高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试一课一练

这是一份高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试一课一练，共11页。试卷主要包含了目前,某市出租车的计价标准是等内容，欢迎下载使用。

易混易错练
易错点1 忽视对参数取值范围的讨论导致错误
1.(2020河北邯郸高一期中,)已知关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,0)B.(-∞,1]C.(0,1]D.[0,1]
2.()若函数f(x)=2ax2+x-12在(0,1)内有零点,求实数a的取值范围.
易错点2 忽视实际问题中函数的定义域导致错误
3.()一个等腰三角形的周长为20,则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是( )
A.y=20-2x(0C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(54.()如图所示,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
(2)当BC为何值时,花圃的面积最大?
易错点3 忽视分段函数的计算方法导致错误
5.(2020河北定州中学高一上月考,)已知函数f(x)=x2-1,x<1,lg12x,x≥1.若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是 .
6.(2020四川眉山多悦高级中学高一期中,)经过市场调查,超市中的某种小商品在过去的近40天的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足g(t)=100-2t,价格近似满足f(t)=40-|t-20|.
(1)写出该商品的日销售额y(单位:元)与时间t(0≤t≤40)的函数解析式并用分段函数形式表示该解析式(日销售额=日销售量×商品价格);
(2)求该种商品的日销售额y的最大值和最小值.
7.(2019四川绵阳高一上期末检测,)目前,某市出租车的计价标准是:路程2 km以内(含2 km)按起步价8元收取,超过2 km后的路程按1.9元/km收取,但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).
(1)若0(2)某乘客行程为16 km,他准备先乘一辆出租车行驶8 km,然后换乘另一辆出租车完成余下路程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱?
思想方法练
一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用
1.()原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的22.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,已经砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
二、数形结合思想在解决函数零点问题中的应用
2.(2020山西太原五中高一月考,)设函数f(x)=x2-6x+6,x≥0,3x+4,x<0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )
A.113,6B.113,6
C.203,263D.203,263
3.(2019江西新余一中高一上月考,)设f(x)=|x-1|·(x+1)-x,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是( )
A.1C.04.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f(x)=x3+x,g(x)=lg2x+x,h(x)=2x+x的零点分别为a,b,c,则( )
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>a>bD.b>c>a
三、分类与整合思想在解决函数零点问题中的应用
5.()函数f(x)=2x-4,x∈[0,+∞),2x2-3x-2,x∈(-∞,0)的零点为 .
6.(2019湖南长沙一中高一上期中,)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(1)若k=2,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求k的取值范围,并证明:1x1+1x2<4.
四、转化与化归思想在解决函数零点问题中的应用
7.()已知函数f(x)=lgax,x>0,|x+3|,-4≤x<0,若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,4)
C.(0,1)∪(1,+∞)D.(0,1)∪(1,4)
8.()若函数f(x)=alg2x+a·4x+3在区间12,1上有零点,则实数a的取值范围是 .
9.()若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)上恰有一个零点,则a的取值范围是 .
答案全解全析
第三章 函数的应用
本章复习提升
易混易错练
1.B ①当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-12,满足题意;
②当a≠0时,记函数f(x)=ax2+2x+1,则方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根等价于函数f(x)=ax2+2x+1的图象与x轴的负半轴至少有一个交点.
由于函数f(x)=ax2+2x+1的图象恒过定点(0,1),
所以当a<0或a>0,-1a<0,Δ=22-4a≥0时,满足题意,解得a<0或0综上,实数a的取值范围是(-∞,1].
易错警示
本题的易错点有:①忽略a=0的情况;②不能发现函数f(x)的图象恒过定点(0,1)这一信息导致分类情况变复杂;③忽略Δ=0的情况.
本题还可从一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)的根的正、负情况入手讨论,利用根与系数的关系求解.
2.解析 当a=0时,f(x)=x-12,令f(x)=0,得x=12,12∈(0,1),符合题意.
当a≠0时,
①若方程2ax2+x-12=0在(0,1)内有两个相等的实数根,则Δ=1+4a=0,0<-14a<1,此时无解;
②若方程2ax2+x-12=0在(0,1)内只有一个实数根,
当f(1)=2a+1-12≠0,即a≠-14时,有f(0)·f(1)=-12×2a+1-12<0,解得a>-14,
即此时a>-14,且a≠0,符合题意;
当f(1)=0,即a=-14时,方程为-12x2+x-12=0,解得x1=x2=1∉(0,1),不符合题意;
③若方程2ax2+x-12=0在(0,1)内有两个不等实数根,即f(x)在(0,1)内有两个零点.
因为f(0)=-12,所以函数f(x)的图象开口向下,则有a<0,Δ=1+4a>0,0<-14a<1,f(0)·f(1)>0,此时无解.
综上,实数a的取值范围是-14,+∞.
3.D 由题意知,2x+y=20,∴y=20-2x.由三角形三边关系得20-2x>0,x+x>20-2x,x>0,解得54.解析 (1)要使树在花圃内或在花圃的边界上,则矩形ABCD中,BC≥a,CD≥4,
因为篱笆长为16 m,
所以当BC=x m时,CD=(16-x)m.
由于BC≥a,CD≥4,故a≤x≤12,
所以y=f(x)=x(16-x)=-x2+16x,
其定义域为[a,12].
(2)由(1)得,y=f(x)=-x2+16x=-(x-8)2+64,x∈[a,12],其图象的对称轴为直线x=8,且0若8若0易错警示
若函数是由实际问题建立的,则其定义域不仅要使所列函数解析式有意义,还要符合实际问题的要求.
5.答案 (-1,0)
解析 作出f(x)的图象和直线y=k如图所示,
要使f(x)=k有三个不同的实数根,
则需-1故实数k的取值范围为(-1,0).
易错警示
用数形结合法处理分段函数的零点问题时,要注意结合分段函数的自变量的取值范围正确作出函数图象,然后结合方程解的要求讨论参数的取值范围.
6.解析 (1)由题意知y=g(t)·f(t)=(100-2t)(40-|t-20|),
∴y=(100-2t)(20+t),0≤t<20,(100-2t)(60-t),20≤t≤40.
(2)当20≤t≤40时,y=(100-2t)(60-t)在区间[20,40]上单调递减,故y∈[400,2 400];
当0≤t<20时,y=(100-2t)(20+t)在区间[0,15)上单调递增,在区间[15,20)上单调递减,故y∈[2 000,2 450].
∴当t=40时,y取最小值400;当t=15时,y取最大值2 450.
7.解析 (1)由题意,得费用f(x)关于路程x的函数为
f(x)=8(0即f(x)=8(0(2)只乘一辆车的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元),
换乘两辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元),
∵40.3>38.8,
∴该乘客换乘两辆车比只乘一辆车更省钱.
思想方法练
1.解析 (1)设每年砍伐面积的百分比为x0则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,
解得x=1-12110,
所以所求百分比为1-12110.
根据已知条件建立方程,解方程求值.
(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的22,则a·12n10=22a,
即12n10=1212,解得n=5,
所以到今年为止,已经砍伐了5年.
(3)设该片森林一共可砍伐m年,
则a12m10=14a,
即12m10=122,解得m=20,
根据指数方程求解.
所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15年.
2.A 画出函数f(x)=x2-6x+6,x≥0,3x+4,x<0的图象,如图所示,
画出分段函数的图象,分析函数图象的基本特征.
互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)等价于平行于x轴的直线与函数f(x)的图象有三个交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,x3,
结合图象判断方程解的关系,确定函数图象的交点.
不妨设x1所以x1+x2+x3的取值范围是-73+6所以x1+x2+x3∈113,6.故选A.
3.B f(x)=|x-1|(x+1)-x
=-x2-x+1,x≤1,x2-x-1,x>1,
即f(x)=-x+122+54,x≤1,x-122-54,x>1.
若x∈(-∞,1],则当x=-12时,函数f(x)取得最大值54;若x∈(1,+∞),则f(x)单调递增,f(x)>f(1)=-1,作出y=f(x)的图象如图所示.
画出分段函数的图象,结合图象确定方程有三个不同的实数解时参数的取值范围.
由图可知,当-14.B 令f(x)=0,得x3=-x,同理,lg2x=-x,
2x=-x.
在同一平面直角坐标系中作出相关函数图象,如图所示,
由图象知,c5.答案 2,-12
解析 当x≥0时,由2x-4=0,得x=2;当x<0时,由2x2-3x-2=0,得x=-12或x=2(舍去).
根据分段函数分别求解.
故函数f(x)的零点是2,-12.
6.解析 (1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.
按照x的不同取值范围去掉绝对值分类求解.
当x≥1或x≤-1时, f(x)=0可化为
x2-1+x2+2x=0,即2x2+2x-1=0,
解得x=-1-32或x=-1+32(舍去);
当-1解得x=-12.
综上所述, f(x)的零点为-1-32,-12.
(2)当0设f(x)的两个零点x1,x2都在(1,2)内,
则x1·x2=-12,与x1,x2∈(1,2)不符合,
因此,两个零点分别在(0,1]和(1,2)内.
按照零点的不同区间范围分类讨论.
不妨设x1∈(0,1],x2∈(1,2),
由x1∈(0,1],且f(x)=kx+1,
得f(x1)=kx1+1=0,k=-1x1≤-1.
由x2∈(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得
f(1)·f(2)<0⇒(k+1)(2k+7)<0⇒-72综上所述,-72证明:设g(k)=1x1+1x2,
∵x1=-1k,x2=-k+k2+84或x2=-k-k2+84(舍去),
∴g(k)=1x1+1x2=-k+4-k+k2+8
=k2+8-k2=4k2+8+k.
∴g(k)在-72,-1上递减,
∴g(k)=1x1+1x2=-722+8+722=4,
∴1x1+1x2<4.
7.D 函数y=lgax(x>0)的图象与函数y=lga(-x)(x<0)的图象关于y轴对称,则函数f(x)图象上有且仅有两个点关于y轴对称的问题可转化为函数y=lga(-x)-|x+3|在-4≤x<0上有唯一零点的问题.
将对称问题转化为函数零点问题.
当0当a>1时,由函数h(x)=lga(-x)与f(x)=|x+3|(-4≤x<0)的图象有唯一交点,得lga4>1,又a>1,所以1将函数零点问题转化为函数图象的交点问题.
综上所述,a的取值范围是(0,1)∪(1,4).所以D选项是正确的.
8.答案 -3,-34
解析 ∵函数y=lg2x,y=4x在其定义域上单调递增,∴函数f(x)=alg2x+a·4x+3在区间12,1上单调且连续,
∴要想函数f(x)在12,1上有零点,则f12·f(1)<0,
结合函数性质将区间上有零点问题转化为零点存在定理的应用问题.
即(-a+2a+3)(4a+3)<0,解得-39.答案 (1,+∞)
解析 f(x)在(0,1)上恰有一个零点,可转化为2a=1x+1x2在(0,1)内有唯一解.
设t=1x(x∈(0,1)),则t∈(1,+∞),2a=t+t2.由2a=1x+1x2在(0,1)内有唯一解,得2a=t+t2在(1,+∞)上有唯一解.
将函数恰有一个零点问题转化为方程恰有一个解的问题,通过换元将复杂函数转化为熟悉的简单函数.
设h(t)=t+t2,易知函数h(t)=t+t2在(1,+∞)上单调递增,
依题意得2a>h(1)=2,即a>1,故a的取值范围是(1,+∞).
1.B
3.D
2.A
3.B
4.B
7.D