,OB=1,BE= x-3,
根据勾股定理,
∴EA=OE+OA=,
∴CD=AE=,
∴CO=,
当OD=CD时OC最大,OC=,此时,
∴,
∴,
∴,
∴,(舍去),
∴线段OC长度的最大值为.
故答案为:1+.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质,三角形全等判定与性质,勾股定理,掌握等腰直角三角形性质,三角形全等判定与性质,勾股定理是解题关键.
2、8
【分析】
根据一次函数解析式可得:,,过点B作轴,过点A作,过点Q作,由旋转的性质可得,,依据全等三角形的判定定理及性质可得:ΔMAB≅ΔNBQ,,,即可确定点Q的坐标,然后利用勾股定理得出OQ的长度,最后考虑在什么情况下取得最小值即可.
【详解】
解:函数得:,,过点B作轴,过点A作,过点Q作,连接OQ,如图所示:
将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BQ,
∴,,
∴
∴,
在ΔMAB与ΔNBQ中,
,
∴ΔMAB≅ΔNBQ,
∴,,
点Q的坐标为,
∴
当或时,取得最小值为8,
故答案为:8.
【点睛】
题目主要考查一次函数与几何的综合问题,包括与坐标轴的交点,旋转,全等三角形的判定和性质,勾股定理等,理解题意,作出相应图形是解题关键.
3、②③④
【分析】
①当在点的右边时,得出即可判断;
②证明出即可判断;
③根据为等腰直角三角形,得出都是等腰直角三角形,得到即可判断;
④当时,有最小值,计算即可.
【详解】
解:,
为等腰直角三角形,
,
当在点的左边时,
,
当在点的右边时,
,
故①错误;
过点作,
在和中,
根据旋转的性质得:,
,
,
,
,
故②正确;
由①中得知为等腰直角三角形,
,
也是等腰直角三角形,
过点,
不管P在上怎么运动,
得到都是等腰直角三角形,
,
即直线一定经过点,
故③正确;
是等腰直角三角形,
当时,有最小值,
,
为等腰直角三角形,
,
,
由勾股定理:
,
,
故④正确;
故答案是:②③④.
【点睛】
本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,旋转的性质,勾股定理,等腰直角三角形,解题的关键是灵活运用这些性质进行推理.
4、(3,4)
【分析】
关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
【详解】
:由题意,得点(-3,-4)关于原点对称的点的坐标是(3,4),
故答案为:(3,4).
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
5、
【分析】
连接OC交AB于点D,再连接OA.根据轴对称的性质确定,OD=CD;再根据垂径定理确定AD=BD;再根据勾股定理求出AD的长度,进而即可求出AB的长度.
【详解】
解:如下图所示,连接OC交AB于点D,再连接OA.
∵折叠后弧的中点与圆心重叠,
∴,OD=CD.
∴AD=BD.
∵圆形纸片的半径为10cm,
∴OA=OC=10cm.
∴OD=5cm.
∴cm.
∴BD=cm.
∴cm.
故答案为:.
【点睛】
本题考查轴对称的性质,垂径定理,勾股定理,综合应用这些知识点是解题关键.
三、解答题
1、(1)20°;(2);(3)AF= CF+BF,理由见解析
【分析】
(1)由△ABC是等边三角形,得到AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,,∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)同(1)求解即可;
(3)如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC,然后证明∠AFE=∠AFC=60°,得到∠BFC=120°,即可证明F、C、G三点共线,得到△AFG是等边三角形,则AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【详解】
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,
∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,
∴,
∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,,AC=AE,
∴ ,AB=AE,
∴,
∴;
(3)AF= CF+BF,理由如下:
如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,
∴AF=AG,∠FAG=60°,∠ACG=∠ABF,BF=CG
在△AEF和△ACF中,
,
∴△AEF≌△ACF(SAS),
∴∠AFE=∠AFC,
∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°,∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°,
∴∠BFD=∠ACD=60°,
∴∠AFE=∠AFC=60°,
∴∠BFC=120°,
∴∠BAC+∠BFC=180°,
∴∠ABF+∠ACF=180°,
∴∠ACG+∠ACF=180°,
∴F、C、G三点共线,
∴△AFG是等边三角形,
∴AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定,旋转的性质,折叠的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,熟知相关知识是解题的关键.
2、(1)见解析;(2)
【分析】
(1)如图所示,连接OA,由圆周角定理可得∠COA=90°,再由平行线的性质得到∠OAD+∠COA=180°,则∠OAD=90°,由此即可证明;
(2)连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E,先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠COB =30°,则∠AOB=120°,可以得到∠OAB=∠OBA=30°,由勾股定理可得,求出,则AB=.
【详解】
解:(1)如图所示,连接OA,
∵∠CBA=45°,
∴∠COA=90°,
∵AD∥OC,
∴∠OAD+∠COA=180°,
∴∠OAD=90°,
又∵点A在圆O上,
∴AD是⊙O的切线;
(2)连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E,
∵∠OCB=75°,OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=75°,
∴∠COB=180°-∠OCB-∠OBC=30°,
由(1)证可得∠AOC=90°,
∴∠AOB=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
又∵OE⊥AB,
∴AE=BE,
在Rt△AOE中,AO=2,∠OAE=30°,
∴OE=AO=1,
由勾股定理可得,,
∴AB=.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理,切线的判定,等腰三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理,勾股定理,熟知相关知识是解题的关键.
3、(1)见详解;(2)
【分析】
(1)连接OD,由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC,从而得OD∥BC,进而即可得到结论;
(2)连接AC,交OD于点F,利用勾股定理可得AC,,再证明四边形DFCE是矩形,进而即可求解.
【详解】
(1)证明:连接OD,
∵是的中点,
∴∠ABC=2∠ABD,
∵∠AOD=2∠ABD,
∴∠AOD=∠ABC,
∴OD∥BC,
∵,
∴,
∴是的切线;
(2)连接AC,交OD于点F,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC=,
∵是的中点,
∴OD⊥AC,AF=CF=3,
∴,
∴DF=5-4=1,
∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°,
∴四边形DFCE是矩形,
∴DE=CF=3,CE=DF=1,
∴,
∴AD=CD=,
∵∠ADB=90°,
∴
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理,圆周角定理以及勾股定理,添加辅助线构造直角三角形和矩形,是解题的关键.
4、(1)EF=DF+BE;(2)EF=DF-BE;(3)线段EF的长为或.
【分析】
(1)延长FD至G,使DG=BE,连接AG,先证△ABE≌△ADG,再证△GAF≌△EAF即可;
(2)在DC上截取DH=BE,连接AH,先证△ADH≌△ABE,再证△HAF≌EAF即可;
(3)分两种情形分别求解即可解决问题.
【详解】
解:(1)结论:EF=BE+DF.
理由:延长FD至G,使DG=BE,连接AG,如图①,
∵ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABE=ADG=∠DAB=90°,
∴△ABE≌△ADG(AAS),
∴AE=AG,∠DAG=∠EAB,
∵∠EAF=45°,
∴∠DAF+∠EAB=45°,
∴∠DAF+∠DAG=45°,
∴∠GAF=∠EAF=45°,
∵AF=AF,
∴△GAF≌△EAF(AAS),
∴EF=GF,
∴GF=DF+DG=DF+BE,
即:EF=DF+BE;
(2)结论:EF=DF-BE.
理由:在DC上截取DH=BE,连接AH,如图②,
∵AD=AB,∠ADH=∠ABE=90°,
∴△ADH≌△ABE(SAS),
∴AH=AE,∠DAH=∠EAB,
∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°,
∴∠DAH+∠BAF=45°,
∴∠HAF=45°=∠EAF,
∵AF=AF,
∴△HAF≌EAF(SAS),
∴HF=EF,
∵DF=DH+HF,
∴EF=DF-BE;
(3)①当MA经过BC的中点E时,同(1)作辅助线,如图:
设FD=x,由(1)的结论得FG=EF=2+x,FC=4-x.
在Rt△EFC中,(x+2)2=(4-x)2+22,
∴x=,
∴EF=x+2=.
②当NA经过BC的中点G时,同(2)作辅助线,
设BE=x,由(2)的结论得EC=4+x,EF=FH,
∵K为BC边的中点,
∴CK=BC=2,
同理可证△ABK≌FCK(SAS),
∴CF=AB=4,EF=FH=CF+CD-DH=8-x,
在Rt△EFC中,由勾股定理得到:(4+x)2+42=(8-x)2,
∴x=,
∴EF=8-=.
综上,线段EF的长为或.
【点睛】
本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.
5、(1)见解析;(2)4
【分析】
(1)连接OB,证明△AOB≌△AOC(SSS),可得∠ACO=∠ABO=90°,即可证明AC为⊙O的切线;
(2)在Rt△BOD中,勾股定理求得BD,根据sinD==,代入数值即可求得答案
【详解】
解:(1)连接OB,
∵AB是⊙O的切线,
∴OB⊥AB,
即∠ABO=90°,
∵BC是弦,OA⊥BC,
∴CE=BE,
∴AC=AB,
在△AOB和△AOC中,
,
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠ACO=∠ABO=90°,
即AC⊥OC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)在Rt△BOD中,由勾股定理得,
BD==2,
∵sinD==,⊙O半径为2,OD=4.
∴=,
解得AC=2,
∴AD=BD+AB=4.
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定,正弦的定义,三角形全等的性质与判定,勾股定理,掌握切线的性质与判定是解题的关键.
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这是一份2021学年第24章 圆综合与测试当堂达标检测题,共29页。试卷主要包含了下列说法正确的个数有,下列图形中,是中心对称图形的是等内容,欢迎下载使用。
这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试当堂达标检测题,共30页。试卷主要包含了如图,是的直径,等内容,欢迎下载使用。
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