2023届高考一轮复习讲义（理科）第七章　不等式第2讲　高效演练分层突破学案

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这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第七章　不等式第2讲　高效演练分层突破学案，共5页。

1．不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞) B．R
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)) D．∅
解析：选C.因为不等式(x－2)(2x－3)<0，
解得eq \f(3,2)所以不等式的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
2．不等式eq \f(1－x,2＋x)≥1的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
C．(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
D．(－∞，－2]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析：选B.eq \f(1－x,2＋x)≥1⇔eq \f(1－x,2＋x)－1≥0⇔eq \f(1－x－2－x,2＋x)≥0
⇔eq \f(－2x－1,2＋x)≥0⇔eq \f(2x＋1,x＋2)≤0⇔
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2x＋1）（x＋2）≤0,x＋2≠0))⇔－23．(2020·湖北黄冈元月调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(1，2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C.因为关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，所以a>0，且－eq \f(b,a)＝1，所以关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,a)))(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|14．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4，1] B．[－4，3]
C．[1，3] D．[－1，3]
解析：选B.原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即15．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2))∪(2，＋∞) B．(－eq \r(2)，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－eq \r(2)，2)
解析：选A.因为函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，
所以a＋2＝0，得a＝－2，
所以f(x)＝－2x2＋4，所以不等式(x－2)f(x)<0可转化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2<0，,f（x）>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2>0，,f（x）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<2，,－2x2＋4>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2，,－2x2＋4<0，))解得－eq \r(2)2.
故原不等式的解集为(－eq \r(2)，eq \r(2))∪(2，＋∞)．故选A.
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0答案：{x|07．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________．
解析：因为定义a⊙b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以eq \r(k2)＋1＋k2<3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1答案：(－1，1)
8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋mx－1的图象是开口向上的抛物线，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（m）<0，,f（m＋1）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1<0，,（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，))
解得－eq \f(\r(2),2)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))
9．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）>0，,f（1）>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－7x＋12>0，,x2－5x＋6>0，))解得x<2或x>4.
则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为eq \f(\r(2),2)，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
解：(1)因为函数f(x)＝eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝（2a）2－4a≤0，))
解得0综上可知，a的取值范围是[0，1]．
(2)因为f(x)＝eq \r(ax2＋2ax＋1)＝eq \r(a（x＋1）2＋1－a)，
因为a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝eq \r(1－a)，
由题意得，eq \r(1－a)＝eq \f(\r(2),2)，所以a＝eq \f(1,2)，
所以不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－eq \f(3,4)<0.
解得－eq \f(1,2)所以不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2))).
[综合题组练]
1．(2020·安徽蒙城五校联考)在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－3，5] D．[－2，4]
解析：选D.因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1当a<1时，不等式的解集为{x|a要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A．(－1，0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定
解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即eq \f(a,2)＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)＋b－eq \f(a2,4).
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－eq \f(a2,4)＝0，即b＝eq \f(a2,4).
所以f(x)＝(x＋eq \f(a,2))2.又f(x)所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)－\r(c)＝m ①，,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6 ②.))
②－①，得2eq \r(c)＝6，所以c＝9.
答案：9
4．对于实数x，当且仅当n≤x解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得eq \f(3,2)<[x]答案：[2，8)
5．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
(1)求f(x)在[0，1]内的值域；
(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两个根，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3＋2＝\f(8－b,a)，,－3×2＝\f(－a－ab,a)，))
所以a＝－3，b＝5.
所以f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(75,4).
因为函数图象关于x＝－eq \f(1,2)对称且抛物线开口向下，
所以f(x)在[0，1]上为减函数，
所以f(x)max＝f(0)＝18，
f(x)min＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝b2－4ac≤0，
即25＋12c≤0，所以c≤－eq \f(25,12)，
所以实数c的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(25,12))).
6．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为
{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m
＝(x－m)(ax－an＋1)，
因为a>0，且0所以x－m<0，1－an＋ax>0.
所以f(x)－m<0，即f(x)

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