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数学必修2第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式同步达标检测题
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这是一份数学必修2第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式同步达标检测题，共9页。试卷主要包含了点到直线x+y-1=0的距离是，已知直线l，已知点A,B和直线l等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 点到直线的距离
1.(2021浙江湖州高二上期末)点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是( )
A.2B.22C.1D.12
2.若点(1,a)到直线x-y+1=0的距离是322,则实数a的值为( )
A.-1B.5C.-1或5D.-3或3
3.点P在x轴上,且到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( )
A.(8,0)B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0)D.(-8,0)或(12,0)
4.(2021四川遂宁高二上期末)直线x+y-1=0与直线x-2y-4=0交于点P,则点P到直线kx-y+1+2k=0(k∈R)的最大距离为( )
A.2B.2C.25D.4
5.若直线l经过点(-1,-2),且原点到直线l的距离为1,则直线l的方程为( )
A.3x-4y-5=0
B.x=-1
C.3x-4y-5=0或y=-1
D.3x-4y-5=0或x=-1
6.点P是直线5x-12y+8=0上一点,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( )
A.13B.813C.8D.138
7.点(a,b)到直线xb+ya=0的距离d= .
8.(2021河南许昌高一期末)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积为 .
9.(2021海南三亚高一月考)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0(m∈R)过定点A,则点A到直线l':x+y=1的距离是 .
10.已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|且点P到直线l的距离等于2.
11.在△ABC中,A(3,3),B(2,-2),C(-7,1),求∠BAC的平分线AD所在直线的方程.
题组二 两条平行直线间的距离
12.(2020天津和平高二月考)两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0之间的距离等于 ( )
A.3B.7C.110D.12
13.(2020湖南雅礼中学高一期末)设两条直线的方程分别为x+y-a=0,x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是( )
A.24B.2C.22D.无法确定
14.(2021北京石景山高二上期中)若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为355,则实数a的值为( )
A.-2B.-2或1
C.-1D.-1或2
15.(2020天津滨海新区高二上期中)若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0间的距离是5,则m+n=( )
A.0B.1C.-1D.-2
16.(2020江苏南京师范大学附属中学高一下期中)已知直线l1:4x+2y-7=0和l2:2x+y-1=0,直线m分别与l1,l2交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为 .
17.(2021华东师大二附中高二上月考)若直线m被两平行线l1:x+y=0与l2:x+y+6=0所截得的线段的长为23,则m的倾斜角可以是 .(写出所有正确答案的序号)
①15°;②45°;③60°;④105°;⑤120°;⑥165°.
能力提升练
一、选择题
1.(2021山东济南高二上期末,)已知动点P在直线l1:3x-4y+1=0上运动,动点Q在直线l2:6x+my+4=0上运动,且l1∥l2,则|PQ|的最小值为( )
A.35B.310C.15D.110
2.()若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c+2a的值为( )
A.-1B.1C.0D.-1或1
3.()若点(a,b)是直线y=3x-3上的点,则(a+1)2+b2的最小值是( )
A.0B.3C.32D.3
4.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.32B.23C.33D.42
5.(2021陕西榆林高一上期末,)已知实数a,b,c,d满足ab=c-1d-3=43,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )
A.8125B.95C.12125D.115
二、填空题
6.()若直线l:x-3y-2=0上的两点与点M(-2,2)构成等边三角形,则这两点的坐标分别为 、 .
7.()已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P,使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是 (填序号).
①y=x+1;②y=2;③4x-3y=0;④2x-y+1=0.
三、解答题
8.(2021河南焦作高一上期末,)分别求出符合下列条件的直线方程:
(1)经过点(3,1)但不过坐标原点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的3倍;
(2)经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且与点A(1,1),B(-5,7)等距离.
9.(2019山东平邑第一中学高一测试,)过点(2,3)的直线l被两平行直线l1:2x-5y+9=0与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线l的方程.
10.(2019甘肃武威十八中高一测试,)(1)求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线方程;
(2)求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是3105的直线方程.
11.(2021浙江绍兴高二上期末,)已知直线l1:x+2y-3=0和l2:2x+y-3=0相交于点A.
(1)求经过点A且与l1垂直的直线方程;
(2)设经过点P(0,-1)的直线l与l1,l2分别交于B,C两点,若|AB|=|AC|,求直线l的方程.
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
基础过关练
1.A 点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离d=|-1+0-1|12+12=2,故选A.
2.C 由点到直线的距离公式可得|1-a+1|12+(-1)2=322,解得a=-1或a=5,故选C.
3.C 设点P的坐标为(x,0),则|3x-4×0+6|32+(-4)2=6,解得x=8或x=-12.
∴点P的坐标为(8,0)或(-12,0),故选C.
4.C 由x+y-1=0,x-2y-4=0解得x=2,y=-1,所以P(2,-1).
由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)-y+1=0,所以直线kx-y+1+2k=0恒过点(-2,1),设为Q,
所以点P到直线kx-y+1+2k=0的最大距离为|PQ|=[2-(-2)]2+(-1-1)2=25,故选C.
5.D 当直线l的斜率不存在时,方程为x=-1,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,
∴原点到直线l的距离d=|k-2|k2+1=1,
解得k=34,
∴直线l的方程为34x-y-54=0,即3x-4y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y-5=0,故选D.
6.B 点P是直线5x-12y+8=0上一点,O为坐标原点,则|OP|的最小值就是点O到该直线的距离,即|0-0+8|52+(-12)2=813,故选B.
7.答案 a2+b2
解析 把直线方程xb+ya=0化成一般式为ax+by=0,
利用点到直线的距离公式,得d=|a2+b2|a2+b2=a2+b2.
8.答案 5
解析 由题意得|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22,
AB边所在直线的方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0,点C到直线x+y-4=0的距离为|-1+0-4|2=52,
因此,S△ABC=12×22 ×52=5.
9.答案 22
解析 由2x+mx+y-2my+4-3m=0,得2x+y+4+m(x-2y-3)=0,
令2x+y+4=0,x-2y-3=0,
解得x=-1,y=-2,
所以A(-1,-2),
所以点A到直线l':x+y=1的距离为|-1-2-1|2=22.
名师支招
定点问题:求直线或曲线经过的定点,常用分离参数法,一般可以根据需要选定参数λ∈R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式λ2f1(x,y)+λf2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y的二元一次代数式),由上述原理可得方程组f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,f3(x,y)=0,从而求得定点坐标.
10.解析 设点P的坐标为(a,b).
易知AB的中点坐标为(3,-2),kAB=-3-(-1)4-2=-1,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.
由题意可知,点P(a,b)在直线x-y-5=0上,故a-b-5=0.①
又点P到直线l的距离为2,
所以|4a+3b-2|42+32=2,②
由①②得a=1,b=-4或a=277,b=-87.
所以点P的坐标为(1,-4)或277,-87.
11.解析 设M(x,y)为∠BAC的平分线AD上的任意一点.易知AC边所在直线的方程为x-5y+12=0,
AB边所在直线的方程为5x-y-12=0.
由角平分线的性质得|x-5y+12|12+(-5)2=|5x-y-12|52+(-1)2,
所以x-5y+12=5x-y-12或x-5y+12=y-5x+12,
即y=-x+6或y=x.
在平面直角坐标系中作出△ABC及直线AD,如图所示,
由图可知kAC所以y=-x+6不合题意,舍去.
故所求直线的方程为y=x.
12.C 解法一:易知两直线平行,将直线3x+4y-2=0化为6x+8y-4=0,则两直线间的距离d=|-4-(-5)|62+82=110.
解法二:易知两直线平行,在3x+4y-2=0上任取一点0,12,其到直线6x+8y-5=0的距离即为两平行线间的距离,则距离d=0+8×12-562+82=110.
13.C 因为a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,
所以由一元二次方程根与系数的关系得a+b=-1,所以这两条直线之间的距离d=|-a-b|12+12=22.故选C.
14.C ∵l1∥l2,∴a(a-1)=2,解得a=-1或a=2,
当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:x-2y-1=0,两直线间的距离为355,符合题意;
当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:x+y+12=0,两直线间的距离为324,不符合题意.
故选C.
15.A 由直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0平行可得-n=2,即n=-2,
因为直线x+2y+m=0(m>0)与x+2y-3=0间的距离为5,
所以|m+3|12+22=5,解得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=2+(-2)=0.
故选A.
16.答案 52
解析 直线l2:2x+y-1=0即直线4x+2y-2=0,
故直线l1,l2为平行直线,则线段AB长度的最小值为两平行直线间的距离,即|-2-(-7)|42+22=52.
17.答案 ④⑥
解析 两平行线间的距离为|6-0|1+1=62=3,
因为直线m被平行线截得的线段的长为23,
所以直线m和两平行线的夹角为30°.
易知两条平行线的倾斜角为135°,
故直线m的倾斜角为105°或165°.
故答案为④⑥.
能力提升练
一、选择题
1.C 因为l1∥l2,所以63=m-4≠41,解得m=-8,所以l2:3x-4y+2=0.
设l1,l2间的距离为d,则d=|2-1|32+(-4)2=15,
由平行线的性质知|PQ|的最小值为15,
故选C.
2.D 由题意,得63=a-2≠c-1,所以a=-4,c≠-2.所以直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.由两平行线间的距离公式,得c2+132+(-2)2=21313,即c2+1=2,
解得c=2或c=-6,所以c+2a的值为-1或1,故选D.
3.D (a+1)2+b2可看成点(a,b)与点(-1,0)之间的距离.易求点(-1,0)到直线y=3x-3的距离d=|3×(-1)-0-3|(3)2+(-1)2=3,
∴(a+1)2+b2 的最小值为d2=3.故选D.
4.A 由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即|-6|2=32.
5.A 因为实数a,b,c,d满足ab=c-1d-3=43,
所以3a-4b=0,3c-4d+9=0,
所以点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上,
所以(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是直线3x-4y=0上的点到直线3x-4y+9=0上点的距离的平方,故所求最小值为|9-0|32+(-4)22=8125.
故选A.
名师支招
本题考查求代数式的最小值,解题方法是利用平方和的几何意义(表示两点间距离的平方),确定坐标含参的两点分别在两条平行直线上,由平行线间距离公式可得结论,注意如果所求代数式是分式型的代数式,其可能的几何意义是两点间连线的斜率.
二、填空题
6.答案 3-1,33-1;-3-1,-33-1
解析 易知与l垂直且经过点M(-2,2)的直线l'的方程为3x+y+4=0,
由x-3y-2=0,3x+y+4=0解得x=-1,y=-1,
所以直线l与l'的交点为N(-1,-1).
设直线l上等边三角形的一个顶点为Ba,a-23,则|MN|=3|BN|,
即(-2+1)2+(2+1)2=3×(a+1)2+a+132,
解得a=3-1或a=-3-1.
所以所求两点的坐标分别为3-1,33-1,-3-1,-33-1.
7.答案 ②③
解析 ①点M到直线y=x+1的距离d=|5-0+1|12+(-1)2=32>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4成立,故①中直线不是点M的“相关直线”.
②点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4成立,故②中直线是点M的“相关直线”.
③点M到直线4x-3y=0的距离d=|4×5-3×0|42+(-3)2=4,即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4成立,故③中直线是点M的“相关直线”.
④点M到直线2x-y+1=0的距离d=|2×5-0+1|22+(-1)2=1155>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4成立,故④中直线不是点M的“相关直线”.
三、解答题
8.解析 (1)因为直线不过原点,所以可设所求直线方程为x3a+ya=1(a≠0),
将(3,1)代入所设方程,解得a=2,
所以直线方程为x+3y-6=0.
(2)由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2,则点P的坐标是(-2,2).
当直线的斜率存在时,设其方程是y-2=k(x+2),即kx-y+(2+2k)=0,
由点到直线的距离公式得|k-1+(2+2k)|k2+1=|-5k-7+(2+2k)|k2+1,解得k=-1.
此时直线方程为x+y=0.
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-2,符合题意.
所以直线的方程是x+y=0或x=-2.
9.解析 设线段AB的中点为M(4y0+1,y0),因为点M到l1与l2的距离相等,
所以|2×(4y0+1)-5y0+9|22+(-5)2
=|2×(4y0+1)-5y0-7|22+(-5)2,所以y0=-1,
则点M(-3,-1).
∴直线l的方程为y-3-1-3=x-2-3-2,即4x-5y+7=0.
10.解析 (1)由题意设所求的直线方程为3x+4y+m=0(m≠-12),
则两直线间的距离d=|m-(-12)|32+42=7,
化简,得|12+m|=35,即12+m=35或12+m=-35,解得m=23或m=-47,
则所求的直线方程为3x+4y+23=0或3x+4y-47=0.
(2)由题意设所求的直线方程为 3x-y+k=0,
再由点P(-1,0)到它的距离为3105,得3105=|-3+k|32+(-1)2,所以|k-3|=6,解得k=9或k=-3,
故所求直线的方程为 3x-y+9=0或3x-y-3=0.
11.解析 (1)联立x+2y-3=0,2x+y-3=0,
解得x=1,y=1,即A(1,1).
直线l1:x+2y-3=0的斜率k1=-12.
设所求直线的斜率为k,因为所求直线与l1垂直,所以kk1=-1,所以k=2,
故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)因为|AB|=|AC|,所以线段BC的中垂线l'经过点A,所以l'上的任意一点D到直线l1与l2的距离都相等,
设D(x,y),则|x+2y-3|12+22=|2x+y-3|12+22,化简得x+y-2=0或x-y=0,即为直线l'的方程,
因为直线l与l'垂直,直线l'的斜率为±1,所以直线l的斜率为±1,
又直线l经过点P(0,-1),故直线l的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.
1.A
2.C
3.C
4.C
5.D
6.B
12.C
13.C
14.C
15.A
1.C
2.D
3.D
4.A
5.A
基础过关练
题组一 点到直线的距离
1.(2021浙江湖州高二上期末)点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是( )
A.2B.22C.1D.12
2.若点(1,a)到直线x-y+1=0的距离是322,则实数a的值为( )
A.-1B.5C.-1或5D.-3或3
3.点P在x轴上,且到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( )
A.(8,0)B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0)D.(-8,0)或(12,0)
4.(2021四川遂宁高二上期末)直线x+y-1=0与直线x-2y-4=0交于点P,则点P到直线kx-y+1+2k=0(k∈R)的最大距离为( )
A.2B.2C.25D.4
5.若直线l经过点(-1,-2),且原点到直线l的距离为1,则直线l的方程为( )
A.3x-4y-5=0
B.x=-1
C.3x-4y-5=0或y=-1
D.3x-4y-5=0或x=-1
6.点P是直线5x-12y+8=0上一点,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( )
A.13B.813C.8D.138
7.点(a,b)到直线xb+ya=0的距离d= .
8.(2021河南许昌高一期末)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积为 .
9.(2021海南三亚高一月考)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0(m∈R)过定点A,则点A到直线l':x+y=1的距离是 .
10.已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|且点P到直线l的距离等于2.
11.在△ABC中,A(3,3),B(2,-2),C(-7,1),求∠BAC的平分线AD所在直线的方程.
题组二 两条平行直线间的距离
12.(2020天津和平高二月考)两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0之间的距离等于 ( )
A.3B.7C.110D.12
13.(2020湖南雅礼中学高一期末)设两条直线的方程分别为x+y-a=0,x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是( )
A.24B.2C.22D.无法确定
14.(2021北京石景山高二上期中)若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为355,则实数a的值为( )
A.-2B.-2或1
C.-1D.-1或2
15.(2020天津滨海新区高二上期中)若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0间的距离是5,则m+n=( )
A.0B.1C.-1D.-2
16.(2020江苏南京师范大学附属中学高一下期中)已知直线l1:4x+2y-7=0和l2:2x+y-1=0,直线m分别与l1,l2交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为 .
17.(2021华东师大二附中高二上月考)若直线m被两平行线l1:x+y=0与l2:x+y+6=0所截得的线段的长为23,则m的倾斜角可以是 .(写出所有正确答案的序号)
①15°;②45°;③60°;④105°;⑤120°;⑥165°.
能力提升练
一、选择题
1.(2021山东济南高二上期末,)已知动点P在直线l1:3x-4y+1=0上运动,动点Q在直线l2:6x+my+4=0上运动,且l1∥l2,则|PQ|的最小值为( )
A.35B.310C.15D.110
2.()若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c+2a的值为( )
A.-1B.1C.0D.-1或1
3.()若点(a,b)是直线y=3x-3上的点,则(a+1)2+b2的最小值是( )
A.0B.3C.32D.3
4.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.32B.23C.33D.42
5.(2021陕西榆林高一上期末,)已知实数a,b,c,d满足ab=c-1d-3=43,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )
A.8125B.95C.12125D.115
二、填空题
6.()若直线l:x-3y-2=0上的两点与点M(-2,2)构成等边三角形,则这两点的坐标分别为 、 .
7.()已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P,使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是 (填序号).
①y=x+1;②y=2;③4x-3y=0;④2x-y+1=0.
三、解答题
8.(2021河南焦作高一上期末,)分别求出符合下列条件的直线方程:
(1)经过点(3,1)但不过坐标原点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的3倍;
(2)经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且与点A(1,1),B(-5,7)等距离.
9.(2019山东平邑第一中学高一测试,)过点(2,3)的直线l被两平行直线l1:2x-5y+9=0与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线l的方程.
10.(2019甘肃武威十八中高一测试,)(1)求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线方程;
(2)求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是3105的直线方程.
11.(2021浙江绍兴高二上期末,)已知直线l1:x+2y-3=0和l2:2x+y-3=0相交于点A.
(1)求经过点A且与l1垂直的直线方程;
(2)设经过点P(0,-1)的直线l与l1,l2分别交于B,C两点,若|AB|=|AC|,求直线l的方程.
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
基础过关练
1.A 点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离d=|-1+0-1|12+12=2,故选A.
2.C 由点到直线的距离公式可得|1-a+1|12+(-1)2=322,解得a=-1或a=5,故选C.
3.C 设点P的坐标为(x,0),则|3x-4×0+6|32+(-4)2=6,解得x=8或x=-12.
∴点P的坐标为(8,0)或(-12,0),故选C.
4.C 由x+y-1=0,x-2y-4=0解得x=2,y=-1,所以P(2,-1).
由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)-y+1=0,所以直线kx-y+1+2k=0恒过点(-2,1),设为Q,
所以点P到直线kx-y+1+2k=0的最大距离为|PQ|=[2-(-2)]2+(-1-1)2=25,故选C.
5.D 当直线l的斜率不存在时,方程为x=-1,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,
∴原点到直线l的距离d=|k-2|k2+1=1,
解得k=34,
∴直线l的方程为34x-y-54=0,即3x-4y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y-5=0,故选D.
6.B 点P是直线5x-12y+8=0上一点,O为坐标原点,则|OP|的最小值就是点O到该直线的距离,即|0-0+8|52+(-12)2=813,故选B.
7.答案 a2+b2
解析 把直线方程xb+ya=0化成一般式为ax+by=0,
利用点到直线的距离公式,得d=|a2+b2|a2+b2=a2+b2.
8.答案 5
解析 由题意得|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22,
AB边所在直线的方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0,点C到直线x+y-4=0的距离为|-1+0-4|2=52,
因此,S△ABC=12×22 ×52=5.
9.答案 22
解析 由2x+mx+y-2my+4-3m=0,得2x+y+4+m(x-2y-3)=0,
令2x+y+4=0,x-2y-3=0,
解得x=-1,y=-2,
所以A(-1,-2),
所以点A到直线l':x+y=1的距离为|-1-2-1|2=22.
名师支招
定点问题:求直线或曲线经过的定点,常用分离参数法,一般可以根据需要选定参数λ∈R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式λ2f1(x,y)+λf2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y的二元一次代数式),由上述原理可得方程组f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,f3(x,y)=0,从而求得定点坐标.
10.解析 设点P的坐标为(a,b).
易知AB的中点坐标为(3,-2),kAB=-3-(-1)4-2=-1,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.
由题意可知,点P(a,b)在直线x-y-5=0上,故a-b-5=0.①
又点P到直线l的距离为2,
所以|4a+3b-2|42+32=2,②
由①②得a=1,b=-4或a=277,b=-87.
所以点P的坐标为(1,-4)或277,-87.
11.解析 设M(x,y)为∠BAC的平分线AD上的任意一点.易知AC边所在直线的方程为x-5y+12=0,
AB边所在直线的方程为5x-y-12=0.
由角平分线的性质得|x-5y+12|12+(-5)2=|5x-y-12|52+(-1)2,
所以x-5y+12=5x-y-12或x-5y+12=y-5x+12,
即y=-x+6或y=x.
在平面直角坐标系中作出△ABC及直线AD,如图所示,
由图可知kAC
故所求直线的方程为y=x.
12.C 解法一:易知两直线平行,将直线3x+4y-2=0化为6x+8y-4=0,则两直线间的距离d=|-4-(-5)|62+82=110.
解法二:易知两直线平行,在3x+4y-2=0上任取一点0,12,其到直线6x+8y-5=0的距离即为两平行线间的距离,则距离d=0+8×12-562+82=110.
13.C 因为a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,
所以由一元二次方程根与系数的关系得a+b=-1,所以这两条直线之间的距离d=|-a-b|12+12=22.故选C.
14.C ∵l1∥l2,∴a(a-1)=2,解得a=-1或a=2,
当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:x-2y-1=0,两直线间的距离为355,符合题意;
当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:x+y+12=0,两直线间的距离为324,不符合题意.
故选C.
15.A 由直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0平行可得-n=2,即n=-2,
因为直线x+2y+m=0(m>0)与x+2y-3=0间的距离为5,
所以|m+3|12+22=5,解得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=2+(-2)=0.
故选A.
16.答案 52
解析 直线l2:2x+y-1=0即直线4x+2y-2=0,
故直线l1,l2为平行直线,则线段AB长度的最小值为两平行直线间的距离,即|-2-(-7)|42+22=52.
17.答案 ④⑥
解析 两平行线间的距离为|6-0|1+1=62=3,
因为直线m被平行线截得的线段的长为23,
所以直线m和两平行线的夹角为30°.
易知两条平行线的倾斜角为135°,
故直线m的倾斜角为105°或165°.
故答案为④⑥.
能力提升练
一、选择题
1.C 因为l1∥l2,所以63=m-4≠41,解得m=-8,所以l2:3x-4y+2=0.
设l1,l2间的距离为d,则d=|2-1|32+(-4)2=15,
由平行线的性质知|PQ|的最小值为15,
故选C.
2.D 由题意,得63=a-2≠c-1,所以a=-4,c≠-2.所以直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.由两平行线间的距离公式,得c2+132+(-2)2=21313,即c2+1=2,
解得c=2或c=-6,所以c+2a的值为-1或1,故选D.
3.D (a+1)2+b2可看成点(a,b)与点(-1,0)之间的距离.易求点(-1,0)到直线y=3x-3的距离d=|3×(-1)-0-3|(3)2+(-1)2=3,
∴(a+1)2+b2 的最小值为d2=3.故选D.
4.A 由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即|-6|2=32.
5.A 因为实数a,b,c,d满足ab=c-1d-3=43,
所以3a-4b=0,3c-4d+9=0,
所以点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上,
所以(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是直线3x-4y=0上的点到直线3x-4y+9=0上点的距离的平方,故所求最小值为|9-0|32+(-4)22=8125.
故选A.
名师支招
本题考查求代数式的最小值,解题方法是利用平方和的几何意义(表示两点间距离的平方),确定坐标含参的两点分别在两条平行直线上,由平行线间距离公式可得结论,注意如果所求代数式是分式型的代数式,其可能的几何意义是两点间连线的斜率.
二、填空题
6.答案 3-1,33-1;-3-1,-33-1
解析 易知与l垂直且经过点M(-2,2)的直线l'的方程为3x+y+4=0,
由x-3y-2=0,3x+y+4=0解得x=-1,y=-1,
所以直线l与l'的交点为N(-1,-1).
设直线l上等边三角形的一个顶点为Ba,a-23,则|MN|=3|BN|,
即(-2+1)2+(2+1)2=3×(a+1)2+a+132,
解得a=3-1或a=-3-1.
所以所求两点的坐标分别为3-1,33-1,-3-1,-33-1.
7.答案 ②③
解析 ①点M到直线y=x+1的距离d=|5-0+1|12+(-1)2=32>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4成立,故①中直线不是点M的“相关直线”.
②点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4成立,故②中直线是点M的“相关直线”.
③点M到直线4x-3y=0的距离d=|4×5-3×0|42+(-3)2=4,即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4成立,故③中直线是点M的“相关直线”.
④点M到直线2x-y+1=0的距离d=|2×5-0+1|22+(-1)2=1155>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4成立,故④中直线不是点M的“相关直线”.
三、解答题
8.解析 (1)因为直线不过原点,所以可设所求直线方程为x3a+ya=1(a≠0),
将(3,1)代入所设方程,解得a=2,
所以直线方程为x+3y-6=0.
(2)由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2,则点P的坐标是(-2,2).
当直线的斜率存在时,设其方程是y-2=k(x+2),即kx-y+(2+2k)=0,
由点到直线的距离公式得|k-1+(2+2k)|k2+1=|-5k-7+(2+2k)|k2+1,解得k=-1.
此时直线方程为x+y=0.
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-2,符合题意.
所以直线的方程是x+y=0或x=-2.
9.解析 设线段AB的中点为M(4y0+1,y0),因为点M到l1与l2的距离相等,
所以|2×(4y0+1)-5y0+9|22+(-5)2
=|2×(4y0+1)-5y0-7|22+(-5)2,所以y0=-1,
则点M(-3,-1).
∴直线l的方程为y-3-1-3=x-2-3-2,即4x-5y+7=0.
10.解析 (1)由题意设所求的直线方程为3x+4y+m=0(m≠-12),
则两直线间的距离d=|m-(-12)|32+42=7,
化简,得|12+m|=35,即12+m=35或12+m=-35,解得m=23或m=-47,
则所求的直线方程为3x+4y+23=0或3x+4y-47=0.
(2)由题意设所求的直线方程为 3x-y+k=0,
再由点P(-1,0)到它的距离为3105,得3105=|-3+k|32+(-1)2,所以|k-3|=6,解得k=9或k=-3,
故所求直线的方程为 3x-y+9=0或3x-y-3=0.
11.解析 (1)联立x+2y-3=0,2x+y-3=0,
解得x=1,y=1,即A(1,1).
直线l1:x+2y-3=0的斜率k1=-12.
设所求直线的斜率为k,因为所求直线与l1垂直,所以kk1=-1,所以k=2,
故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)因为|AB|=|AC|,所以线段BC的中垂线l'经过点A,所以l'上的任意一点D到直线l1与l2的距离都相等,
设D(x,y),则|x+2y-3|12+22=|2x+y-3|12+22,化简得x+y-2=0或x-y=0,即为直线l'的方程,
因为直线l与l'垂直,直线l'的斜率为±1,所以直线l的斜率为±1,
又直线l经过点P(0,-1),故直线l的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.
1.A
2.C
3.C
4.C
5.D
6.B
12.C
13.C
14.C
15.A
1.C
2.D
3.D
4.A
5.A
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