2023届高考一轮复习讲义（理科）第七章　不等式 第2讲　一元二次不等式的解法学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第七章　不等式 第2讲　一元二次不等式的解法学案，共14页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．一元二次不等式的解集
2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式解法
常用结论
1．两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0， ,b2－4ac<0.))
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0， ,b2－4ac<0.))
2．四类分式不等式
(1)eq \f(f（x）,g（x）)>0⇔f(x)g(x)>0.
(2)eq \f(f（x）,g（x）)<0⇔f(x)g(x)<0.
(3)eq \f(f（x）,g（x）)≥0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）g（x）≥0，,g（x）≠0.))
(4)eq \f(f（x）,g（x）)≤0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）g（x）≤0，,g（x）≠0.))
二、习题改编
1．(必修5P80A组T4改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4－x,x＋1)≤0))))，那么集合A∩(∁UB)＝________．
解析：因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x≥4}，故∁UB＝{x|－1≤x<4}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}．
答案：[－1，3]
2．(必修5P80A组T2改编)y＝lg2(3x2－2x－2)的定义域是________．
解析：由题意，得3x2－2x－2>0，令3x2－2x－2＝0，得x1＝eq \f(1－\r(7),3)，x2＝eq \f(1＋\r(7),3)，所以3x2－2x－2>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1－\r(7),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(7),3)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1－\r(7),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(7),3)，＋∞))
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)解不等式时，变形必须等价；
(2)忽视二次项系数的符号；
(3)对系数的讨论，忽视二次项系数为0的情况；
(4)解分式不等式时，忽视分母的符号．
1．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x7，所以，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x>7)))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x>7))))
2．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
解析：由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0.
得－4答案：(－4，1)
3．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))解得－4综上，m的取值范围是(－4，0]．
答案：(－4，0]
4．不等式eq \f(2,x＋1)<1的解集是________．
解析：eq \f(2,x＋1)<1⇒eq \f(2－（x＋1）,x＋1)<0
⇒eq \f(x－1,x＋1)>0⇒x>1或x<－1.
答案：{x|x>1或x<－1}
一元二次不等式的解法(多维探究)
角度一 不含参数的一元二次不等式
求不等式－x2＋8x－3>0的解集．
【解】 因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－eq \r(13)，x2＝4＋eq \r(13).又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－eq \r(13)角度二 含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【解】 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，
解得x1.
若a>0，原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.
①当a＝1时，eq \f(1,a)＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0无解；
②当a>1时，eq \f(1,a)<1，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，
得eq \f(1,a)③当01，解eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，
得1综上所述，当a<0时，解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1))))；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为∅；
当a>1时，解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)角度三 已知一元二次不等式的解集求参数
已知不等式ax2－bx－1>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)【解析】 由题意，知－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝\f(b,a)，,－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝\f(－1,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－6，,b＝5.))
即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
【答案】 {x|x≥3或x≤2}
eq \a\vs4\al()
一元二次不等式的解法
(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．
(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．
1．不等式0解析：原不等式等价于
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x－2>0，,x2－x－2≤4，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x－2>0，,x2－x－6≤0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－2）（x＋1）>0，,（x－3）（x＋2）≤0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2或x<－1，,－2≤x≤3.))
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2答案：[－2，－1)∪(2，3]
2．不等式eq \f(2x＋1,x－5)≥－1的解集为________．
解析：将原不等式移项通分得eq \f(3x－4,x－5)≥0，
等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3x－4）（x－5）≥0，,x－5≠0，))
解得x>5或x≤eq \f(4,3).
所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤\f(4,3)或x>5)))).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3)))∪(5，＋∞)
3．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解：因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
得x1＝－eq \f(a,4)，x2＝eq \f(a,3).
当a>0时，－eq \f(a,4)不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<－\f(a,4)或x>\f(a,3)))))；
当a＝0时，原不等式变形为x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，－eq \f(a,4)>eq \f(a,3)，
解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<\f(a,3)或x>－\f(a,4))))).
综上所述，当a>0时，不等式的解集为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<－\f(a,4)或x>\f(a,3)))))；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<\f(a,3)或x>－\f(a,4))))).
一元二次不等式恒成立问题(多维探究)
角度一 在R上的恒成立问题
若不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3，0) B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0]
【解析】 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k<0，,k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))<0，))解得－3综上，满足不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3，0]．
【答案】 D
角度二 在给定区间上的恒成立问题
(一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
【解】 要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，
所以m所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(m<\f(6,7))))).
法二：因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，
所以m因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)
＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))在[1，3]上的最小值为eq \f(6,7)，
所以只需m所以，m的取值范围是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(m<\f(6,7))))).
角度三 给定参数范围的恒成立问题
对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【解】 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在m∈[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（－1）＝（x－2）×（－1）＋x2－4x＋4>0，,g（1）＝（x－2）＋x2－4x＋4>0.))
解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零．
eq \a\vs4\al()
形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解策略
(1)对x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．
(2)对x∈[a，b]的不等式确定参数的范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式参数的取值范围．
(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
[提醒] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)：
i如图①，当g(x)的图象恒在x轴或x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
ii如图②，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x＝－\f(a,2)≤－2，,g（－2）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－4（3－a）≥0，,－\f(a,2)≤－2，,4－2a＋3－a≥0，))
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥2或a≤－6，,a≥4，,a≤\f(7,3)，))解得a∈∅.
iii如图③，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x＝－\f(a,2)≥2，,g（2）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－4（3－a）≥0，,－\f(a,2)≥2，,7＋a≥0，))
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥2或a≤－6，,a≤－4，,a≥－7.))
所以－7≤a≤－6，
综上，实数a的取值范围是[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h（4）≥0，,h（6）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))
解得x≤－3－eq \r(6)或x≥－3＋eq \r(6).
所以实数x的取值范围是
(－∞，－3－eq \r(6)]∪[－3＋eq \r(6)，＋∞)．
[基础题组练]
1． 不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞) B．R
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) D．∅
解析：选C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，
解得eq \f(3,2)所以不等式的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
2．不等式eq \f(1－x,2＋x)≥1的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
C．(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
D．(－∞，－2]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析：选B.eq \f(1－x,2＋x)≥1⇔eq \f(1－x,2＋x)－1≥0⇔eq \f(1－x－2－x,2＋x)≥0
⇔eq \f(－2x－1,2＋x)≥0⇔eq \f(2x＋1,x＋2)≤0⇔
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2x＋1）（x＋2）≤0,x＋2≠0))⇔－23．(2020·湖北黄冈元月调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(1，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C.因为关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，所以a>0，且－eq \f(b,a)＝1，所以关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,a)))(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|14．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即15．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2))∪(2，＋∞) B．(－eq \r(2)，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－eq \r(2)，2)
解析：选A.因为函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，
所以a＋2＝0，得a＝－2，
所以f(x)＝－2x2＋4，所以不等式(x－2)f(x)<0可转化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2<0，,f（x）>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2>0，,f（x）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<2，,－2x2＋4>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2，,－2x2＋4<0，))解得－eq \r(2)2.
故原不等式的解集为(－eq \r(2)，eq \r(2))∪(2，＋∞)．故选A.
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0答案：{x|07．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________．
解析：因为定义a⊙b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以eq \r(k2)＋1＋k2<3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1答案：(－1，1)
8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋mx－1的图象是开口向上的抛物线，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（m）<0，,f（m＋1）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1<0，,（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，))
解得－eq \f(\r(2),2)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))
9．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）>0，,f（1）>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－7x＋12>0，,x2－5x＋6>0，))解得x<2或x>4.
则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为eq \f(\r(2),2)，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
解：(1)因为函数f(x)＝eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝（2a）2－4a≤0，))
解得0综上可知，a的取值范围是[0，1]．
(2)因为f(x)＝eq \r(ax2＋2ax＋1)＝eq \r(a（x＋1）2＋1－a)，
因为a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝eq \r(1－a)，
由题意得，eq \r(1－a)＝eq \f(\r(2),2)，所以a＝eq \f(1,2)，
所以不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－eq \f(3,4)<0.
解得－eq \f(1,2)所以不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2))).
[综合题组练]
1．(2020·安徽蒙城五校联考)在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－3，5] D．[－2，4]
解析：选D.因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1当a<1时，不等式的解集为{x|a要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A．(－1，0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定
解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即eq \f(a,2)＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋b－eq \f(a2,4).
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－eq \f(a2,4)＝0，即b＝eq \f(a2,4).
所以f(x)＝(x＋eq \f(a,2))2.又f(x)所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)－\r(c)＝m ①，,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6 ②.))
②－①，得2eq \r(c)＝6，所以c＝9.
答案：9
4．对于实数x，当且仅当n≤x解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得eq \f(3,2)<[x]答案：[2，8)
5．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
(1)求f(x)在[0，1]内的值域；
(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两个根，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3＋2＝\f(8－b,a)，,－3×2＝\f(－a－ab,a)，))
所以a＝－3，b＝5.
所以f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(75,4).
因为函数图象关于x＝－eq \f(1,2)对称且抛物线开口向下，
所以f(x)在[0，1]上为减函数，
所以f(x)max＝f(0)＝18，
f(x)min＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝b2－4ac≤0，
即25＋12c≤0，所以c≤－eq \f(25,12)，
所以实数c的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(25,12))).
6．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为
{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m
＝(x－m)(ax－an＋1)，
因为a>0，且0所以x－m<0，1－an＋ax>0.
所以f(x)－m<0，即f(x)Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
程ax2＋bx
＋c＝0(a>0)
的根
有两个相异实根x1，x2(x1有两个相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c
>0(a>0)
的解集
{x|x>x2或xeq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠x1))))
R
ax2＋bx＋c
<0(a>0)
的解集
{x|x1∅
∅
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a) (x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|x>a或x(x－a) (x－b)<0
{x|a∅
{x|b