还剩16页未读，
继续阅读
全书综合测评-2022版数学选修2-3 人教版（新课标） 同步练习 （Word含解析）
展开
这是一份全书综合测评-2022版数学选修2-3 人教版（新课标） 同步练习 （Word含解析），共19页。
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图所示,用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”(即图中A、B所示区域)用相同颜色,则不同的涂法共有 ( )
A.1 296种 B.216种 C.36种 D.18种
2.小明通过某次考试的概率是未通过的5倍,令随机变量X=1,考试通过,0,考试未通过,则P(X=0)= ( )
A.13 B.56 C.16 D.23
3.下列说法中,错误的是 ( )
A.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变
B.对于回归方程y^=3-5x,变量x每增加1个单位,y平均增加5个单位
C.线性回归方程y^=b^x+a^所对应的直线必过点(x,y)
D.在一个2×2列联表中,由计算得K2的观测值k=4.732,则有95%的把握说明两个变量有关
附:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
4.已知随机变量X~N(1,σ2),且P(X≤0)=P(X≥a),则(1+ax)3·x2+2x5的展开式中x4的系数为( )
A.680 B.640
C.180 D.40
5.已知随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(00,且a≠1,则函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限的概率为 ( )
A.0.375 B.0.3
C.0.25 D.0.2
6.若离散型随机变量ξ的所有可能取值为m,n,且P(ξ=m)=n,P(ξ=n)=m,E(ξ)=38,则m2+n2的值为( )
A.14 B.516 C.58 D.1316
7.甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题且互不影响,他们能够正确解答该问题的概率分别是23和12,在这个问题至少被一个人正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为 ( )
A.27 B.25
C.15 D.19
8.如图,将四棱锥S-ABCD的每一个面都染上一种颜色,使每两个具有公共棱的面染成不同颜色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为 ( )
A.36 B.48 C.72 D.108
9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,若S=a0+a2+a4+…+a2n,则S的值为 ( )
A.2n B.2n+1
C.3n-12 D.3n+12
10.已知某样本容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为x,方差为s2,则 ( )
A.x=70,s2<75 B.x=70,s2>75
C.x>70,s2<75 D.x<70,s2>75
11.法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡,他认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出一个问题,他们说,他们下赌金之后,约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金700法郎,赌了半天,甲赢了4局,乙赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占12,每局输赢相互独立,那么这700法郎如何分配比较合理 ( )
A.甲400法郎,乙300法郎
B.甲500法郎,乙200法郎
C.甲525法郎,乙175法郎
D.甲350法郎,乙350法郎
12.某商场销售某种品牌的空调,每周初购进一定数量的空调,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求,则每台多余的空调需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时调剂的每台空调仅获利润200元.该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位:台),整理如下表:
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调,X表示当周的利润(单位:元),则当周的平均利润为 ( )
A.10 000元 B.9 400元
C.8 800元 D.9 860元
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
序号
科研费用支出xi
利润yi
xiyi
xi2
1
5
31
155
25
2
11
40
440
121
3
4
30
120
16
4
5
34
170
25
5
3
25
75
9
6
2
20
40
4
合计
30
180
1 000
200
13.某调查者在调查中获知某公司近年来科研费用支出x(万元)与公司所获得利润y(万元)的统计资料如下表:
则利润y关于科研费用支出x的线性回归方程为 .
参考公式:b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x.
14.已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的各项系数之和为27,则实数a= ,展开式中含x2项的系数是 .(本小题第一空2分,第二空3分)
15.已知mn>0,随机变量X的分布列如下:
X
1
2
3
P
13
m
n
则E(X)的取值范围是 .
16.某公园有甲、乙、丙三艘大小不同的游艇,甲可坐3人,乙可坐2人,丙只能坐1人.现有3个大人带着2个小孩租艇,若小孩不能单独坐游艇,则不同的坐法种数是 .(用数字作答)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)盒子内有3个不同的黑球,5个不同的白球.
(1)将它们全部取出排成一列,3个黑球两两不相邻的排法有多少种?
(2)若取到一个白球记2分,取到一个黑球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?
18.(本小题满分12分)在x2+2xn的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项;
(3)求展开式中系数最大的项.
19.(本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵数.其中乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以x表示.
甲组
乙组
9 9
0
x 8 9
1 1
1
0
(1)如果x=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;
(2)如果x=9,从甲、乙两组同学中各随机选取1名同学,求这2名同学的植树总棵数Y的分布列.
20.(本小题满分12分)2020年寒假是特殊的寒假,因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11∶13,其中男生中有30人表示对线上教育满意,女生中有25人表示对线上教育不满意.
(1)完成2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“对线上教育是否满意与性别有关”;
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
120
(2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取7名学生,再从这7名学生中抽取3名学生作线上学习的经验介绍,其中抽取女生的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.(本小题满分12分)市面上有某品牌的A型和B型两种节能灯,假定A型节能灯的使用寿命都超过5 000小时.经销商对B型节能灯的使用寿命进行了调查统计,得到如下频率分布直方图:
某商家因原店面重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业.经了解,A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当,都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面正常营业一年的照明时间为3 600小时,正常营业期间灯坏了立即购买同型号灯更换.(用频率估计概率)
(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯,求一年内恰好更换了2只灯的概率;
(2)若只考虑灯的成本和消耗的电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯?请说明理由.
22.(本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验,其数据如下表所示:
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关;
(2)求特征量y关于x的回归方程,并预测当特征量x为12时,特征量y的值;
(3)设特征量x满足x~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,求P(3.8
参考公式:相关系数r=∑i=1n(xi-x)·(yi-y)∑i=1n(xi-x)2·∑i=1n(yi-y)2,b^=∑i=1n(xi-x)·(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x.
参考数据:2≈1.414,10≈3.2,3.2≈1.8,若x~N(μ,σ2),则P(μ-σ
1.B
2.C
3.B
4.A
5.C
6.C
7.B
8.C
9.D
10.A
11.C
12.D
一、选择题
1.B 涂“眼睛”的方法有6种;涂“鼻子”的方法有6种;涂“嘴巴”的方法有6种,由分步乘法计数原理得共有6×6×6=216种涂法.
2.C 因为通过某次考试的概率是未通过的5倍,所以1-P(X=0)=5P(X=0),解得P(X=0)=16.故选C.
3.B 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,平均数也增加相同的数,由方差公式可知,方差不变,故A中说法正确.对于回归方程y^=3-5x,变量x每增加1个单位,y平均减少5个单位,故B中说法错误.回归方程所对应的直线必过样本点的中心,故C中说法正确.k=4.732>3.841,有95%的把握说明两个变量有关,故D中说法正确.
故选B.
4.A 因为随机变量X~N(1,σ2),P(X≤0)=P(X≥a),所以a=2,代入可得(1+2x)3·x2+2x5,x2+2x5展开式的通项为Tr+1=C5r(x2)5-r2xr=2rC5rx10-3r(r=0,1,2,…,5),则T3=22C52x4=40x4,T4=23C53x=80x.故(1+2x)3x2+2x5的展开式中x4的系数为40+80×8=680,故选A.
5.C 当y=ax+1-a的图象不经过第二象限时,a>1且1-a≤-1,即a≥2,又随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(0
∴m+n=1,2mn=38,
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=1-38=58.故选C.
7.B 设A=“这个问题至少被一个人正确解答”,B=“甲、乙两位同学都能正确解答该问题”,因为甲、乙两位同学各自独立正确解答该问题的概率分别是23和12,故P(A)=1-1-23×1-12=56,P(B)=12×23=13,易知P(AB)=P(B)=13.故P(B|A)=P(AB)P(A)=1356=25.故选B.
8.C 当平面SAB与平面SDC同色时,平面ABCD有4种染色方法,平面SDC有3种染色方法,平面SAD有2种染色方法,平面SAB有1种染色方法,平面SBC有2种染色方法,即4×3×2×1×2=48种;
当平面SAB与平面SDC不同色时,平面ABCD有4种染色方法,平面SDC有3种染色方法,平面SAD有2种染色方法,平面SAB有1种染色方法,平面SBC有1种染色方法,即4×3×2×1×1=24种.
故不同的染色方法总数为48+24=72.
9.D 令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n,
令x=-1,得1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,
两式相加得到2S=3n+1,所以S=3n+12,故选D.
10.A 由题意,可得x=70×50+80-60+70-9050=70.设收集的48个准确数据分别为x1,x2,…,x48,则75=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(60-70)2+(90-70)2]
=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+500],
s2=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(80-70)2+(70-70)2]
=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+100]<75,所以s2<75.故选A.
11.C 假定再赌一局,甲获胜的概率为12;若再赌两局,甲才获胜的概率为12×12=14,∴甲获胜的概率为14+12=34,∴甲应分得700×34=525(法郎),乙应分得700×14=175(法郎).故选C.
12.D 当n≥20时,X=500×20+200×(n-20)=200n+6 000,
当n≤19时,X=500n-100(20-n)=600n-2 000,
则X的所有可能取值为8 800,9 400,10 000,10 200,10 400,∴P(X=8 800)=0.1,P(X=9 400)=0.2,P(X=10 000)=0.3,P(X=10 200)=0.3,P(X=10 400)=0.1,
则当周的平均利润X=0.1×8 800+0.2×9 400+0.3×10 000+0.3×10200+0.1×
10 400=9 860(元).故选D.
二、填空题
13.答案 y^=2x+20
解析 设线性回归方程为y^=b^x+a^.
由题表中数据得,b^=1000-6×5×30200-6×52=2,
∴a^=30-2×5=20,
∴线性回归方程为y^=2x+20.
14.答案 2;23
解析 已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的各项系数之和为27,令x=1,则(1+a)3=27,解得a=2,故该式为(2-x2)(1+2x)3,其展开式中含x2项的是2×C32×(2x)2+(-x2)×C30=23x2.故展开式中含x2项的系数为23.
15.答案 53,73
解析 由条件知m+n=23,E(X)=13+2m+3n=13+2m+323-m=-m+73,
由m>0,n=23-m>0,得m∈0,23,所以E(X)∈53,73.
16.答案 27
解析 把大人和小孩进行组合,设大人为D,小孩为H.
①甲、乙、丙:{1D+1H},{1D+1H},{1D},有(C31×C21)×(C21×C11)×C11=12(种);
②甲、乙、丙:{1D+2H},{1D},{1D},有C31×C22×C21=6(种);
③甲、乙:{2D+1H},{1D+1H},有(C32×C21)×(C11×C11)=6(种);
④甲、乙:{1D+2H},{2D},有C31×C22×C22=3(种).
故共有12+6+6+3=27种不同的坐法.
三、解答题
17.解析 (1)首先将5个白球进行排列,然后3个黑球进行插空,则3个黑球两两不相邻的排法有A55A63=14 400种. (5分)
(2)从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有4类:5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球,故共有C55+C31C54+C32C53+C33C52=56种. (10分)
18.解析 (1)由题意知,该式展开式的通项为
Tr+1=Cnr(x2)n-r2xr=Cnr2rx2n-52r(r=0,1,2,…,n), (2分)
则第4项的系数为Cn323,
倒数第4项的系数为Cnn-32n-3,则有Cn323Cnn-32n-3=12,即12n-6=12,∴n=7. (4分)
(2)由(1)可得Tr+1=C7r2rx14-52r(r=0,1,…,7),
当r=0,2,4,6时,所得的项为有理项,即所有的有理项为T1,T3,T5,T7,
即T1=C7020x14=x14,T3=C7222x9=84x9,T5=C7424x4=560x4,T7=C7626x-1=448x-1. (8分)
(3)设展开式中第r+1项的系数最大,则
C7r2r≥C7r+12r+1,C7r2r≥C7r-12r-1⇒r+1≥2(7-r),2(8-r)≥r⇒133≤r≤163,
∵r∈N*,∴r=5,故系数最大的项为T6=C7525x32=672x32. (12分)
19.解析 (1)当x=8时,由题图可知,乙组同学的植树棵数分别是8,8,9,10,
所以平均数为8+8+9+104=354; (3分)
方差为14×8-3542+8-3542+9-3542+10-3542=1116. (6分)
(2)当x=9时,由题图可知,甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11;乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.
从甲、乙两组同学中各随机选取1名同学,这2名同学的植树总棵数Y的所有可能取值为17,18,19,20,21.
事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,
所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=216=18.
同理可得P(Y=18)=14,P(Y=19)=14,
P(Y=20)=14,P(Y=21)=18. (10分)
所以Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
18
14
14
14
18
(12分)
20.解析 (1)男生人数为120×1111+13=55,所以女生人数为120-55=65,由此完整的2×2列联表如下:
满意
不满意
总计
男生
30
25
55
女生
40
25
65
总计
70
50
120
(2分)
根据列联表中的数据,得到K2的观测值k=120×(30×25-25×40)255×65×70×50=6001001≈0.599<2.706,所以没有90%的把握认为“对线上教育是否满意与性别有关”. (4分)
(2)根据分层抽样比例关系可知男生抽取7×3070=3人,女生抽取4人,依题可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,并且ξ服从超几何分布,P(ξ=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3), (5分)
即P(ξ=0)=C40C33C73=135,
P(ξ=1)=C41C32C73=1235,
P(ξ=2)=C42C31C73=1835,
P(ξ=3)=C43C30C73=435. (8分)
可得分布列为
ξ
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
(10分)
可得E(ξ)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127. (12分)
21.解析 (1)由题中频率分布直方图可知:
B型节能灯使用寿命超过3 600小时的频率为0.001 0×200=0.2,
用频率估计概率,得B型节能灯使用寿命超过3 600小时的概率为15. (3分)
所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为45,
所以一年内5只恰好更换了2只的概率为C52452×153=32625. (6分)
(2)若选择A型节能灯,一年共需花费5×120+3 600×5×20×0.75×10-3=870(元);
若选择B型节能灯,由于B型节能灯一年内需更换的只数服从二项分布B5,45, (8分)
故一年内需更换灯的只数的数学期望为5×45=4, (10分)
故一年共需花费(5+4)×25+3 600×5×55×0.75×10-3=967.5(元).
因为967.5>870,所以该商家应选择A型节能灯. (12分)
22.解析 (1)由题意得x=15∑i=15xi=355=7,y=15∑i=15yi=455=9,
∑i=15(xi-x)(yi-y)=∑i=15xiyi-5x y=2×12+5×10+8×8+9×8+11×7-5×7×9=-28,
∑i=15(xi-x)2=50,∑i=15(yi-y)2=16,
因而相关系数
r=∑i=15(xi-x) · (yi-y)∑i=15(xi-x)2·∑i=15(yi-y)2=-2850×16=-752≈-0.99. (3分)
由于|r|≈0.99很接近1,说明x,y线性相关性很强,因而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.由于r<0,故其关系为负相关. (5分)
(2)由(1)知,b^=∑i=15(xi-x)·(yi-y)∑i=15(xi-x)2=-2850=-0.56,∴a^=y-b^x=9-(-0.56)×7=12.92, (7分)
则所求的回归方程是y^=-0.56x+12.92.
当特征量x为12时,
可得预测值y^=-0.56×12+12.92=6.2. (9分)
(3)由(1)知,μ=x=7,又由σ2=s2=15×[(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2]=10,得σ≈3.2,从而P(3.8
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图所示,用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”(即图中A、B所示区域)用相同颜色,则不同的涂法共有 ( )
A.1 296种 B.216种 C.36种 D.18种
2.小明通过某次考试的概率是未通过的5倍,令随机变量X=1,考试通过,0,考试未通过,则P(X=0)= ( )
A.13 B.56 C.16 D.23
3.下列说法中,错误的是 ( )
A.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变
B.对于回归方程y^=3-5x,变量x每增加1个单位,y平均增加5个单位
C.线性回归方程y^=b^x+a^所对应的直线必过点(x,y)
D.在一个2×2列联表中,由计算得K2的观测值k=4.732,则有95%的把握说明两个变量有关
附:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
4.已知随机变量X~N(1,σ2),且P(X≤0)=P(X≥a),则(1+ax)3·x2+2x5的展开式中x4的系数为( )
A.680 B.640
C.180 D.40
5.已知随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(0
A.0.375 B.0.3
C.0.25 D.0.2
6.若离散型随机变量ξ的所有可能取值为m,n,且P(ξ=m)=n,P(ξ=n)=m,E(ξ)=38,则m2+n2的值为( )
A.14 B.516 C.58 D.1316
7.甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题且互不影响,他们能够正确解答该问题的概率分别是23和12,在这个问题至少被一个人正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为 ( )
A.27 B.25
C.15 D.19
8.如图,将四棱锥S-ABCD的每一个面都染上一种颜色,使每两个具有公共棱的面染成不同颜色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为 ( )
A.36 B.48 C.72 D.108
9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,若S=a0+a2+a4+…+a2n,则S的值为 ( )
A.2n B.2n+1
C.3n-12 D.3n+12
10.已知某样本容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为x,方差为s2,则 ( )
A.x=70,s2<75 B.x=70,s2>75
C.x>70,s2<75 D.x<70,s2>75
11.法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡,他认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出一个问题,他们说,他们下赌金之后,约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金700法郎,赌了半天,甲赢了4局,乙赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占12,每局输赢相互独立,那么这700法郎如何分配比较合理 ( )
A.甲400法郎,乙300法郎
B.甲500法郎,乙200法郎
C.甲525法郎,乙175法郎
D.甲350法郎,乙350法郎
12.某商场销售某种品牌的空调,每周初购进一定数量的空调,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求,则每台多余的空调需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时调剂的每台空调仅获利润200元.该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位:台),整理如下表:
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调,X表示当周的利润(单位:元),则当周的平均利润为 ( )
A.10 000元 B.9 400元
C.8 800元 D.9 860元
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
序号
科研费用支出xi
利润yi
xiyi
xi2
1
5
31
155
25
2
11
40
440
121
3
4
30
120
16
4
5
34
170
25
5
3
25
75
9
6
2
20
40
4
合计
30
180
1 000
200
13.某调查者在调查中获知某公司近年来科研费用支出x(万元)与公司所获得利润y(万元)的统计资料如下表:
则利润y关于科研费用支出x的线性回归方程为 .
参考公式:b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x.
14.已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的各项系数之和为27,则实数a= ,展开式中含x2项的系数是 .(本小题第一空2分,第二空3分)
15.已知mn>0,随机变量X的分布列如下:
X
1
2
3
P
13
m
n
则E(X)的取值范围是 .
16.某公园有甲、乙、丙三艘大小不同的游艇,甲可坐3人,乙可坐2人,丙只能坐1人.现有3个大人带着2个小孩租艇,若小孩不能单独坐游艇,则不同的坐法种数是 .(用数字作答)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)盒子内有3个不同的黑球,5个不同的白球.
(1)将它们全部取出排成一列,3个黑球两两不相邻的排法有多少种?
(2)若取到一个白球记2分,取到一个黑球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?
18.(本小题满分12分)在x2+2xn的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项;
(3)求展开式中系数最大的项.
19.(本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵数.其中乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以x表示.
甲组
乙组
9 9
0
x 8 9
1 1
1
0
(1)如果x=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;
(2)如果x=9,从甲、乙两组同学中各随机选取1名同学,求这2名同学的植树总棵数Y的分布列.
20.(本小题满分12分)2020年寒假是特殊的寒假,因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11∶13,其中男生中有30人表示对线上教育满意,女生中有25人表示对线上教育不满意.
(1)完成2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“对线上教育是否满意与性别有关”;
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
120
(2)从被调查的对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取7名学生,再从这7名学生中抽取3名学生作线上学习的经验介绍,其中抽取女生的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.(本小题满分12分)市面上有某品牌的A型和B型两种节能灯,假定A型节能灯的使用寿命都超过5 000小时.经销商对B型节能灯的使用寿命进行了调查统计,得到如下频率分布直方图:
某商家因原店面重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业.经了解,A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当,都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面正常营业一年的照明时间为3 600小时,正常营业期间灯坏了立即购买同型号灯更换.(用频率估计概率)
(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯,求一年内恰好更换了2只灯的概率;
(2)若只考虑灯的成本和消耗的电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯?请说明理由.
22.(本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验,其数据如下表所示:
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关;
(2)求特征量y关于x的回归方程,并预测当特征量x为12时,特征量y的值;
(3)设特征量x满足x~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,求P(3.8
参考公式:相关系数r=∑i=1n(xi-x)·(yi-y)∑i=1n(xi-x)2·∑i=1n(yi-y)2,b^=∑i=1n(xi-x)·(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x.
参考数据:2≈1.414,10≈3.2,3.2≈1.8,若x~N(μ,σ2),则P(μ-σ
1.B
2.C
3.B
4.A
5.C
6.C
7.B
8.C
9.D
10.A
11.C
12.D
一、选择题
1.B 涂“眼睛”的方法有6种;涂“鼻子”的方法有6种;涂“嘴巴”的方法有6种,由分步乘法计数原理得共有6×6×6=216种涂法.
2.C 因为通过某次考试的概率是未通过的5倍,所以1-P(X=0)=5P(X=0),解得P(X=0)=16.故选C.
3.B 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,平均数也增加相同的数,由方差公式可知,方差不变,故A中说法正确.对于回归方程y^=3-5x,变量x每增加1个单位,y平均减少5个单位,故B中说法错误.回归方程所对应的直线必过样本点的中心,故C中说法正确.k=4.732>3.841,有95%的把握说明两个变量有关,故D中说法正确.
故选B.
4.A 因为随机变量X~N(1,σ2),P(X≤0)=P(X≥a),所以a=2,代入可得(1+2x)3·x2+2x5,x2+2x5展开式的通项为Tr+1=C5r(x2)5-r2xr=2rC5rx10-3r(r=0,1,2,…,5),则T3=22C52x4=40x4,T4=23C53x=80x.故(1+2x)3x2+2x5的展开式中x4的系数为40+80×8=680,故选A.
5.C 当y=ax+1-a的图象不经过第二象限时,a>1且1-a≤-1,即a≥2,又随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(0
∴m+n=1,2mn=38,
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=1-38=58.故选C.
7.B 设A=“这个问题至少被一个人正确解答”,B=“甲、乙两位同学都能正确解答该问题”,因为甲、乙两位同学各自独立正确解答该问题的概率分别是23和12,故P(A)=1-1-23×1-12=56,P(B)=12×23=13,易知P(AB)=P(B)=13.故P(B|A)=P(AB)P(A)=1356=25.故选B.
8.C 当平面SAB与平面SDC同色时,平面ABCD有4种染色方法,平面SDC有3种染色方法,平面SAD有2种染色方法,平面SAB有1种染色方法,平面SBC有2种染色方法,即4×3×2×1×2=48种;
当平面SAB与平面SDC不同色时,平面ABCD有4种染色方法,平面SDC有3种染色方法,平面SAD有2种染色方法,平面SAB有1种染色方法,平面SBC有1种染色方法,即4×3×2×1×1=24种.
故不同的染色方法总数为48+24=72.
9.D 令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n,
令x=-1,得1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,
两式相加得到2S=3n+1,所以S=3n+12,故选D.
10.A 由题意,可得x=70×50+80-60+70-9050=70.设收集的48个准确数据分别为x1,x2,…,x48,则75=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(60-70)2+(90-70)2]
=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+500],
s2=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(80-70)2+(70-70)2]
=150[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+100]<75,所以s2<75.故选A.
11.C 假定再赌一局,甲获胜的概率为12;若再赌两局,甲才获胜的概率为12×12=14,∴甲获胜的概率为14+12=34,∴甲应分得700×34=525(法郎),乙应分得700×14=175(法郎).故选C.
12.D 当n≥20时,X=500×20+200×(n-20)=200n+6 000,
当n≤19时,X=500n-100(20-n)=600n-2 000,
则X的所有可能取值为8 800,9 400,10 000,10 200,10 400,∴P(X=8 800)=0.1,P(X=9 400)=0.2,P(X=10 000)=0.3,P(X=10 200)=0.3,P(X=10 400)=0.1,
则当周的平均利润X=0.1×8 800+0.2×9 400+0.3×10 000+0.3×10200+0.1×
10 400=9 860(元).故选D.
二、填空题
13.答案 y^=2x+20
解析 设线性回归方程为y^=b^x+a^.
由题表中数据得,b^=1000-6×5×30200-6×52=2,
∴a^=30-2×5=20,
∴线性回归方程为y^=2x+20.
14.答案 2;23
解析 已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的各项系数之和为27,令x=1,则(1+a)3=27,解得a=2,故该式为(2-x2)(1+2x)3,其展开式中含x2项的是2×C32×(2x)2+(-x2)×C30=23x2.故展开式中含x2项的系数为23.
15.答案 53,73
解析 由条件知m+n=23,E(X)=13+2m+3n=13+2m+323-m=-m+73,
由m>0,n=23-m>0,得m∈0,23,所以E(X)∈53,73.
16.答案 27
解析 把大人和小孩进行组合,设大人为D,小孩为H.
①甲、乙、丙:{1D+1H},{1D+1H},{1D},有(C31×C21)×(C21×C11)×C11=12(种);
②甲、乙、丙:{1D+2H},{1D},{1D},有C31×C22×C21=6(种);
③甲、乙:{2D+1H},{1D+1H},有(C32×C21)×(C11×C11)=6(种);
④甲、乙:{1D+2H},{2D},有C31×C22×C22=3(种).
故共有12+6+6+3=27种不同的坐法.
三、解答题
17.解析 (1)首先将5个白球进行排列,然后3个黑球进行插空,则3个黑球两两不相邻的排法有A55A63=14 400种. (5分)
(2)从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有4类:5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球,故共有C55+C31C54+C32C53+C33C52=56种. (10分)
18.解析 (1)由题意知,该式展开式的通项为
Tr+1=Cnr(x2)n-r2xr=Cnr2rx2n-52r(r=0,1,2,…,n), (2分)
则第4项的系数为Cn323,
倒数第4项的系数为Cnn-32n-3,则有Cn323Cnn-32n-3=12,即12n-6=12,∴n=7. (4分)
(2)由(1)可得Tr+1=C7r2rx14-52r(r=0,1,…,7),
当r=0,2,4,6时,所得的项为有理项,即所有的有理项为T1,T3,T5,T7,
即T1=C7020x14=x14,T3=C7222x9=84x9,T5=C7424x4=560x4,T7=C7626x-1=448x-1. (8分)
(3)设展开式中第r+1项的系数最大,则
C7r2r≥C7r+12r+1,C7r2r≥C7r-12r-1⇒r+1≥2(7-r),2(8-r)≥r⇒133≤r≤163,
∵r∈N*,∴r=5,故系数最大的项为T6=C7525x32=672x32. (12分)
19.解析 (1)当x=8时,由题图可知,乙组同学的植树棵数分别是8,8,9,10,
所以平均数为8+8+9+104=354; (3分)
方差为14×8-3542+8-3542+9-3542+10-3542=1116. (6分)
(2)当x=9时,由题图可知,甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11;乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.
从甲、乙两组同学中各随机选取1名同学,这2名同学的植树总棵数Y的所有可能取值为17,18,19,20,21.
事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,
所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=216=18.
同理可得P(Y=18)=14,P(Y=19)=14,
P(Y=20)=14,P(Y=21)=18. (10分)
所以Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
18
14
14
14
18
(12分)
20.解析 (1)男生人数为120×1111+13=55,所以女生人数为120-55=65,由此完整的2×2列联表如下:
满意
不满意
总计
男生
30
25
55
女生
40
25
65
总计
70
50
120
(2分)
根据列联表中的数据,得到K2的观测值k=120×(30×25-25×40)255×65×70×50=6001001≈0.599<2.706,所以没有90%的把握认为“对线上教育是否满意与性别有关”. (4分)
(2)根据分层抽样比例关系可知男生抽取7×3070=3人,女生抽取4人,依题可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,并且ξ服从超几何分布,P(ξ=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3), (5分)
即P(ξ=0)=C40C33C73=135,
P(ξ=1)=C41C32C73=1235,
P(ξ=2)=C42C31C73=1835,
P(ξ=3)=C43C30C73=435. (8分)
可得分布列为
ξ
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
(10分)
可得E(ξ)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127. (12分)
21.解析 (1)由题中频率分布直方图可知:
B型节能灯使用寿命超过3 600小时的频率为0.001 0×200=0.2,
用频率估计概率,得B型节能灯使用寿命超过3 600小时的概率为15. (3分)
所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为45,
所以一年内5只恰好更换了2只的概率为C52452×153=32625. (6分)
(2)若选择A型节能灯,一年共需花费5×120+3 600×5×20×0.75×10-3=870(元);
若选择B型节能灯,由于B型节能灯一年内需更换的只数服从二项分布B5,45, (8分)
故一年内需更换灯的只数的数学期望为5×45=4, (10分)
故一年共需花费(5+4)×25+3 600×5×55×0.75×10-3=967.5(元).
因为967.5>870,所以该商家应选择A型节能灯. (12分)
22.解析 (1)由题意得x=15∑i=15xi=355=7,y=15∑i=15yi=455=9,
∑i=15(xi-x)(yi-y)=∑i=15xiyi-5x y=2×12+5×10+8×8+9×8+11×7-5×7×9=-28,
∑i=15(xi-x)2=50,∑i=15(yi-y)2=16,
因而相关系数
r=∑i=15(xi-x) · (yi-y)∑i=15(xi-x)2·∑i=15(yi-y)2=-2850×16=-752≈-0.99. (3分)
由于|r|≈0.99很接近1,说明x,y线性相关性很强,因而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.由于r<0,故其关系为负相关. (5分)
(2)由(1)知,b^=∑i=15(xi-x)·(yi-y)∑i=15(xi-x)2=-2850=-0.56,∴a^=y-b^x=9-(-0.56)×7=12.92, (7分)
则所求的回归方程是y^=-0.56x+12.92.
当特征量x为12时,
可得预测值y^=-0.56×12+12.92=6.2. (9分)
(3)由(1)知,μ=x=7,又由σ2=s2=15×[(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2]=10,得σ≈3.2,从而P(3.8
相关试卷
全书综合测评-2022版数学必修1 人教版（新课标） 同步练习 （Word含解析）： 这是一份全书综合测评-2022版数学必修1 人教版（新课标） 同步练习 （Word含解析），共13页。
全书综合测评-2022版数学选修2-1 人教版（新课标） 同步练习 （Word含解析）： 这是一份全书综合测评-2022版数学选修2-1 人教版（新课标） 同步练习 （Word含解析），共20页。
高中数学2.4正态分布随堂练习题： 这是一份高中数学2.4正态分布随堂练习题，共17页。试卷主要包含了1,p2=p3=0，设0<a<1，假设α=0等内容，欢迎下载使用。
