选修2-3综合测评

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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知下列说法:

①对于线性回归方程=3-5x,变量x每增加1个单位时,平均增加5个单位;

②甲、乙两个模型的相关指数R2分别为0.98和0.80,则模型甲的拟合效果更好;

③对分类变量X与Y,若随机变量K2的观测值k越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越大;

④两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数就越接近于1.其中说法错误的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.如图所示,用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”(即图中A、B所示区域)用相同颜色,则不同的涂法共有(　　)

A.1 296种 B.216种 C.36种 D.18种

3.若事件A,B相互独立,它们发生的概率分别为p1,p2,则事件A,B都不发生的概率为(　　)

A.1-p1p2 B.(1-p1)(1-p2)

C.p1p2    D.1-(p1+p2)

4.已知有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数分别是a=10,b=21,c+d=35,若X与Y有关系的可信程度为90%,则c=(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

5.已知离散型随机变量X的分布列如下:

由此可以得到数学期望E(X)与方差D(X)分别为(　　)

A.E(X)=1.4,D(X)=0.2   B.E(X)=0.44,D(X)=1.4

C.E(X)=1.4,D(X)=0.44   D.E(X)=0.44,D(X)=0.2

6.已知随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(0<a<1)=0.3.若a>0,且a≠1,则函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限的概率为(　　)

A.0.375 B.0.3 C.0.25 D.0.2

7.“端午节”这天,小明的妈妈煮了五个粽子,其中两个腊肉馅,三个豆沙馅.小明随机取出两个粽子,若已知小明取到的两个粽子为同一种馅,则这两个粽子都为腊肉馅的概率为　(　　)

A.　　 B.　　 C.　　 D.

8.已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中含的项的系数为(　　)

A.21 B.-42  C.56  D.42

9.若离散型随机变量ξ的取值分别为m,n,且P(ξ=m)=n,P(ξ=n)=m,E(ξ)= ,则m2+n2的值为(　　)

A.   B.   C.   D.

10.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　　)

A.   B.  C.  D.

11.设=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,若S=a0+a2+a4+…+a2n,则S的值为(　　)

A.2n B.2n+1   C.  D.

12.某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为(　　)

A.    B.

C.    D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量进行线性相关检验,并用回归分析方法分别求得的相关系数r如下表:

则这四位同学的试验结果能体现出A,B两变量有更强的线性相关性的是　　　　. 

14.(1+x)(1-x)6的展开式中含x5的项的系数为　　　. 

15.已知mn>0,随机变量X的分布列如下:

则E(X)的取值范围是　　　　. 

16.某公园有甲、乙、丙三艘大小不同的游艇,甲可坐3人,乙可坐2人,丙只能坐1人.现有3个大人带着2个小孩租艇,若小孩不能单独坐艇,则不同的坐法种数是　　　　.(用数字作答) 

三、解答题(共70分)

17.(10分)某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票,按照该市暴雨前后两个时间各收集了50份有效投票,所得统计结果如下表:

已知工作人员从所有投票中任取一张,取到“不支持投入”的投票概率为.

(1)求表中x,y,A,B的值,并绘制条形图,通过图形判断本次暴雨是否影响到该市民众对加大修建城市地下排水设施的资金投入的态度;

(2)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的资金投入有关?

(3)用样本估计总体,在该市全体市民中任意选取4人,其中“支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.

附:

K2=,n=a+b+c+d.

18.(12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:

已知在这30人中随机抽取1人,抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.

(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此分析反感“中国式过马路”是否与性别有关?

(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记其中反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

附:K2=,n=a+b+c+d.

19.(12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵数.其中乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以x表示.

(1)如果x=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;

(2)如果x=9,从甲、乙两组同学中各随机选取1名同学,求这2名同学的植树总棵数Y的分布列.

20.(12分)在的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.

(1)求n的值;

(2)求展开式中所有的有理项;

(3)求展开式中系数最大的项.

21.(12分)随着西部大开发的深入,西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐,下表是西南地区某大学2014年至2018年的录取平均分与省一本线对比表:

 (1)由上表数据可知,分差y与年份代码t之间存在线性相关关系,求y关于t的线性回归方程;

(2)由以往数据可知,该大学每年的录取分数X服从正态分布N(μ,25),其中μ为当年该大学的录取平均分,假设2020年该省一本线为520分,李华2020年高考考了569分,他很喜欢这所大学,想第一志愿填报,请利用概率与统计知识,给李华一个合理的建议.(若第一志愿录取可能性低于60%,则建议谨慎报考)

参考公式:=,=-·.

参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈

0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<x≤μ+3σ)≈0.997 3.

22.(12分)市面上有某品牌的A型和B型两种节能灯,假定A型节能灯的使用寿命都超过5 000小时.经销商对B型节能灯的使用寿命进行了调查统计,得到如下频率分布直方图:

某商家因原店面重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业.经了解,A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当,都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面正常营业一年的照明时间为3 600小时,正常营业期间灯坏了立即购买同型号灯更换.(用频率估计概率)

(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯,求一年内恰好更换了2只灯的概率;

(2)若只考虑灯的成本和消耗的电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯?请说明理由.

答案全解全析

一、选择题

1.B　说法①中,对于线性回归方程=3-5x,变量x每增加1个单位时,平均减少5个单位,故①错误;说法②中,相关指数R2越接近于1,拟合效果越好,则模型甲的拟合效果更好,故②正确;说法③中,对分类变量X与Y,若随机变量K2的观测值k越大,则由临界值表可知犯错误的概率就越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越大,故③正确;说法④中,两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1,故④错误.故选B.

2.B　涂“眼睛”的方法有6种;涂“鼻子”的方法有6种;涂“嘴巴”的方法有6种,由分步乘法计数原理得共有6×6×6=216种涂法.

3.B　由事件A与事件B相互独立,可得与相互独立,

所以P( )=P()·P()=(1-p1)(1-p2),故选B.

4.B　由题意可得如下2×2列联表:

查阅相关临界值表可知,P(K2≥2.706)≈0.1,当c=5时,d=30,

K2=≈3.024>2.706,所以c=5时,X与Y有关系的可信程度为90%,经检验,c=4,c=6,c=7皆不成立.故选B.

5.C　由x+4x+5x=1,得x=0.1,E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4,D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.44.故选C.

6.C　当y=ax+1-a的图象不经过第二象限时,a>1且1-a≤-1,即a≥2,又随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(0<a<1)=0.3,

∴P(1<a<2)=0.3,∴P(a≥2)=×(1-0.6)=0.2,∴函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限的概率为=0.25,故选C.

7. A　设事件A为“取到的两个粽子为同一种馅”,事件B为“取到的两个粽子都是腊肉馅”,由题意知,P(A)==,P(AB)==,

∴P(B|A)==.故选A.

8.C　由题意可知=,故n=8,故该式为,其展开式的通项为Tk+1=·x8-k·=·x8-2k(k=0,1,2,…,8),令8-2k=-2,得k=5,因此展开式中含的项的系数为=56,故选C.

9.C　离散型随机变量ξ的取值分别为m,n,且P(ξ=m)=n,P(ξ=n)=m,E(ξ)=,

∴m+n=1,2mn=,

∴m2+n2=(m+n)2-2mn=1-=.故选C.

10. B　设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,由题意可知A,B,C相互独立,事件ABC,AB,AC两两互斥,所以P(E)=P(ABC∪AB∪AC)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+

P(A)P()P(C)=××+××+××=.

11.D　令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n,令x=-1,得1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,

两式相加得到2S=3n+1,所以S=,故选D.

12.B　所有领取的方法有=21种,甲领3元的情况有2种,即乙领3元,丙领2元或丙领3元,乙领2元,记为(丙2,乙3)或(乙2,丙3);

甲领4元的情况有3种,即(乙1,丙3)或(丙1,乙3)或(乙2,丙2);

甲领5元的情况有2种,即(乙1,丙2)或(丙1,乙2);

甲领6元的情况只有1种,即(乙1,丙1).

∴“甲领到的钱数不少于其他任何人”的情况总数为2+3+2+1=8,

∴甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为.故选B.

二、填空题

13.答案　丁同学

解析　由相关系数的意义可知,相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强,结合题意可知丁同学的试验结果能体现出A,B两变量的线性相关性更强.

14.答案　9

解析　因为(1+x)(1-x)6=(1-x)6+x(1-x)6,所以(1+x)(1-x)6的展开式中含x5的项为·(-x)5+x·(-x)4=·(-1)5x5+·(-1)4x5,

所以展开式中含x5的项的系数为·(-1)5+·(-1)4=-6+15=9,故答案为9.

15.答案　

解析　由条件知m+n=,E(X)=+2m+3n=+2m+3=-m+,

由m+n=,得n=-m>0,则m∈,所以E(X)∈.

16.答案　27

解析　把大人和小孩进行组合,设大人为D,小孩为H.

①甲、乙、丙:{1D+1H},{1D+1H},{1D},有(×)×(×)×=12(种);

②甲、乙、丙:{1D+2H},{1D},{1D},有××=6(种);

③甲、乙:{2D+1H},{1D+1H},有(×)×(×)=6(种);

④甲、乙:{1D+2H},{2D},有××=3(种).

故共有12+6+6+3=27种不同的坐法.

三、解答题

17.解析　(1)设“从所有投票中任取一张,取到‘不支持投入’的投票”为事件A,

由已知得P(A)==,

所以y=10,B=40,x=40,A=60,

暴雨后支持率为=,不支持率为1-=,暴雨前支持率为=,不支持率为1-=.

绘制条形图,如图所示:

通过图形可判断出本次暴雨影响到了该市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.

(2)K2=≈16.67>10.828,

故有99.9%的把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的资金投入有关.

(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,用样本估计总体,从全体市民中任取1人,其支持资金投入的概率P==,

所以ξ~B,P(ξ=k)=··(k=0,1,2,3,4).

所以ξ的分布列为

数学期望E(ξ)=4× = .

18.解析　(1)补充完整的列联表如下:

由已知数据得K2的观测值k=≈1.158<2.706.

所以没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关.

(2)易知X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=0)==,P(X=1)==,

P(X=2)==.

所以X的分布列为

数学期望E(X)=0×+1×+2×=.

19.解析　(1)当x=8时,由题图可知,乙组同学的植树棵数分别是8,8,9,10,

所以平均数为=;

方差为+++=.

(2)当x=9时,由题图可知,甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11;乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.

从甲、乙两组同学中各随机选取1名同学,这2名同学的植树总棵数Y的所有可能取值为17,18,19,20,21.

事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,

所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)==.

同理可得P(Y=18)=;P(Y=19)=;

P(Y=20)=;P(Y=21)=.

所以随机变量Y的分布列为

20.解析　(1)由题意知,该式展开式的通项为Tr+1=(x2)n-r=2r(r=0,1,2,…,n),则第4项的系数为23,

倒数第4项的系数为2n-3,则有=,即=,∴n=7.

(2)由(1)可得Tr+1=2r(r=0,1,…,7),

当r=0,2,4,6时,所得的项为有理项,即所有的有理项为T1,T3,T5,T7,

即T1=20x14=x14,T3=22x9=84x9,T5=24x4=560x4,T7=26x-1=448x-1.

(3)设展开式中第(r+1)项的系数最大,则

⇒⇒≤r≤,

∴r=5,故系数最大的项为T6=25=672.

21.解析　(1)由题表中数据可得,=×(1+2+3+4+5)=3,=×(28+34+41+47+50)=40,

(ti-)(yi-)=57,

(ti-)2=10,

故===5.7,=-·=40-5.7×3=22.9,

故所求线性回归方程为=5.7t+22.9.

(2)由(1)知,当t=7时,=62.8,故该大学2020年的录取平均分为582.8.

又因为569<μ-σ=582.8-5=577.8,所以李华被录取的概率

P<≈=0.158 65<0.6,

故建议李华第一志愿谨慎报考该大学.

22.解析　(1)由题中频率分布直方图可知:

B型节能灯使用寿命超过3 600小时的频率为0.001 0×200=0.2,

用频率估计概率,得B型节能灯使用寿命超过3 600小时的概率为.

所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为,

所以一年内5只恰好更换了2只的概率为×=.

(2)若选择A型节能灯,一年共需花费5×120+3 600×5×20×0.75×10-3=870(元);

若选择B型节能灯,由于B型节能灯一年内需更换的只数服从二项分布B,

故一年内需更换灯的只数的数学期望为5×=4,

故一年共需花费×25+3 600×5×55×0.75×10-3=967.5(元).

因为967.5>870,所以该商家应选择A型节能灯.