2021-2022第一学期北京门头沟初三数学期末试卷

这是一份2021-2022第一学期北京门头沟初三数学期末试卷，共6页。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．已知（），下列比例式成立的是
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是
A．B． C． D．
3. 已知⊙O的半径为5，如果点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
4．在Rt△ABC中，如果∠C = 90°，tan A = 2，那么sin A的值是
A．B．C．D．
5．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB于E，
如果∠CAB = 20°，那么∠AOD等于
A．120°B．140°
C．150°D．160°
6. 如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，
这条新的抛物线的表达式是
A．B．
C．D．
7. 如果与都在函数的图象上，且，那么k的取值范围是
A．k＞1B．k＜1C．k≠1D．任意实数
8．如图，如果抛物线与x轴交于A、B两点，点P是以为圆心，2为半径的圆
上的一个动点，点Q是线段PA的中点，连接OQ，
那么线段OQ的最大值是
A．3B．
C．4D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果，那么的值是 ．
10．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它
和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．
该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
11．如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个相似三角形的周长比是 ．
12．如图，扇形的圆心角∠AOB = 60°，半径为3cm．如果点C、D是的
三等分点，图中所有阴影部分的面积之和是 cm2．
13．把二次函数的表达式化为的形式为 ．
14．写出一个图象位于第一，三象限的反比例函数的表达式 ．
15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．
其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，
股（长直角边）长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆
的直径是多少？”．
答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步．
16．函数的图象如图所示，在下列结论中，
① 该函数自变量x的取值范围是；② 该函数有最小值；
③ 方程有三个根；④ 如果和是该
函数图象上的两个点，当时一定有．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．
添加一个条件 ，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．
19．已知：如图1，在△ABC中，AB = AC ．
求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆．
图1 图2
作法： = 1 \* GB3 ① 如图2，作∠BAC的平分线交BC于D；
= 2 \* GB3 ② 作线段AB的垂直平分线EF；
= 3 \* GB3 ③ EF与AD交于点O；
= 4 \* GB3 ④ 以点O为圆心，以OB为半径作圆．
∴ ⊙O就是所求作的△ABC的外接圆．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ AB = AC，∠BAD =∠DAC，
∴ ．
∵ AB的垂直平分线EF与AD交于点O，
∴ OA = OB，OB = OC．（ ）（填推理的依据）
∴ OA = OB = OC．
∴ ⊙O就是△ABC的外接圆．
20．已知二次函数（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标．
21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD是AB边上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点
为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如果P是坐标轴上一点，且满足PA = OA，直接写出点P的坐标．
23．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为
30°，然后沿DF方向前行70 m到达点E处，在点
E处测得塔顶M的仰角为60°．
求永定楼的高MF．（结果保留根号）
24．在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和DA足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB和BC两边）．
设AB = x m，S矩形ABCD = y m2．
（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为192 m2时，求AB的长；
（3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙DC和DA的距离分别是15 m和6 m，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC = ∠AOF；
（2）如果，BD = 8，求EF的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（a＞0）．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有
y1＞y3＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．

27．在△ABC中，∠BAC = 45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，
① 依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
② 用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明．
（2）如图2，当∠ABC为钝角时，直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
图1 图2
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，，⊙C的半径为1．如果将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）后的对应线段所在的直线与⊙C相切，且切点在线段上，那么线段AB就是⊙C的“关联线段”，其中满足题意的最小α就是线段AB与⊙C的“关联角”．
（1）如图1，如果，线段OA是⊙C的“关联线段”，那么它的“关联角”为 °．
（2）如图2，如果、，、，、．
那么⊙C的“关联线段”有 （填序号，可多选）．
① 线段A1 B1② 线段A2 B2③ 线段A3 B3
（3）如图3，如果、，线段BD是⊙C的“关联线段”，那么t的取值范围是 ．
（4）如图4，如果点M的横坐标为m，且存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的“关联线段”，那么m的取值范围是 ．

图1 图2

图3 图4
考生须知
1．本试卷共6页，三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。
2．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。
4. 考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回。
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
-3
-4
-3
0
5
…