数学选修2-32.2二项分布及其应用随堂练习题

这是一份数学选修2-32.2二项分布及其应用随堂练习题，共8页。试卷主要包含了5×+×0等内容，欢迎下载使用。

考点 独立重复试验与二项分布

1.(2020全国Ⅰ,19,12分,)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
2.(2019课标全国Ⅱ,18,12分,)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
3.(2018天津,16改编,13分,)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
三年模拟练
1.(2020湖南长沙雅礼中学高二月考,)2019年年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因为这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以当时没有特异治疗方法,防控难度很大,武汉市在出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大的情形下,从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0
A.1-63B.63
C.33D.1-33
2.(2020河北衡水高二月考,)已知甲有2张印着数字2的卡片,乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片,乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲,甲再从现有的卡片中任选2张还给乙,每张卡片被选中的可能性都相等,则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为 .
3.(2020湖南长沙高二模拟,)发展“会员”、提供优惠成为不少实体店在网购冲击下吸引客流量的重要方式.某连锁店为了吸引会员,在2020年元旦期间推出一系列优惠促销活动.抽奖返现便是针对“白金卡会员”“金卡会员”“银卡会员”“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动:“白金卡会员”“金卡会员”“银卡会员”“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会.抽奖机如图,抽奖者第一次按下抽奖键,在正四面体的顶点O出现一个小球,再次按下抽奖键,小球以相等的可能移向邻近的顶点之一,再次按下抽奖键,小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一,……,每一个顶点上均有一个发光器,小球在某点时,该点等可能发红光或蓝光,若出现红光则获得2个单位现金,若出现蓝光则获得3个单位现金.
(1)求“银卡会员”获得奖金的分布列;
(2)Pi(i=1,2,3,4,…)表示第i次按下抽奖键,小球出现在O点处的概率.
①求P1,P2,P3,P4的值;
②写出Pn+1与Pn的关系式,并说明理由.
4.()2020年“双十一”期间,某商场举办了一次有奖促销活动,顾客消费每满1000元可参加一次抽奖(例如:顾客甲消费930元,不得参与抽奖;顾客乙消费3400元,可以抽奖三次).如图,在圆盘上绘制了标有A,B,C,D的八个扇形区域,每次抽奖时由顾客按动按钮使指针旋转一次,旋转结束时指针会随机停在圆盘上的某一个位置,顾客获奖的奖次由指针所指区域决定(指针与区域边界线粗细忽略不计).商家规定:指针停在标有A,B,C,D的扇形区域对应的奖金分别为200元,150元,100元和50元.已知标有A,B,C,D的扇形区域的圆心角成等差数列,且标有D的扇形区域的圆心角是标有A的扇形区域的圆心角的4倍.
(1)已知某顾客只能抽奖一次,设该顾客抽奖所获得的奖金数为X,求X的分布列;
(2)如下表,该商场统计了活动期间某一天的顾客消费情况.现按照消费金额用分层抽样的方法选出15位顾客代表,其中获得奖金总数不足100的顾客代表有7位.现从这7位顾客代表中随机选取2位,求这2位顾客的奖金总数和仍不足100的概率.
2.1~2.2综合拔高练
五年高考练
1.解析 (1)甲连胜四场的概率为116.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为116;
乙连胜四场的概率为116;
丙上场后连胜三场的概率为18.
所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.
(3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.
因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.
2.解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
3.解析 (1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=C4k·C33-kC73(k=0,1,2,3).
所以随机变量X的分布列为
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.
由(i)知,P(B)=P(X=2)=1835,P(C)=P(X=1)=1235,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67,所以事件A发生的概率为67.
三年模拟练
1.A 设事件A为检测5个人确定为“感染高危户”;事件B为检测6个人确定为“感染高危户”.
则P(A)=p(1-p)4,P(B)=p(1-p)5.
即f(p)=p(1-p)4+p(1-p)5=p(2-p)(1-p)4.
设x=1-p>0,则
f(1-x)=(1-x)(1+x)x4=(1-x2)x4=12×[(2-2x2)×x2×x2]
≤12×2-2x2+x2+x233=427,
当且仅当2-2x2=x2,即x=63时取等号,
即p=p0=1-63.故选A.
2.答案 815
解析 事件可分为三种情况:①乙选2张印着数字3的卡片给甲;②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲;③乙选2张印着数字2的卡片给甲,所以所求概率P=C32C62×C22C42+C31C31C62×C32C42+C32C62×1=1630=815.
3.解析 (1)设“银卡会员”获得的奖金为ξ个单位现金,则ξ的所有可能取值为4,5,6.
P(ξ=4)=12×12=14,P(ξ=5)=2×12×12=12,P(ξ=6)=12×12=14.
所以ξ的分布列为
(2)①第一次按下抽奖键小球一定出现在正四面体的顶点O,得出P1=1,
第二次按下时,小球移向其他相邻点,则P2=0,
第三次按下时,由于小球不在点O,则P3=13,
第四次按下抽奖键时,
若第三次结束小球在点O,则第四次按下抽奖键时小球出现在点O的概率为0,
若第三次结束小球不在点O,则第四次按下抽奖键时小球出现在点O的概率为1-13×13=29,∴P4=0+29=29.
②Pn+1=13-13Pn.理由如下:由题意知,若第n次按下抽奖键小球出现在O点处,则第n+1次小球出现在O点处的概率为0;
若第n次按下抽奖键小球不在O点处,则第n+1次小球出现在O点处的概率为13.
∴Pn+1=Pn·0+(1-Pn)·13=13-13Pn.
4.解析 (1)设标有A,B,C,D的扇形区域的圆心角分别为a1,a2,a3,a4,
由题意知,a4=4a1,a1+a2+a3+a4=π,a1,a2,a3,a4成等差数列,所以a1=π10,a2=π5,a3=3π10,a4=2π5.
易知顾客抽奖一次,获得的奖金数X的所有可能取值为50,100,150,200,所对应的概率分别为25,310,15,110,
所以X的分布列为
(2)由已知得,
①消费金额位于[2000,3000),[3000,4000)内的顾客,总获奖金额一定不少于100元.
②消费金额位于(0,1000)内的顾客获奖金额为0元.
③消费金额位于[1000,2000)内的顾客获奖金额可能为50元,100元,150元,200元.
由分层抽样得,从消费金额(0,1000)内抽到的顾客代表人数为3636+60+48+36×15=3,
则获得奖金总数不足100的剩余4位顾客代表必然获得奖金额为50元.
设获奖金额为0元的3位顾客代表为x1,x2,x3,获奖金额为50元的4位顾客代表为y1,y2,y3,y4.
事件B为“从这7位顾客代表中随机选取2位的奖金总数仍不足100”,
事件B为“从这7位顾客代表中随机选取2位的奖金总数等于100”,
从这7位顾客代表中随机选取2位的基本事件有21个,
事件B包含(y1,y2),(y1,y3),(y1,y4),(y2,y3),(y2,y4),(y3,y4),共6个,
所以P(B)=621=27,
所以P(B)=1-P(B)=57,
故从这7位顾客代表中随机选取2位顾客的奖金总数仍不足100的概率为57.
消费金额
顾客人数
(0,1000)
36
[1000,2000)
60
[2000,3000)
48
[3000,4000)
36
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
ξ
4
5
6
P
14
12
14
X
50
100
150
200
P
25
310
15
110