高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布综合与测试课后练习题

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易错点1 不能正确列出随机变量的所有可能取值致误
1.()袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出2个球,设2个球号码之和为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值的个数是( )
A.5B.9
C.10D.25
2.()从装有2个红球和6个白球(球除颜色外,其余完全相同)的袋子中,每次不放回地摸出2个球作为一次试验,直到摸出的球中有红球时试验结束.
(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率;
(2)记试验次数为X,求X的分布列.
易错
易错点2 对条件概率问题理解不清,不能正确应用公式致误
3.()4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格,每次任取一个,不放回地取两次.若第一次取到合格的高尔夫球,则第二次取到合格的高尔夫球的概率为( )
A.12B.23
C.34D.45
4.(2019四川攀枝花高二上期末,)一个布袋中装有若干个除颜色外完全相同的黑色、白色的小球,从中任意取出一个小球是白球的概率为35,连续取出两个小球都是白球的概率为25,若某次取出的小球是白球,则随后一次取出的小球为白球的概率为( 易错 )
A.35B.23C.25D.15
易错点3 不能正确区分超几何分布和二项分布致误
5.(2020天津和平高三上期末,)每年的12月4日为我国的“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480、360、360.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求:每名被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行回答,所抽取的4个问题全部答对的学生将给予表彰.
(1)求各个年级应选取的学生人数;
(2)若从被选取的10名学生中任选3名学生,求这3名学生分别来自三个年级的概率;
(3)若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题,记X表示该名学生答对问题的道数,求随机变量X的分布列及数学期望.
易错
易错点4 不能正确应用数学期望和方差的性质致误
6.()已知随机变量X服从正态分布N(3,4),则E(2X+1)与D(2X+1)的值分别为( )
A.13,4B.13,8C.7,8D.7,16
7.(2021广东佛山一中高二月考,)已知随机变量X,Y满足X~B5,14,Y=2X+3,则D(Y)= .
思想方法练

一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用
1.(2020四川棠湖中学高三开学考试,)设0则当D(X)最大时,a的值是( )

A.14B.316C.15D.325
2.(2020广东清远高二期末,)已知随机变量X的分布列如下:
则满足E(X)(参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094)
3.(2020江苏徐州高三月考,)某中学开展劳动实习,学生前往电子科技产业园学习加工制造电子元件.已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p(0(1)记电子元件总的检测次数为X,求X的概率分布列和数学期望;
(2)当p=0.99时,利用(1-α)β(0<α≪1,β∈N*)的二项展开式的特点,估算当k为何值时,每个电子元件的检测次数最少,并估算此时总的检测次数;
(3)若不对生产出的电子元件进行筛选检测,将它们随机装入电子系统中,不考虑组装时带来的影响.已知该系统配置有2n-1(n∈N*)个电子元件,如果系统中有多于一半的电子元件正常工作,该系统就能正常工作.将系统正常工作的概率称为系统的可靠性,现为了改善该系统的性能,拟向系统中增加两个电子元件.试分析当p满足什么条件时,增加两个电子元件能提高该系统的可靠性?
二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用
4.(2020浙江宁海中学高三月考,)为科学合理地做好小区管理工作,结合复工复产复市的实际需要,某小区物业提供了A,B两种小区管理方案,为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案,随机选取了4名物业人员进行投票,物业人员的投票规则如下:①单独投给A方案,则A方案得1分,B方案得-1分;②单独投给B方案,则B方案得1分,A方案得-1分;③弃权或同时投票给A,B方案,则两种方案均得0分.当前一名物业人员的投票结束,再安排下一名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时,就停止投票,最后选取得分高的方案为小区的最终管理方案.假设A,B两种方案获得每一名物业人员投票的概率均分别为23和12.
(1)在第一名物业人员投票结束后,A方案的得分记为ξ,求ξ的分布列;
(2)求最终选取A方案为小区管理方案的概率.
三、数形结合思想在正态分布中的应用
5.(2020广东广州大学附属中学高三下线上测试,)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.906B.340C.2718D.3413
本章复习提升
易混易错练
1.B 号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.故选B.
2.解析 (1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A,则P(A)=C21C61C82=37.
(2)由题意知,X的所有可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=C21C61+C22C82=1328,
P(X=2)=C62C82×C41C21+C22C62=928,
P(X=3)=C62C82×C42C62×C21C21+C22C42=528,
P(X=4)=C62C82×C42C62×C22C42=128.
所以X的分布列为
易错警示
在用随机变量的取值表示试验的结果时,要明确随机变量的所有可能取值,同时要注意,随机变量的一个值表示多个试验结果的情况,不能遗漏某些试验结果.
3.B 记事件A={第一次取到的是合格的高尔夫球},
事件B={第二次取到的是合格的高尔夫球}.由题意可得P(AB)=3×24×3=12,P(A)=34,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1234=23.
B 设“第一次取得白球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,“连续取出两个小球都是白球”为事件AB,则P(A)=35,P(AB)=25,事件“某次取出的小球是白球,则随后一次取出的小球为白球”的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=2535=23,故选B.
易错警示
1.P(B|A)与P(A|B)是不同的.同时注意在事件A发生的前提下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.
2.在条件概率的定义中,要强调P(A)>0.当P(A)=0时,P(B|A)=0.
5.解析 (1)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为4∶3∶3,由于采用分层抽样的方法从中选取10名学生,因此,高一年级应选取4名学生,高二年级应选取3名学生,高三年级应选取3名学生.
(2)由(1)知,被选取的10名学生中,高一、高二、高三年级分别有4名、3名、3名学生,所以从这10名学生中任选3名,这3名学生分别来自三个年级的概率为C41C31C31C103=310.
(3)由题意知,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,且X服从超几何分布,
P(X=k)=C7kC34-kC104(k=1,2,3,4).
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16=145.
易错警示
一般地,有放回地抽取问题对应二项分布,不放回地抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
6.D 由已知得E(X)=3,D(X)=4,故E(2X+1)=2E(X)+1=7,D(2X+1)=4D(X)=16.
7.答案 154
解析 因为X~B5,14,所以D(X)=5×14×34=1516,
所以D(Y)=4×1516=154.
思想方法练
1.D 由题意得E(X)=-1×12-a+1×12+a2+2×a2=5a2,
E(X2)=1×12-a+1×12+a2+22×a2=1+32a,
通过构造二次函数,结合函数的单调性分析
最值,充分体现了函数思想.
故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1+32a-25a24=-254a-3252+109100,
因为02.答案 4
解析 根据数学期望的定义得到E(X)=-k
·e-k3+k+1,将不等式E(X)k3,
构造函数f(k)=lnk-k3,k>0,利用导数判断
其单调性求出函数最值,充分体现了函数思想.
由题意得E(X)=e-k3+(k+1)·(1-e-k3)=-ke-k3+k+1,
所以E(X)ek3,则k>0.
两边同时取以e为底的对数,得lnk>k3,
令f(k)=lnk-k3,k>0,则f'(k)=1k-13=3-k3k,
当k∈(0,3)时,f'(k)=3-k3k>0,即函数f(k)=lnk-k3单调递增;
当k∈(3,+∞)时,f'(k)=3-k3k<0,即函数f(k)=lnk-k3单调递减.
因此f(k)max=f(3)=ln3-33=ln3-1>0,
又f(4)=ln4-43=2ln2-43≈1.3862-1.3333>0,
f(5)=ln5-53≈1.6094-1.6667<0,
因此满足lnk>k3的最大正整数k的值是4,即满足E(X)3.解析 (1)X的所有可能取值为1,k+1,
P(X=1)=pk,P(X=k+1)=1-pk,故X的概率分布为
所以X的数学期望E(X)=1·pk+(k+1)(1-pk)=k+1-kpk.
(2)根据(1-α)β(0<α≪1,β∈N*)的二项展开式的特点,可知(1-α)β≈1-αβ,
记每个电子元件的检测次数为Y,p=0.99=1-0.01,
通过构造函数,应用基本不等式求最值,体
现了函数与方程思想.
所以Y=E(X)k=k+1-kpkk=1k+1-pk=1k+1-(1-0.01)k≈1k+1-1+0.01k=1k+0.01k≥21k·0.01k=0.2,当且仅当1k=0.01k,即k=10时取等号,
故当k=10时,每个电子元件的检测次数最少,此时总的检测次数kY=10×0.2=2.
(3)记当系统配置有2n-1(n∈N*)个电子元件时,系统正常工作的概率为P2n-1,当系统配置有2n+1(n∈N*)个电子元件时,系统正常工作的概率为P2n+1,
若前2n-1个电子元件中恰有n-1个正常工作,此时后两个元件必须同时正常工作;
若前2n-1个电子元件中恰有n个正常工作,此时后两个元件至少须有1个正常工作;
若前2n-1个电子元件中恰有n+1个正常工作,此时系统必定正常工作.
可以求得:
P2n+1=[C2n-1n-1pn-1(1-p)n]·p2+[C2n-1npn(1-p)n-1]·[p2+C21p(1-p)]+[P2n-1-C2n-1npn(1-p)n-1],故P2n+1-P2n-1=C2n-1n-1pn+1(1-p)n+C2n-1npn(1-p)n-1·[p2+C21p(1-p)-1]
=C2n-1npn(1-p)n(2p-1),
令P2n+1-P2n-1>0,得2p-1>0,即p>12.
所以当12思想方法
函数与方程思想就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的关系用函数或方程的关系表示出来,然后通过对函数性质或方程进行分析,使问题得以解决.本章中的概率问题常与函数结合,如P(X=k)=Cnkpk·(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,可看成关于k的函数,有时也可将其看成关于p的函数.
4.解析 由题意知,ξ的所有可能取值为-1,0,1,
P(ξ=-1)=1-23×12=16,
P(ξ=0)=23×12+13×12=12,
P(ξ=1)=23×1-12=13.
∴ξ的分布列为
(2)记M1表示事件“仅前2名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,由(1)知,P(M1)=[P(ξ=1)]2=132=19.
记M2表示事件“仅前3名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
P(M2)=C21[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)=2×132×12=19.
记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
根据A方案的不同得分情况分类计算概率,
体现了分类讨论的思想.
①若A方案比B方案多4分,有两类:
第一类,A方案前三次得了一次1分,两次0分,最后一次得1分,其概率为
C31·[P(ξ=1)]2·[P(ξ=0)]2=112;
第二类,A方案前两次得了一次1分,一次-1分,后两次均得1分,其概率为
C21·P(ξ=-1)·[P(ξ=1)]3=181.
②若A方案比B方案多2分,有三类:
第一类,A方案四次中得了一次1分,其他三次全为0分,其概率为
C41·[P(ξ=0)]3·P(ξ=1)=16;
第二类,A方案前三次得了一次1分,一次0分,一次-1分,最后一次得了1分,其概率为 A33·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=118;
第三类,A方案前两次得了一次1分一次-1分,第三次得1分,第四次得0分,其概率为
C21·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=154.
故P(M3)=112+181+16+118+154=109324,
∴最终选取A方案为小区管理方案的概率P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=19+19+109324=181324.
思想方法
分类讨论思想是研究和解决问题的重要思想方法,在求解概率问题时,经常会遇到事件A是由多个互斥事件构成的情况(如“至少”“至多”型的概率问题),随机变量ξ的某个取值可能对应着若干个试验结果的情形.这就需要借助分类讨论的思想方法将此类问题分成若干个小问题去解决.
5.B 由题中的图形得出阴影部分的面积的
关系式,体现了由“形”到“数”的过程,充分
体现了“数形结合”的思想.
由题意知阴影部分的面积
S=P(0≤x≤2)=12[P(-6则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影部分的概率P=0.13594,
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.13594=339.75≈340.故选B.
思想方法
数形结合指的是在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来思考,促使抽象思维和形象思维相结合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,从而使问题得到解决.本章中的数形结合思想主要体现在利用正态分布密度曲线的性质求概率等.
X
-1
1
2
P
12-a
12+a2
a2
X
1
k+1
P
e-k3
1-e-k3
1.B
3.B
4.B
6.D
X
1
2
3
4
P
1328
928
528
128
X
1
2
3
4
P
130
310
12
16
1.D
5.B
X
1
k+1
P
pk
1-pk
ξ
-1
0
1
P
16
12
13