2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂检测题

这是一份2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂检测题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ ，若平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2 ，则 |csθ|= （ ）
A. n1⋅n2|n1||n2| B. |n1⋅n2||n1||n2| C. |n1||n2|n1⋅n2 D. |n1||n2||n1⋅n2|
2.已知 O-ABC 为空间四面体， P 为底面 ABC 上一点，且满足 2AP=xOA+yOB+zOC ，则以下等式一定成立的是（ ）
A. x+y+z=1 B. x+y+z=0 C. x+y+z=-1 D. x+y+z=12
3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 是 CC1 的中点，则直线 AD 与直线 BE 所成角的余弦值为（ ）
A. 12 B. 22 C. 55 D. 255
4.已知向量 a=(3,1,2) ， b=(-1,3,t) ，且 a 与 b 夹角的余弦值为 27 ，则 t 的取值可以是（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. ±2
5.已知向量 a=(2,3),b=(1,1) ，向量 ma→+nb→ 与 2a→-3b→ 共线，则 mn （ ）
A. 23 B. 32 C. -23 D. -32
6.已知 |a+2e|=|b-3e|=1 ， |e|=1 ，则 a⋅b 的最小值是（ ）
A. -18 B. -12 C. -8 D. -6
7.已知二面角 α-l-β ，其中平面的一个法向量 m=(1,0,-1) ，平面 β 的一个法向量 n=(0,-1,1) ，则二面角 α-l-β 的大小可能为（ ）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°
8.设向量 {a,b,c} 是空间的一个基底，则—定可以与向量 p=a+b,q=a-b 构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A. a B. b C. c D. a 或 b
9.在 △ ABC中，D是边AC上的点，E是直线BD上一点，且 DC=4AD ， BE=2BD ，若 AE=mAB+nAC ，则m-n=（ ）
A. 75 B. -75 C. 35 D. -35
10.已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切， A ， B ， C ， D ，是其中四个圆的圆心，则 AB⋅CD= （ ）
A. 6 B. 10 C. 24 D. 26
二、多选题
11.设 {a,b,c} 构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在不全为零的实数 x ， y ， z ，使得 xa+yb+zc=0
B. 对空间任一向量 p ，总存在唯一的有序实数组 (x,y,z) ，使得 p=xa+yb+zc
C. 在 a ， b ， c 中，能与 a+b ， a-b 构成空间另一个基底的只有 c
D. 存在另一个基底 {a',b',c'} ，使得 a+2b+3c=a'+2b'+3c'
12.对于任意向量 a ， b ， c ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 a//b ， b//c ，则 a//c B. 若 a⋅b=b⋅c ，则 a=c
C. 若 a=b ， b=c ，则 a=c D. 若 |a-b|=|a+b| ，则 a⋅b=0
13.在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为 G ，两个拉力分别为 F1 ， F2 ，若 |F1|=|F2| ， F1 与 F2 的夹角为 θ ．则以下结论正确的是（ ）
A. |F1| 的最小值为 12|G| B. θ 的范围为 [0,π]
C. 当 θ=π2 时， |F1|=22|G| D. 当 θ=2π3 时， |F1|=|G|
三、填空题
14.设 △OAB 中， OA=a ， OB=b 且满足 |a-b|=|a| ， |a+b|=2 ，当 △OAB 面积最大时，则 a+b 与 b 夹角的大小是________.
四、解答题
15.已知向量 a=(csθ,sinθ) ， θ∈[0,π] ，向量 b=(3,-1) ．
（1）若 a⊥b ，求 θ 的值；．
（2）若 |2a-b|答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】由题意， cs〈n1,n2〉=n1⋅n2|n1||n2| ，而平面 α 与平面 β 的夹角 θ 与 〈n1,n2〉 相等或互补，所以 |csθ|=|n1⋅n2||n1||n2| 。
故答案为：B．

【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而结合平面 α 与平面 β 的夹角 θ 与 〈n1,n2〉 相等或互补，进而求出|csθ|=|n1⋅n2||n1||n2|。
2.【答案】 B
【解析】【解答】因为 P∈ 平面 ABC ，设 AP=mAB+nAC(m,n∈R) ，
则 AP=m(OB-OA)+n(OC-OA)=(-m-n)OA+mOB+nOC ，
所以， 2AP=(-2m-2n)OA+2mOB+2nOC=xOA+yOB+zOC ，
则 x=-2m-2n ， y=2m ， z=2n ，因此， x+y+z=0 。
故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合三角形法则结合平面向量基本定理，再结合已知条件 2AP=xOA+yOB+zOC ， 从而求出 x=-2m-2n ， y=2m ， z=2n ，因此， x+y+z=0 ，从而选出正确的答案。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则 D(0,0,0) ， A(2,0,0) ， B(2,2,0) ， E(0,2,1) ，所以 DA=(2,0,0) ， BE=(-2,0,1) ，设直线 AD 与直线 BE 所成角为 θ ，所以 csθ=|DA·BE||DA|·|BE|=425=255
故答案为：D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的余弦值。
4.【答案】 A
【解析】【解答】因为向量 a=(3,1,2) ， b=(-1,3,t) ， a 与 b 夹角的余弦值为 27 ，
所以 27=cs=a⋅b|a||b|=-3+3+2t9+1+4×1+9+t2=2t14×10+t2 ，
整理得 t2=4 (其中 t>0 )，解得 t=2 （负值舍去）.
故答案为：A.

【分析】利用空间向量夹角公式直接求解，即可得出答案。
5.【答案】 C
【解析】【解答】由题意可知： a 和 b 不共线，
所以 a 和 b 可以作为一组基底，
而 ma+nb 与 2a-3b 共线，
所以 mn=2-3=-23 ，
故答案为：C．

【分析】利用向量共线定理即可得出答案。
6.【答案】 B
【解析】【解答】因为 |a+2e|=|b-3e|=1 ，根据向量线性运算的几何意义，可得 ||a|-|2e||≤|a+2e|≤|a|+|2e| ， ||b|-|3e||≤|b-3e|≤|b|+|3e| ，
即 ||a|-2|≤1≤|a|+2 ， ||b|-3|≤1≤|b|+3 ，
所以 1≤|a|≤3 ， 2≤|b|≤4 ，
当 |a|=3 时，由 |a+2e|=1 可得 |a|2+4a⋅e+4|e|2=1 ，即 9+12cs+4=1 ，
所以 cs=-1 ，因为向量夹角大于等于 0∘ 且小于等于 180∘ ，所以 =180∘ ，故 a=-3e ；
当 |b|=4 时，由 |b-3e|=1 可得 |b|2-6b⋅e+9|e|2=1 ，即 16-24cs+9=1 ，
所以 cs=1 ，故 =0∘ ，所以 b=4e ，
此时 a 与 b 恰好反向，且模都取得最大值，所以 a⋅b 的最小值是 3×4×cs180∘=-12 .
故答案为：B.

【分析】由|a+2e|=|b-3e|=1 ，根据向量线性运算的几何意义，可得 ||a|-|2e||≤|a+2e|≤|a|+|2e| ， ||b|-|3e||≤|b-3e|≤|b|+|3e| ，即 ||a|-2|≤1≤|a|+2 ， ||b|-3|≤1≤|b|+3 ，所以 1≤|a|≤3 ， 2≤|b|≤4 ，分情况讨论，可得 a 与 b 恰好反向，且模都取得最大值，进而得出答案。
7.【答案】 C
【解析】【解答】 cs=m⋅n|m||n|=-12×2=-12 ，
所以 =120∘ ，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是60°或120°
故答案为：C

【分析】根据两个平面法向量之间的夹角公式，求出它们之间的夹角余弦值，再得到夹角。
8.【答案】 C
【解析】【解答】因为向量 {a,b,c} 是空间的一个基底，所以三个向量不共面，而向量 p=a+b,q=a-b 与 a 或 b 共面，故排除A、B、D.
故答案为：C.

【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论。
9.【答案】 B
【解析】【解答】∵ DC=4AD ，∴ AC=5AD ，
∴ AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=-AB+2AD=-AB+25AC
∴ m-n=-1-25=-75 ·
故答案为：B

【分析】运用共线向量的性质，结合平面向量基本定理，平面向量加法的几何性质进行求解即可。
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图所示,建立以 a,b 为一组基底的基向量,其中 |a|=|b|=1 且 a,b 的夹角为60°,
∴ AB=2a+4b , CD=4a-2b ,
∴ AB⋅CD=(2a+4b)⋅(4a-2b)=8a2-8b2+12a⋅b=8-8+12×1×1×12=6 .
故答案为：A.

【分析】建立以 a,b 为一组基底的基向量,其中 |a|=|b|=1 且 a,b 的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知向量，向量AB⇀和CD⇀均可以用a,b 表示，再结合平面向量数量积运算法则即可得到答案。
二、多选题
11.【答案】 B,C,D
【解析】【解答】A选项，假设存在不全为零的实数 x ， y ， z ，使得 xa+yb+zc=0 ，不妨令 x≠0 ，则 a=-yxb-zxc ，此时 a ， b ， c 共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，A不符合题意；
B选项，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量 p ，总存在唯一的有序实数组 (x,y,z) ，使得 p=xa+yb+zc ，即B符合题意；
C选项，因为 a=12(a+b)+12(a-b) ， b=12(a+b)-12(a-b) ，而 c 不能由 a+b ， a-b 表示出，即向量 a+b ， a-b ， c 不共面，因此 a+b ， a-b ， c 可以构成一组基底，即C符合题意；
D选项，若 {a',b',c'} 与 {a,b,c} 都是构成空间的基底，如果 a+2b+3c=0 ，若 a=-a' ， b=-b' ， c=-c' ，则 a+2b+3c=a'+2b'+3c'=0 ，
即 {a',b',c'} 与 {a,b,c} 是不同的基底，D符合题意．
故答案为：BCD.

【分析】利用已知条件结合基底的定义，再结合平面向量基本定理，进而找出说法正确的选项。
12.【答案】 C,D
【解析】【解答】A. 当 b=0 时，满足 a//b ， b//c ，但 a,c 不一定共线，故错误；
B. 因为 a⋅b=b⋅c ，所以 b⋅(a-c)=0 ，所以 b⊥(a-c) ，故错误；
C. 因为 a=b ， b=c ，所以 a=c ，故正确；
D. 因为 |a-b|=|a+b| ，所以 |a-b|2=|a+b|2 ，即 a⋅b=0 ，故正确；
故答案为：CD

【分析】利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，判断选项即可。
13.【答案】 A,C,D
【解析】【解答】对于A选项：因为 |G|=|F1+F2| 为定值，且 |F1|=|F2| ，
所以 |G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|⋅|F2|⋅csθ=2|F1|2(1+csθ) ，解得 |F1|2=|G|22(1+csθ) ，
又 θ∈[0,π) ， y=csθ 在 θ∈[0,π) 上单调递减，所以 |F1| 最小值为 12|G| ，A符合题意；
对于B选项：由题意得 θ∈[0,π) ，B不正确；
对于C选项：当 θ=π2 时， |F1|2=|G|22 ，所以 |F1|=22|G| ，C符合题意；
对于D选项：当 θ=2π3 时， |F1|2=|G|2 ，所以 |F1|=|G| ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用三角形法则求向量的和的方法结合已知条件，再利用数量积求向量的模和向量间夹角的公式，解得 |F1|2=|G|22(1+csθ) ，又 θ∈[0,π) ，从而利用余弦函数的图像，从而判断出函数y=csθ 在 θ∈[0,π) 上的单调性，从而求出|F1| 最小值；再利用分类讨论的方法，从而找出结论正确的选项。
三、填空题
14.【答案】 31010
【解析】【解答】在 △OAB 中， OA=a ， OB=b ，满足 |a-b|=|a| ， |a+b|=2 ，
如图，
∴|a-b|=|a|=|AB| ，
∴S△OAB=12|AB|⋅|OA|sin∠BAO=12|a|2sin∠BAO ，
若使 △OAB 面积最大时， sin∠BAO=1 ，即 ∠BAO=π2 ，
∴BA⊥OA ,
∴BA2+OA2=OB2⇒|b→|=2|a→| ，
∴cs=(a→+b)⋅b→|a→+b|⋅|b→|=a→⋅b→+|b|22|b→| ，
又 ∵α⋅b=|a→|⋅|b→|cs∠AOB=2|a→|2.22=|a→|2 ，
∴cs=|a→|2+2|a→|222|a→|=324|a→| ，
又 ∵|a+b|=2 ，
∴|a|2+|b→|2+2a→⋅b→=4 ，即 5|a|2=4 ，
∴|a|=255 ，
∴cs=324×255=31010 ，
故答案为： 31010

【分析】由题意可知三角形为等腰三角形，根据面积最大可知三角形为等腰直角三角形，根据夹角公式及数量积的性质运算求解。
四、解答题
15.【答案】 （1）解：由 a⊥b ，得 3csθ-sinθ=0 ，
解得 tanθ=3 ．
又 θ∈[0,π] ，所以 θ=π3 ．
（2）解：因为 2a-b=(2csθ-3,2sinθ+1) ，
所以 |2a-b|=(2csθ-3)2+(2sinθ+1)2
=8+4sinθ-43csθ=8+8sin(θ-π3) ，
由 θ∈[0,π] ，得 θ-π3∈[-π3,2π3] ，
所以当 θ-π3=π2 时．即 θ=5π6 时， |2a-b|max=4 ．
由 |2a-b|4 ，
所以实数 m 的取值范围 (4,+∞) ．
【解析】【分析】(1)根据题意由向量垂直的坐标关系式即可得到3csθ-sinθ=0进得到tanθ=3由此求出角的大小。
(2)首先由向量的坐标公式以及向量模的公式整理即可得出|2a-b|=(2csθ-3)2+(2sinθ+1)2 ， 再由同角三角函数的关系式以及两角和的正弦公式即可得到|2a→-b→|=8+8sin(θ-π3) ， 结合角的取值范围以及正弦函数的性质即可求出|2a-b|max=4 ， 由此得到|2a-b|4。