专题11：三角函数的变换及其应用重难点突破—2021-2022学年高一数学上学期寒假复习重难点突破（人教A版2019必修第一册）

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1．为了得到曲线，只需把曲线上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度
【答案】AD
【详解】
A，向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍，故正确；
B，向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍，故错误；
C，横坐标变为原来的2倍，再将曲线向右平移个单位，故错误；
D，横坐标变为原来的2倍，再将曲线向右平移个单位，故正确；
故选：AD.
2．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
将函数的图象向右平移，可得函数的图象；
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象．
故选：D﹒
3．把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图象表示的函数的解析式为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
把的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，得到，
再把纵坐标扩大到原来的两倍，得到；然后把图象向左平移个单位，
得到，
故选：B.
4．将函数的图像向左平移个单位，得函数的图像，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】
，则将的图像向左平移个单位后得，
，
所以，
故选：D
5．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】D
【详解】
对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故选：D.
6．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
，
故将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：C.
7．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝（ ）
A．sinB．sinC．sinD．sin
【答案】B
【详解】
将的图象上各个点的横坐标变为原来的，
可得函数的图象，
再把函数的图象向右平移个单位，
即可得到的图象，
所以 ，
故选：B.
8．已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线问石平移个单位长度，得到曲线
B．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线
D．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
【答案】ACD
【详解】
对于选项，把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为，故A正确；
对于选项，把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为，故B错误；
对于选项，把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为，故C正确；
对于选项，把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为，故D正确.
故选：ACD
9．下列选项中，函数的图象向左或向右平移可以得到函数的图象的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【详解】
对于A：，，故不选A；
对于B：，，
将图象向左平移个单位可得到的图象，故选B；
对于C：，，将的图象向下平移个单位，可得到的图象．故不选C；
对于D：，，将的图象向左平移2个单位可得到的图象．
故选：BD．
考点二：已知三角函数部分图像求解析式
10．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
【答案】A
【详解】
设，
由图可知，，函数的最小正周期为，则，
，且函数在附近单调递减，
所以，，所以，，
所以，，其中，
因此，为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点向左平移个单位长度，
再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.
故选：A.
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】A
【详解】
由图象可知，函数的最小正周期为，则，，
，则，可得，
，所以，，
所以，，
因此，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
故选：A.
12．若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则（ ）
A．g(x)＝sinB．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin2xD．g(x)＝sin
【答案】C
【详解】
由函数，，的部分图象知，
，且，
解答，所以；
又，，，
所以，；
由知，；
所以；
所以．
故选：C．
13．若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，已知函数.）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．在上的最小值是
B．是的一个对称中心
C．在上单调递减
D．的图象关于点对称
【答案】C
【详解】
由函数，）的部分图象，
可得且，解得，所以，
又由时，，即，解得，
因为，可得，所以，
所以，
对于A中，当时，可得，
当时，即时，函数取得最小值，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
所以点点是的一个对称中心，所以B正确；
对于C中，当时，可得，
此时为先减后增的函数，所以C不正确；
对于D中，当时，可得，
所以是函数的对称中心，所以D正确.
故选：C.
14．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．函数在区间上单调递减
【答案】BCD
【详解】
，则，，
，∴，，
，，，∴，A错.
，，
，B对.
奇函数，C对.
，即，在上单调递减，而，∴D对.
故选：BCD.
15．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
C．的图象关于直线对称
D．若，则
【答案】BD
【详解】
由图可知，函数的最小正周期为，则，
，得，
所以，，得，，得，
所以，A项错误；
将的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，B项正确；
，故C项错误；
的最小正周期为，所以若，则，故D项正确，
故选：BD．
考点三：三角函数的变换的性质及应用
16．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
将向左平移个单位长度得：，
图象关于原点对称，
，解得：，又，
当时，取得最小值.
故选：D.
17．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数图象的解析式为，
令，得．
令k＝0，则，
即平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是.
故选：A
18．已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，且，使得，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，
其中，，可得，
则，
令，可得
当时，图象的对称轴方程为，
所以，可得，
故选：C.
19．将函数的图象分别向左、向右平移个单位后，所得的图象都关于轴对称，则的最小值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】
函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
因图象关于y轴对称，则，即，而，则，
向右平移个单位得函数的图象，函数关于y轴对称，
则有，即，而，则，
所以的最小值分别为，.
故选：A
20．若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
.
向左平移个单位得到，其图象关于原点对称，
所以，
由于，所以的最小值为.
故选：B
21．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题得，，，
∵，∴＝1且＝－1或且＝1，
作的图象，
∴的最小值为＝，
故选：D．
22．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【详解】
因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以
当时，
因为函数在区间上是单调增函数，所以
解得
故选：C
23．若函数的最小正周期为，将其图像向左平移个单位长度后所得图像对应的函数为，则关于的图像叙述正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于点对称
【答案】D
【详解】
因为，且最小正周期为，
所以，
即．
由题意可知，
因为，，
所以图象不关于直线对称，也不关于对称，
因为，，
所以的图像不关于点对称，关于点对称．
故选：D
24．已知函数的图象关于中心对称﹐现将曲线的纵坐标不变横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位．得到曲线．则关于函数给出下列结论：
①若，．且，则；
②存在．使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
③若在上恰有7个零点﹐则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为．
其中正确结论的编号是( )
A．①②B．②③C．①④D．②④
【答案】D
【详解】
由为的对称中心，知：，，
，
，．
①：由，且，则的最小正周期为，错误；
②：图象变换后所得函数为，若图象关于轴对称，则，得，，当时，．故正确；
③：设，当，时，．
在，上有7个零点，即在上有7个零点．
，解得．故错误；
④：由，得，
取，可得，
若在上单调递增，则，解得，正确．
故选：D．
25．已知函数的最小正周期为，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象；
②的图象经过点；
③的图象的一个对称中心是；
④在上是减函数；
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由最小正周期为，得；
由为对称轴，得，，
故取1，，所以；
①的图象向右平移个单位长度后，得，错误；
②,正确；
③，正确；
④，不单调，错误.
故选：B
考点四：三角函数的变换综合应用
26．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标：
（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）
（1）
由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
（2）
由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.
27．某地一天从6点到12点温度变化曲线近似满足．
（1）求6点到12点的温度变化曲线表达式；
（2）若这一天下午的温度变化继续近似满足上午的温度变化曲线，试估计大约下午几点温度达到25℃？
【答案】（1）；（2）.
（1）由图像可知，，图中从6点到12点的图象是函数的半个周期的图象.，解得. ，将代入解析式中， ，得到，即，，当，.
（2）
或，当时，没有符合条件的值；当时，，，所以大约下午14点温度达到25℃.
28．已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个不同的根，求m的取值范围．
【答案】（1）（2）
（1）函数
为偶函数
令，可得
图像的相邻两对称轴间的距离为
（2）
将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像
若在上有两个不同的根，则在上有两个不同的根，
即函数的图像与直线在上有两个不同的交点.
，，
，求得
故的取值范围为．
29．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）根据表中数据，求函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值；
（3）在（2）条件下，求在上的增区间.
【答案】（1）；（2）最小值为；（3），.
【详解】
（1）由表可知，①，②，
联立①②解得，，
.
（2）∵向左平行移动个单位后可得：，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）可得：，
令，，∴，，
∴当时，此时最小值为；
（3）因为，
令，，
所以，，
又，∴或，
∴增区间为，.
30．函数（其中 ，，）的部分图象如图所示，先把函数 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.
（1）求函数图象的对称中心.
（2）当时，求 的值域.
（3）当时，方程 有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）根据图象可知，，
∴，∴， ，
将代入得， ，即，解得 ，，
∵，∴， ，
∴.
函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得 ，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得
令，解得
∴此函数图象的对称中心为.
（2）当时， ，
，即 的值域为.
（3），
令，由（2）知， ，
因此m的取值范围为.
0
0
5
-5
0
0
0
5
0
-5
0