高中数学北师大版必修21.3两条直线的位置关系教学演示ppt课件

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§1　直线与直线的方程
1.3　两条直线的位置关系
过山车是一种富有刺激性的娱乐工具．实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？
2．两条直线垂直(1)设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．若l1⊥l2，则k1·k2＝_______，反之，若k1·k2＝_______，则l1⊥l2．(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．若l1⊥l2，则_________________，反之也成立．(3)若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不为0)，则与直线l垂直的直线可设为Bx－Ay＋D＝0．
A1A2＋B1B2＝0　
1．有下列说法：①若两直线l1和l2的斜率相等，则l1∥l2；②若l1∥l2，则两直线的斜率相等；③若两条直线l1和l2中有一条斜率不存在，另一条斜率存在，则l1与l2相交④若直线l1与l2斜率都不存在，则l1∥l2．其中正确的个数是(　　)A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4[解析]　①错误，因为k1＝k2，则l1与l2平行或重合；②错误，忽略了斜率不存在的情况；④错误，l1与l2有可能重合；只有③正确．
4．(2018·潍坊质检)直线l：4x－3y＋12＝0与两坐标轴相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为__________________．
5．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角为45°的直线平行，则a＝_____．
命题方向1　⇨已知直线方程判断两直线平行或垂直
　　　　　判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1．[思路分析]　利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断．
『规律总结』　已知直线方程判断两直线平行或垂直的步骤：(1)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行；若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直；(2)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2．
〔跟踪练习1〕已知直线－6x＋2y＋3＝0与直线3x－y－2＝0，则两直线的位置关系是(　　)A．重合　　　　　　B．平行C．垂直D．相交
命题方向2　⇨两直线平行的条件
　　　　　直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．[思路分析]　一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论，分两种情况进行求解；另一种方法是直接利用一般式方程表示直线的前提下，由两直线平行的条件建立参数的方程求解．
『规律总结』　1.已知两直线平行，求方程中的参数值时，通常有两种方法：一是对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解；二是直接根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1进行求解．2．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除它们重合的情况．
〔跟踪练习2〕(1)求过点(1,2)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程；(2)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，求m的值．[解析]　(1)已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜率也是－2．根据点斜式，得所求直线的方程是：y－2＝－2(x－1)即2x＋y－4＝0．
命题方向3　⇨两直线垂直的条件
　　　　　直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．[思路分析]　已知两直线垂直，可利用k1·k2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．
『规律总结』　1.判断两直线是否垂直的方法：(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0判断；(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1判断；(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．2．已知两直线垂直求方程中的参数值时，通常也有两种方法，一是根据k1k2＝－1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况；二是直接利用A1A2＋B1B2＝0求解．
〔跟踪练习3〕判断下列各小题中的直线是否垂直：(1)l1过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)．
　　　　　(1)求过点A(1，－4)，且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程．(2)直线l过点P(1，－1)且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，求l的方程．[思路分析]　由直线系方程求解或由斜率间关系求解．
『规律总结』　和直线y＝kx＋b平行的直线可假设为y＝kx＋m，m≠b；和直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可假设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，和直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可假设为Bx－Ay＋λ＝0，然后再用待定系数法求未知系数．
〔跟踪练习4〕求直线l的方程：(1)过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6＝0平行；(2)过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6＝0垂直．
　　　　　当a为何值时，直线l1：2x＋ay＝2，l2：ax＋2y＝1互相垂直．
[辨析]　上述解法忽视了斜率不存在的情况．若利用结论：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，可避免上述解法中的错误．[正解]　l1：2x＋ay＝2，l2：ax＋2y＝1且l1⊥l2⇔2a＋2a＝0⇔a＝0，即当a＝0时，l1⊥l2．
『规律总结』　在直线用一般式表示出来后，求斜率时特别要注意，可能k不存在．
课 时 作 业 学 案