2023届高考一轮复习讲义（文科）第七章　不等式 第3讲　高效演练 分层突破学案

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解析：选C.用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C.
2．设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2，1)∈A
B．对任意实数a，(2，1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2，1)∉A
D．当且仅当a≤eq \f(3,2)时，(2，1)∉A
解析：选D.若(2，1)∈A，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋1>4，,2－a≤2，))解得a>eq \f(3,2)，所以当且仅当a≤eq \f(3,2)时，(2，1)∉A，故选D.
3．(2019·高考北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( )
A．－7 B．1
C．5 D．7
解析：选C.令z＝3x＋y，画出约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x|≤1－y，,y≥－1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤1－y，,x≥0，,y≥－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x≤1－y，,x<0，,y≥－1))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.
4．(2020·郑州市第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y≤2,x＋y≥1，,x－y≤1))则目标函数z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3x＋y)的最大值为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(11) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)
C．3 D．4
解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3x＋y)，设u＝3x＋y，欲求z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3x＋y)的最大值，等价于求u＝3x＋y的最小值．u＝3x＋y可化为y＝－3x＋u，该直线的纵截距为u，作出直线y＝－3x，并平移，当直线y＝－3x＋u经过点B(－1，2)时，纵截距u取得最小值umin＝3×(－1)＋2＝－1，所以z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3x＋y)的最大值zmax＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－1)＝3.故选C.
5．(2020·洛阳市统考)如果点P(x，y)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋2≥0,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的取值范围是( )
A．[eq \r(5)－1，eq \r(10)－1] B．[eq \r(5)－1，eq \r(10)＋1]
C．[eq \r(10)－1，5] D．[eq \r(5)－1，5]
解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为eq \r(5)，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是[eq \r(5)－1，5]，故选D.
6．(2020·安徽省考试试题)设x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－7≤0,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0))则z＝2x－y的最小值为 ．
解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A时，目标函数z＝2x－y取得最小值．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－5＝0,x＋y－7＝0))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝4))，即A(3，4)，所以zmin＝2×3－4＝2.
法二：易知目标函数z＝2x－y的最小值在可行域的顶点处取得，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－5＝0,x＋y－7＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝4))，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－5＝0,x－3y＋1＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝1))，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－7＝0,x－3y＋1＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5,y＝2))，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z的值为2，3，8，所以z的最小值为2.
答案：2
7．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y＋10≤0,x＋2≥0,x＋2y－5≤0))，则z＝eq \f(y,x)的取值范围为 ．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝eq \f(y,x)表示平面区域内的点与坐标原点O的连线的斜率．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－5＝0,x－3y＋10＝0))，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝3))，即A(－1，3)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2,x－3y＋10＝0))，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝\f(8,3)))，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(8,3))).
所以zmax＝kOB＝eq \f(\f(8,3),－2)＝－eq \f(4,3)，zmin＝kOA＝eq \f(3,－1)＝－3，
所以z＝eq \f(y,x)的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(4,3))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(4,3)))
8．已知x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＞0,x＋y＋1＜0,3x＋y＋9＞0))，记点(x，y)对应的平面区域为P.
(1)设z＝eq \f(y＋1,x＋3)，求z的取值范围；
(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．
解：平面区域如图中阴影部分所示，易得A，B，C三点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．
(1)由z＝eq \f(y＋1,x＋3)知z的值即是定点P(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，
当直线过A(－4，3)时，z＝－4；
当直线过C(－1，0)时，z＝eq \f(1,2).
故z的取值范围是(－∞，－4)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，
故直线l的方程是eq \f(y－1,（－1）－1)＝eq \f(（x＋3）,（－5）＋3)，即x－y＋4＝0.
[综合题组练]
1．(2020·新疆第一次适应性检测)若点M(x，y)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x－2y＋1＝0，,1≤x≤2，,0≤y≤2，))则x＋y的取值集合是( )
A．[1，2＋eq \r(2)] B．[1，3]
C．[2＋eq \r(2)，4] D．[1，4]
解析：选A.x2＋y2－2x－2y＋1＝(x－1)2＋(y－1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，则y＝－x＋z，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到eq \f(|2－z|,\r(2))＝1⇒z＝2±eq \r(2)，易知2－eq \r(2)不符合题意，故z＝2＋eq \r(2)，所以x＋y的取值范围为[1，2＋eq \r(2)]．故选A.
2．(应用型)(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x，y，m使不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥0 B．m≤3
C．m≥1 D．m≥3
解析：选B.作出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)．
设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，所以－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.
3．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．
解析：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y≤480，,6x＋y≤960，))z＝2x＋y，作出eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,2x＋3y≤480，,6x＋y≤960))表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.
答案：360
4．(综合型)实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，,x＋y－4≥0，))则z＝|x＋2y－4|的最大值为 ．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝eq \f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq \r(5)，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的eq \r(5)倍．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x－y－5＝0，))得点B坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
答案：21