2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　高效演练分层突破学案，共4页。

[学生用书P61]
一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝cs_αcs__β＋sin_αsin__β．
C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs_αcs__β－sin_αsin__β．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcs__β＋cs_αsin__β．
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs__β－cs_αsin__β．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcs__α．
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
常用结论
记准四个必备结论
(1)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
(2)升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)))．
二、习题改编
1．(必修4P127练习T2改编)若cs α＝－eq \f(4,5).α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________．
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
答案：－eq \f(7\r(2),10)
2．(必修4P131练习T5改编)sin 347°cs 148°＋sin 77°·cs 58°＝________．
解析：sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°
＝sin(270°＋77°)cs(90°＋58°)＋sin 77°cs 58°
＝(－cs 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cs 58°
＝sin 58°cs 77°＋cs 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
3．(必修4P146A组T4改编)tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°·tan 40°＝________．
解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝eq \f(tan 20°＋tan 40°,1－tan 20°tan 40°)，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan 40°，
所以原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 20°tan40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)对任意角α都有1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2).( )
(3)y＝3sin x＋4cs x的最大值是7.( )
(4)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)不会逆用公式，找不到思路；
(2)不会合理配角出错；
(3)忽视角的范围用错公式．
1．化简：eq \f(sin 50°,sin 65°·\r(1－cs 50°))＝________．
解析：原式＝eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－cs 50°))
＝eq \f(cs 40°,cs 25°·\r(2)sin 25°)＝eq \f(cs 40°,\f(\r(2),2)sin 50°)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]
＝eq \f(tan α－tan（α－β）,1＋tan α·tan（α－β）)
＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(1,7)
3．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则tan 2θ＝________．
解析：法一：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，
得sin θ－cs θ＝eq \f(1,5)，①
θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，①平方得2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
可求得sin θ＋cs θ＝eq \f(7,5)，
所以sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝eq \f(3,5)，
所以tan θ＝eq \f(4,3)，tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
法二：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(1,7)＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)，
所以tan θ＝eq \f(4,3).
故tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
答案：－eq \f(24,7)