2023届高考一轮复习讲义（理科）第六章　数列 第1讲　高效演练分层突破学案

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1．已知数列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…，则5eq \r(5)是它的( )
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
解析：选C.数列eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(17)，eq \r(23)，eq \r(29)，…中的各项可变形为eq \r(5)，eq \r(5＋6)，eq \r(5＋2×6)，eq \r(5＋3×6)，eq \r(5＋4×6)，…，
所以通项公式为an＝eq \r(5＋6（n－1）)＝eq \r(6n－1)，
令eq \r(6n－1)＝5eq \r(5)，得n＝21.
2．已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，那么a5＝( )
A.eq \f(1,32) B．eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
解析：选A.因为数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，所以a2＝a1a1＝eq \f(1,4)，a3＝a1·a2＝eq \f(1,8).那么a5＝a3·a2＝eq \f(1,32).故选A.
3．在数列{an}中，a1＝－eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，则a2 020的值为( )
A．－eq \f(1,4) B．5
C.eq \f(4,5) D．eq \f(5,4)
解析：选A.在数列{an}中，a1＝－eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－eq \f(1,－\f(1,4))＝5，a3＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5)，a4＝1－eq \f(1,\f(4,5))＝－eq \f(1,4)，
所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 020＝a673×3＋1＝a1＝－eq \f(1,4).
4．(2020·山西太原模拟(一))已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝2n(n∈N*)，则a7＝( )
A.eq \f(7,3) B．eq \f(127,64)
C.eq \f(321,32) D．eq \f(385,64)
解析：选B.当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2n－2，又Sn＋an＝2n，所以2an－an－1＝2，所以2(an－2)＝an－1－2，故{an－2}是首项为a1－2，公比为eq \f(1,2)的等比数列，
又S1＋a1＝2，故a1＝1，所以an＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＋2，故a7＝2－eq \f(1,64)＝eq \f(127,64)，故选B.
5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝( )
A.eq \f(99,98) B．2
C.eq \f(99,50) D．eq \f(99,100)
解析：选C.由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝eq \f(n（n＋1）,2)，
则eq \f(1,an)＝eq \f(2,n（n＋1）)＝eq \f(2,n)－eq \f(2,n＋1)，
则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝
2×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,99)－\f(1,100)))))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,100)))＝eq \f(99,50).故选C.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2))
7．记数列{an}的前n项和为Sn，若∀n∈N*，2Sn＝an＋1，则a2 018＝________．
解析：因为2Sn＝an＋1，
所以2Sn－1＝an－1＋1(n≥2)，
所以2Sn－2Sn－1＝2an＝an－an－1(n≥2)，
即an＝－an－1(n≥2)，所以数列{an}是以2为周期的周期数列．
又2S1＝2a1＝a1＋1，
所以a1＝1，所以a2 018＝a2＝－a1＝－1.
答案：－1
8．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若eq \f(Sn－2,2n＋1)＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝________．
解析：因为eq \f(Sn－2,2n＋1)＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n.
答案：n
9．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq \f(n＋2,3)an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由S2＝eq \f(4,3)a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝eq \f(5,3)a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝eq \f(3,2)(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝eq \f(n＋2,3)an－eq \f(n＋1,3)an－1，
整理得an＝eq \f(n＋1,n－1)an－1.
于是
a1＝1，
a2＝eq \f(3,1)a1，
a3＝eq \f(4,2)a2，
…
an－1＝eq \f(n,n－2)an－2，an＝eq \f(n＋1,n－1)an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝eq \f(n（n＋1）,2).
显然，当n＝1时也满足上式．
综上可知，{an}的通项公式an＝eq \f(n（n＋1）,2).
10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(n－2)＋a－3))，
当n≥2时，an＋1≥an⇒12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n－2)＋a－3≥0⇒a≥－9.
又a2＝a1＋3＞a1.综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．
[综合题组练]
1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足eq \f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，则eq \f(an,n)的最小值为( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(5)－1 C．8 D．9
解析：选C.由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，
…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，
当n＝1时，a1＝20符合上式，
所以eq \f(an,n)＝n＋eq \f(20,n)－1，n∈N*，
所以n≤4时eq \f(an,n)单调递减，n≥5时eq \f(an,n)单调递增，
因为eq \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)，所以eq \f(an,n)的最小值为eq \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)＝8，故选C.
2．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1·a2·a3·…·an－1·an＝（n＋1）（n＋2），,a1·a2·a3·…·an－1＝n（n＋1），))
故当n≥2时，an＝eq \f(n＋2,n)，
所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*.))
答案：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*))
3．已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}单调递增，则必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0，1)．
答案：(0，1)
4．(2020·广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有________个．
解析：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，
则3m＝5n＋1，m，n∈N，
当m＝5k，n不存在；
当m＝5k＋1，n不存在；
当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意；
当m＝5k＋3，n不存在；
当m＝5k＋4，n不存在．
其中k∈N.
故2≤a＝15k＋8≤2 019，解－eq \f(6,15)≤k≤eq \f(2 011,15)，则k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135.
答案：135
5．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－eq \f(4,an)(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn))的变号数．
解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
又由a＞0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2n－5，n≥2.))
(2)由题意得cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3，n＝1，,1－\f(4,2n－5)，n≥2.))
由cn＝1－eq \f(4,2n－5)可知，当n≥5时，恒有cn＞0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－eq \f(1,3)，c5＝eq \f(1,5)，c6＝eq \f(3,7)，
即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0.
所以数列{cn}的变号数为3.