数学九年级下册第24章 圆综合与测试练习

这是一份数学九年级下册第24章 圆综合与测试练习，共32页。试卷主要包含了下列语句判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（ ）cm．
A．3πB．6πC．12πD．18π
3、小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A．30°B．60°
C．90°D．120°
4、下列语句判断正确的是（ ）
A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
5、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（ ）
A．19°B．38°C．52°D．76°
6、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
7、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（ ）
A．1B．C．D．2
8、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）

A．B．C．D．
9、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（ ）
A．10B．2C．2D．4
10、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当BK取最小值时，点B的坐标为_________．
2、到点的距离等于8厘米的点的轨迹是__．
3、如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B．若，，则AB的长为______．
4、如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为100°，则的度数是______．
5、如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，，，点D是上一点，与相交于点F，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点D是中点，连接，求证：平分．
2、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．
已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．
（1）求弦AC的长．
（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．
（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．
3、如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，顶点CD在第二象限．将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D1、C1、O三点在一条直线上．记点D1的坐标是（m，n），C1的坐标是（p，q）．
（1）设∠DAD1＝30°，n＝2，求证：OD1的长度；
（2）若∠DAD1＜90°，m，n满足m+n＝﹣4，p2+q2＝25，求p+q的值．
4、如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
5、如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分；
（2）若，，求BO的长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2、B
【分析】
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】
解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
3、B
【分析】
由题意依据每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.
【详解】
解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故选：B.
【点睛】
本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．
4、A
【分析】
根据等边三角形的对称性判断即可．
【详解】
∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴B，C，D都不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．
5、B
【分析】
连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接 为的直径，



为的切线，


故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
6、D
【分析】
由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．
【详解】
∵
∴
∵四边形内接于
∴
又∵
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
7、B
【分析】
利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．
【详解】
解： 在Rt中，，
∴BC=3，，
连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
∵，
∴，
解得，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
8、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
9、D
【分析】
首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴，
由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，
∴B'C=10-6=4，
在Rt△B'C'C中，，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．
10、D
【详解】
解：．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题
1、
【分析】
如图，作BH⊥x轴于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，利用等腰直角三角形的性质可得M的坐标，从而可得答案．
【详解】
解：如图，作BH⊥x轴于H．
∵C（0，4），K（2，0），
∴OC＝4，OK＝2，
∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，
∴∠ACO＝∠BAH，
∴△ACO≌△BAH（AAS），
∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，
∴B（m+4，m），
令x＝m+4，y＝m，
∴y＝x﹣4，
∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，
则

作KM⊥EF于M，过作于 则
根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）
【点睛】
本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．
2、以点为圆心，8厘米长为半径的圆
【分析】
由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．
【详解】
到点的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点为圆心，8厘米长为半径的圆．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．
3、3
【分析】
由切线长定理和，可得为等边三角形，则．
【详解】
解：连接，如下图：
，分别为的切线，
，
为等腰三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．
4、35°
【分析】
根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，
∵∠AOC＝100°，
∴∠BOD＝100°−30°×2＝40°，
∠ADO＝∠A＝（180°−∠AOD）＝（180°−30°）＝75°，
由三角形的外角性质得，∠B＝∠ADO−∠BOD＝75°−40°＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
5、
【分析】
由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：与是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在以为直径的圆上，
的外心为，，
，
如图，当时，的值最小，
，
，
，，
．
则的最小值是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
1、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）在和中，，，故可证明三角形相似．
（2）由得出．
（3）法一：由题意知，由得，有，所以可得，又因为可得，；由于，，进而说明，得出平分．法二：通过得出F、D、C、E四点共圆，由得，从而得出平分．
【详解】
解：（1）证明在和中

．
（2）证明：在和中

．
（3）证明：
又D是中点
，
平分．
法二：
F、D、C、E四点共圆
又D是点，
平分．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定，全等三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．
2、
（1）8
（2）
（3）或．
【分析】
（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如图2，过点O作OH⊥AC于点H，
由垂径定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴设OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，
∵∠DEO＝∠AEC，
∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；
，
∴∠ACD≠∠DOE
∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，
∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，
由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，
同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直径，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
综上所述：AD的长是或
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．
3、（1）4；（2）-1或-7
【分析】
（1）如图，且三点在一条直线上的情况，连接，过点向作垂线交点为，在直角三角形中，，，可求的长；
（2）如图，过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为；由，知，，点G坐标为，得，由知的值，从而得到的值．
【详解】
解：（1）∵∠DAD1＝30°且D1、C1、O三点在一条直线上
∴如图所示，连接，过点向作垂线交点为
∴
∵
．
（2）如图过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为
，
在和中
点横坐标可表示为
∴p+q=-7或-1．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．
4、（1）见详解；（2）
【分析】
（1）连接OD，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；
（2）连接AC，交OD于点F，利用勾股定理可得AC，，再证明四边形DFCE是矩形，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：连接OD，
∵是的中点，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）连接AC，交OD于点F，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=，
∵是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=3，
∴，
∴DF=5-4=1，
∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE=CF=3，CE=DF=1，
∴，
∴AD=CD=，
∵∠ADB=90°，
∴
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）连接OD，由与AB相切得，由HL定理证明由全等三角形的性质得，即可得证；
（2）设的半径为，则，在中，得出关系式求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可．
【详解】
（1）
如图，连接OD，
∵与AB相切，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）设的半径为，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，即，
在中，．
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．