人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试练习题

这是一份人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试练习题，共14页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若幂函数f(x)的图象过点(2,2),则函数g(x)=f(x)-3的零点是( )
A.3B.9C.(3,0)D.(9,0)
2.已知函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=lg2x,给出以下四个命题:
①f(x),g(x),h(x)在其定义域上都是增函数;
②f(x)的增长速度始终不变;
③g(x)的增长速度越来越快;
④h(x)的增长速度越来越慢.
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3.根据表格中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如下表所示:
根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型的是( )
A.y=0.5(x+1)B.y=lg3x+1.5 C.y=2x-1D.y=2x
5.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古学家发现一批鱼化石,经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%,则该生物生存的年代距今约( )
A.1.7万年B.2.3万年 C.2.9万年D.3.5万年
6.已知f(x)=2x-lg12x的零点为a,g(x)=12x-lg2x的零点为b,h(x)=12x-lg12x的零点为c, 则a,b,c的大小关系是( )
A.a7.方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有两个不同的实数根x1,x2,且满足0A.-75,-54B.(-∞,-1)∪(5,+∞) C.-3,-75D.-3,-54
8.某工厂2017年投入的科研资金为120万元,在此基础上,每年投入的科研资金比上一年增长12%,则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 3≈0.48,lg 2≈0.30)
A.2022年B.2023年C.2024年D.2025年
9.甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是( )
A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元
10.已知函数f(x)=x2+ex-1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A.-∞,1eB.(-∞,e) C.(-∞,1)D.(1,e)
11.对于每个实数x,设f(x)取y=2x,y=|x-2|两个函数中的较小者.若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,且它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是( )
A.(2,6-23)B.(2,3+1) C.(4,8-23)D.(0,4-23)
12.定义在R上的函数f(x)=1|x-e|,x≠e,1,x=e,若关于x的方程[f(x)]2-mf(x)+m-1=0(其中m>2)有n个不同的实数根x1,x2,…,xn,则f(x1+x2+…+xn)=( )
A.5eB.4eC.14eD.13e
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.若函数f(x)=m·3x-x+3(m<0)在区间(1,2)上有零点,则m的取值范围为 .
14.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,4]上的实数根的近似值时,取中点x1=3,则下一个有根区间是 .
15.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于 .(保留三位有效数字,参考数据:ln 3≈1.099)
16.已知函数f(x)=a|lg2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=f(x),x>0,f(-x),x<0.给出下列四个命题:
①F(x)=|f(x)|;
②函数F(x)是偶函数;
③当a<0时,若0④当a>0时,函数y=F(x)-2有4个零点.
其中真命题的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数f(x)的两个零点分别是-1和-3,求k的值;
(2)若函数f(x)的两个零点分别是α和β(α,β∈R),求α2+β2的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知f(x)=2x+1,x≤0,lg2(x+1),x>0.
(1)作出函数f(x)的图象,并写出单调区间;
(2)若函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天该产品每天的价格呈直线上升趋势,而后60天呈直线下降趋势.现抽取其中4天的价格如下表所示:
(1)写出价格f(x)关于时间x的函数解析式(x表示投入市场的第x天);
(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系式是g(x)=-13x+1093 (1≤x≤100,x∈N*),求日销售额的最大值,并求第几天日销售额最高.
20.(本小题满分12分)某公司研发芯片耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(千万元)与投入的资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y2=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式;
(2)如果公司只生产一种芯片,生产哪种芯片毛收入更大?
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示公司所获利润,当x为多少时,可以获得最大利润?并求最大利润.(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
21.(本小题满分12分)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(单位:月,x∈N)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.
(参考数据:2≈1.414,3≈1.732,lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的y关于x的函数解析式;
(2)求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投放面积的1 000倍.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln[(4-a)x+2a-5],g(x)=lna-1x,其中a为常数.
(1)当a=3时,设函数h(x)=f(2x2-1)-f(x2),判断函数h(x)在(0,+∞)上是增函数还是减函数,并说明理由;
(2)设函数F(x)=f(x)-g(x),若函数F(x)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第三章 函数的应用
本章达标检测
一、选择题
1.B 设幂函数f(x)=xα,
∵f(x)的图象过点(2,2),
∴f(2)=2α=2,解得α=12,∴f(x)=x12,
∴函数g(x)=f(x)-3=x12-3,
令g(x)=0,得x=9.
∴函数g(x)=f(x)-3的零点是9.故选B.
2.D 根据常见函数模型及增长特点可知,①②③④均为真命题.
3.C 设f(x)=ex-x-2,则f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(1)·f(2)<0,所以方程ex-x-2=0的一个根所在区间为(1,2).
4.B 根据题表中的数据可得年销售量y随着年宣传费x的增长而增长,且增长速度越来越平缓.故排除A、C.当x=1时,y=lg3x+1.5=1.5,y=2x=2;当x=3时,y=lg3x+1.5=2.5,y=2x=23≈3.46;……
经过验证,可知函数y=lg3x+1.5的数据更接近已知数据,故应选择函数模型y=lg3x+1.5.
5.C 设该生物生存的年代距今是第n个5 730年,则(1-50%)n=3.1%,解得n=lg0.53.1%≈5,5×5 730=28 650≈2.9万年.故选C.
6.B 在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=lg12x,y=12x,y=lg2x的图象,如图所示.
由图象可得a7.A 由0得f(0)>0,f(1)<0,f(4)>0,即2m+6>0,1+2(m-1)+2m+6<0,16+8(m-1)+2m+6>0,
解得-75故m的取值范围是-75,-54.
8.A 设经过x年该厂投入的科研资金开始超过200万元,
依题意得120×(1+0.12)x>200,
两边取常用对数,得xlg 1.12>lg53,
因此x>lg5-lg3lg1.12=1-lg2-lg3lg1.12≈1-0.30-,
由x∈N*,得x≥5,
所以2 017+5=2 022,
即从2022年起该厂投入的科研资金开始超过200万元,故选A.
9.C 要想获得最大利润,则甲的价格为6元时,全部买入,可以买120÷6=20(万份),价格为8元时,全部卖出,此过程获利20×2=40(万元);乙的价格为4元时,全部买入,可以买(120+40)÷4=40(万份),价格为6元时,全部卖出,此过程获利40×2=80(万元),∴共获利40+80=120(万元),故选C.
10.C f(x)=x2+ex-1(x<0)关于y轴对称的函数为f(-x)=x2+e-x-1(x>0),
函数f(x)=x2+ex-1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,
即f(-x)=g(x)(x>0)有解,
即x2+e-x-1=x2+ln(x+a)有正解,整理,得e-x-1=ln(x+a)有正解,
转化为当x>0时,函数y=e-x-1和y=ln(x+a)的图象存在交点,
临界值在x=0处取得,此时a=1,
故当a<1时,y=e-x-1和y=ln(x+a)的图象存在交点,故选C.
11.C 令2x=|x-2|,两边平方,得4x=x2-4x+4,即x2-8x+4=0,
解得x=4+23或x=4-23,
作出函数y=m与y=f(x)的图象,如图中实线部分所示.
设x1则0因此x1+x2+x3=x1+4,
由0即x1+x2+x3的取值范围是(4,8-23),
故选C.
12.C 由[f(x)]2-mf(x)+m-1=0,
得[f(x)-1][f(x)-(m-1)]=0,
解得f(x)=1或 f(x)=m-1>1.
作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由f(x)的图象知, f(x)=1有三个解,分别为e,x1,x2,且x1+x2=2e, f(x)=m-1有两个解,分别为x3,x4,且x3+x4=2e.
因此f(x1+x2+…+xn)=f(5e)=14e,故选C.
二、填空题
13.答案 -23,-19
解析 易知函数f(x)=m·3x-x+3(m<0)为减函数.
因为f(x)在区间(1,2)上有零点,
所以f(1)·f(2)<0,即(3m+2)(9m+1)<0,解得-23故m的取值范围为-23,-19.
14.答案 (2,3)
解析 设f(x)=x3-2x-5,
则f(2)<0, f(3)>0, f(4)>0,
故f(2)·f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).
15.答案 4.58
解析 由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=13,∴-0.24t=ln 13=-ln 3,∴0.24t=ln 3≈1.099,∴t≈4.58.
16.答案 ②③④
解析 因为函数f(x)=a|lg2x|+1(a≠0),F(x)=f(x),x>0,f(-x),x<0,
所以F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确,
所以①是假命题.
因为F(x)=f(|x|),所以F(x)=F(-x),
所以函数F(x)是偶函数,
所以②是真命题.
当a<0时,若0则|lg2m|>|lg2n|,则F(m)即F(m)-F(n)<0成立,
所以③是真命题.
当a>0时,F(x)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以x>0时,F(x)的最小值为F(1)=1,
故x>0时,F(x)的图象与直线y=2有2个交点.
因为函数F(x)是偶函数,
所以x<0时,F(x)的图象与直线y=2也有2个交点,
故当a>0时,函数y=F(x)-2有4个零点.
所以④是真命题.
综上,真命题为②③④.
三、解答题
17.解析 (1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根.(2分)
则-1-3=k-2,-1×(-3)=k2+3k+5,解得k=-2.(4分)
(2)∵函数f(x)的两个零点分别为α和β,∴α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个不相等的实数根.(6分)
∴α+β=k-2,αβ=k2+3k+5,Δ=[-(k-2)]2-4×(k2+3k+5)>0,
解得-4设g(k)=-k2-10k-6,易知g(k)在-4,-43上单调递减,∴g(k)>g-43=509,g(k)∴α2+β2的取值范围是509,18.(10分)
18.解析 (1)画出函数f(x)的图象,如图所示.
(4分)
由图象得f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上单调递增.(6分)
(2)若函数y=f(x)-m有两个零点,
则y=f(x)的图象和直线y=m有两个交点,(8分)
结合图象得1故实数m的取值范围是(1,2].(12分)
19.解析 (1)由题意知价格f(x)关于时间x的函数符合一次函数模型.(2分)
用待定系数法,易得
f(x)=14x+22,1≤x≤40,x∈N*,-12x+52,40(2)设日销售额为S元,
当1≤x≤40时,
S=14x+22-13x+1093
=-112x-2122+3880948,(7分)
∵x∈N*,∴当x=10或x=11时, Smax=16172=808.5;(8分)
当40S=-12x+52-13x+1093
=16(x2-213x+11 336),(10分)
在(40,100]上单调递减,
∴S<16×(402-213×40+11 336)=736.(11分)
综上可知,在第10天及第11天日销售额最高,最高是808.5元.(12分)
20.解析 (1)由题易得生产A芯片的毛收入为y1=x4(x>0);(1分)
将(1,1),(4,2)代入y2=kxa,
得k=1,k×4a=2,解得k=1,a=12,(3分)
所以生产B芯片的毛收入为y2=x(x>0).(4分)
(2)令x4>x,得x>16;令x4=x,得x=16;令x4所以,当投入资金大于16千万元时,生产A芯片的毛收入更大;当投入资金等于16千万元时,生产A,B芯片的毛收入相等;当投入资金小于16千万元时,生产B芯片的毛收入更大.(8分)
(3)若投入x千万元生产B芯片,则投入(40-x)千万元生产A芯片.(9分)
公司所获利润f(x)=40-x4+x-2
=-14(x-2)2+9.(11分)
故当x=2,即x=4千万元时,公司所获利润最大,最大利润为9千万元.(12分)
21.解析 (1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p>0)的增长速度越来越慢,∴函数模型y=kax(k>0,a>1)更符合题意.(2分)
由ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,(4分)
∴y=8×32x(x∈N).(6分)
(2)由(1)可知,当x=0时,y=8,
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2.(8分)
设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放面积的1 000倍,
则有8×32x=8×1 000,
∴x=lg321 000=lg1000lg32=3lg3-lg2≈17,(11分)
∴约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投放面积的1 000倍.(12分)
22.解析 (1)由题意得,当a=3时,f(x)=ln(x+1),则h(x)=ln2x2x2+1(x≠0),(1分)
因为2x2x2+1=2-2x2+1,且2x2+1在(0,+∞)上单调递减,
所以2-2x2+1在(0,+∞)上单调递增,(2分)
根据复合函数的单调性,可得函数h(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(3分)
(2)由F(x)=0,得f(x)=g(x),
即ln[(4-a)x+2a-5]=lna-1x,
若函数F(x)有且只有1个零点,
则方程ln[(4-a)x+2a-5]=lna-1x有且只有1个实数根,(4分)
化简,得(4-a)x+2a-5=a-1x,
即(4-a)x2+(a-5)x+1=0在f(x)和g(x)的公共定义域内有且只有1个实数根.(5分)
①当a=4时,(4-a)x2+(a-5)x+1=0可化为-x+1=0,即x=1,
此时(4-a)·1+2a-5=3>0,a-1=3>0,满足题意;(6分)
②当a≠4时,由(4-a)x2+(a-5)x+1=0,得[(4-a)x-1](x-1)=0,
解得x=14-a或x=1.(7分)
(i)当14-a=1,即a=3时,方程(4-a)x2+(a-5)x+1=0有2个相等的实数根,
此时(4-a)·1+2a-5=2>0,a-1=2>0,满足题意;(8分)
(ii)当14-a≠1,即a≠3时,
若x=1是F(x)的零点,
则(4-a)·1+2a-5>0,a-1>0,解得a>1;(9分)
若x=14-a是F(x)的零点,
则(4-a)·14-a+2a-5>0,a-114-a>0,解得a>2.(10分)
因为函数F(x)有且只有1个零点,
所以a>1,a≤2或a≤1,a>2,所以1综上,a的范围是(1,2]∪{3,4}.(12分)
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格(元)
23
30
22
7
1.B
2.D
3.C
4.B
5.C
6.B
7.A
8.A
9.C
10.C
11.C
12.C