2021学年第24章 圆综合与测试同步测试题

这是一份2021学年第24章 圆综合与测试同步测试题，共39页。试卷主要包含了将一把直尺等内容，欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
2、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（ ）

A．50° B．70° C．110° D．120°
3、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（　　）

A．10 B．6 C．6 D．12
4、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
5、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）

A． B． C． D．
6、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（ ）

A．50° B．60° C．40° D．30°
7、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
8、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
9、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（ ）

A．6 B． C．3 D．
10、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．
2、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

3、如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______．

4、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．

5、如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）
①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．

（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；
（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．
2、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．
已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．

（1）求弦AC的长．
（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．
（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．
3、解题与遐想．
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．
王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…
赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…
数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证
（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．
拼图演绎
（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图
（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

4、如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，点、在上，过点作的延长线于点，已知平分．

（1）求证：是切线；
（2）若，，求的半径和的长．
5、在平面直角坐标系xOy中，的半径为2．点P，Q为外两点，给出如下定义：若上存在点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是______；

（2）点在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；
（3）点G在y轴上．若直线上存在点H，使得点G，H是的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标的取值范围．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.
【详解】
解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，
⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，
直线l与⊙O的位置关系为相切，
故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
2、B
【分析】
根据旋转可得，，得．
【详解】
解：，，
，
将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，
，，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
3、D
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
解：连接OB，OC，

∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°．
∵OB=OC，BC=6，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=6．
∴⊙O的直径等于12．
故选：D．
【点睛】
本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
4、D
【分析】
根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】
解：设AB与CD交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，
∴，
又∵，即
∴，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（AAS），
∴
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
5、A
【分析】
如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点， 记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：再设利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.
【详解】
解：如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，
记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：

四边形为正方形，则

设 而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：

而


又 而


解得：

故选A
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G， H三点的圆的圆心是解本题的关键.
6、A
【分析】
根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.
【详解】
解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，


故选A
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.
7、A
【分析】
连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．
【详解】
解：连结OC，
∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵，，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA==30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，
∴OD=OA=1，DC=AC=，
∴，，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴，
S阴影=．
故选择A．

【点睛】
本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．
8、A
【分析】
根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．
【详解】
证明：∵绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴∠ADC=∠DAC，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∴∠DAC=50°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故选A．
【点睛】
本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
9、D
【分析】
如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．
【详解】
解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，
∵AC，AB都是圆O的切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，
又∵OA=OA，
∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠DAC=60°，
∴，
∴∠AOB=30°，
∴OA=2AB=6，
∴，
∴圆O的直径为，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．
10、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
1、在⊙A上
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
2、
【分析】
连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．
3、
【分析】
根据旋转角相等可得，进而勾股定理求解即可
【详解】
解：四边形是正方形

将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，
，

故答案为：
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键．
4、
【分析】
根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．
【详解】
解：如图，AC⊥OB，

∵圆心角为60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OC=OB=1，
∴AC=，
∴S△OAB=OB×AC=×2×=，
∵S扇形OAB==，
∴弓形（阴影部分）的面积= S扇形OAB- S△OAB=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
5、①②④
【分析】
连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④．
【详解】
解：连接OM，

∵PE为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即AM平分，故①正确；
∵AB为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，故③错误；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由①可得，
，
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
三、解答题
1、（1）作图见解析，、；（2）
【分析】
（1）将绕点A顺时针旋转90°得，根据点A、B、C坐标，即可确定出点、的坐标；
（2）根据勾股定理求出AB的长，由扇形面积公式即可得出答案．
【详解】
（1）将绕点A顺时针旋转90°得如图所示：

∴、；
（2）由图可知：，
∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为．
【点睛】
本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．
2、
（1）8
（2）
（3）或．
【分析】
（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如图2，过点O作OH⊥AC于点H，

由垂径定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴设OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，

∵∠DEO＝∠AEC，
∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；

，
∴∠ACD≠∠DOE
∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，
∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，

∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，

由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，

同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
综上所述：AD的长是或
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．
3、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；
（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；
（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．
【详解】
解：（1）如图1，

设⊙O的半径为r，
连接OE，OF，
∵⊙O内切于△ABC，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFO是矩形，
∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，
∴AC＝4+r，BC＝5+r，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
（r+4）2+（r+5）2＝92，
∴r2+9r＝20，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝
＝20；
（2）
如图2，

（3）设△ABC的内切圆记作⊙F，
∴AF和BF平分∠BAC和∠ABC，FD⊥AB，
∴∠BAF＝∠CAB，∠ABF＝，
∴∠BAF+∠ABF＝（∠BAC+∠ABC）＝＝45°，
∴∠AFB＝135°，
可以按以下步骤作图（如图3）：
①以BA为直径作圆，作AB的垂直平分线交圆于点E，
②以E为圆心，AE为半径作圆，
③过点D作AB的垂线，交圆于F，
④连接EF并延长交圆于C，连接AC，BC，
则△ABC就是求作的三角形．

【点睛】
本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4、
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
（1）
证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）
解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴，
∴AD的长是．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
5、（1）B和C；（2）；（3）
【分析】
（1）根据图形可确定与点A组成的“成对关联点”的点；
（2）如图，点E在直线上，点F在直线上，当点E在线段上，点F在线段上时，有的“成对关联点”，求出即可得出的取值范围；
（3）分类讨论：点G在上，点G在的下方和点G在的上方，构造的“成对关联点”，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）如图所示：

在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是B和C，
故答案为：B和C；
（2）∵
∴在直线上，
∵点F与点E关于x轴对称，
∴在直线，
如下图所示：

直线和与分别交于点，，与直线分别交于，，
由题可得：，
当点E在线段上时，有的“成对关联点”
∴；
（3）

如图，当点G在上时，轴，在上不存在这样的矩形；

如图，当点G在下方时，也不存在这样的矩形；

如图，当点G在上方时，存在这样的矩形GMNH，
当恰好只能构成一个矩形时，
设，直线与y轴相交于点K，
则，，，，，
∴，即，
∴，
解得：或（舍），
综上：当时，点G，H是的“成对关联点”．
【点睛】
本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．