人教版新课标A选修2-31.3二项式定理课后练习题

这是一份人教版新课标A选修2-31.3二项式定理课后练习题，共10页。试卷主要包含了10的展开式中第7项为等内容，欢迎下载使用。

基础过关练

题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+2)4=a+b2(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33B.29C.23D.19
2.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128B.129C.47D.0
3.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( )
A.x4B.x4+1
C.(x-2)4D.x4+4
4.已知n∈N*,则Cn0+3Cn1+32Cn2+33Cn3+…+3nCnn= .
5.设a∈Z,且0≤a<13,若512017+a能被13整除,则a= .
题组二 二项展开式的特定项、项的系数、二项式系数
6.(1-i)10(i为虚数单位)的展开式中第7项为( )
A.-210B.210C.-120iD.-210i
7.(2020广东汕尾高二下期末)2x-1x7的展开式中x5的系数为( )
A.448B.-448C.672D.-672
8.(2020山西长治第二中学高二下摸底考试)3x3+1x7的展开式中的常数项是( )
A.189B.63C.42D.21
9.(2019四川雅安中学高一上开学考试)x-1x7的展开式的第四项等于7,则x=( )
A.-5B.-15C.15D.5
10.(2020辽宁朝阳凌源高二下期末联考)12x-2y6的展开式中x4y2的系数是( )
A.15B.-154C.-15D.154
11.(2019广东广州高二期末)已知x+13x3n(x≠0,n∈N*,n≥2)的展开式中第三项与第四项的二项式系数之比为34.
(1)求n;
(2)请答出其展开式中第几项是有理项,并写出推演步骤.
题组三 赋值法求系数和
12.(2020福建莆田第二十五中学高二下期末)设(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值为( )
A.0B.-1
C.1D.(2-1)10
13.(2020云南弥勒第一中学高二下第四次月考)若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11,则a1+a2+…+a11= .
14.(2020江西赣州高二下期末)已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R.
①a2=180;
②|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=1;
③a1+2a2+3a3+…+10a10=20;
④a12+a222+a323+…+a10210=-1.
其中正确的序号是 .
15.(2020山西孝义高二下期末)已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n均为大于1的整数)的展开式中x的系数为11,且m,4,n成等差数列.求:
(1)x2的系数;
(2)f(x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和.
能力提升练

一、选择题
1.(2020福建莆田第二十五中学高二下期末,)(1-2x)7x的展开式中x2的系数为( )
A.-84B.84C.-280D.280
2.()(2-x3)(1+x)8的展开式中不含x4项的各项系数之和为( )
A.-26B.230C.254D.282
3.(2020河北唐山开滦第二中学高二下期末,)若(1+ax)(1+x)5的展开式中x2,x3的系数之和为-10,则实数a的值为( )
A.-3B.-2C.-1D.1
4.(2019四川绵阳中学高二期末,)已知x+ax8的展开式中x4的系数为112,其中a∈R,则此展开式中各项系数之和是( )
A.38B.1或38
C.28D.1或28
5.(2020山西高二下6月联考,)1-12x-4x6的展开式中常数项为( )
A.520B.521C.580D.581
6.(2020河南南阳高二下期末,)设复数x=2i1-i(i是虚数单位),则C20201x+C20202x2+C20203x3+…+C20202020x2020=( )
A.1+iB.-iC.iD.0
7.(2020黑龙江大庆实验中学高二下6月月考,)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究,设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a=b(mdm).若a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a=b(md8),则b的值可以是( )
A.2020B.2021C.2024D.2025
二、填空题
8.(2020湖南湘潭一中、双峰一中、邵东一中高二下联考,)(x-2)(x+1)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)
9.(2019福建宁德高二期末,)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4+a2+a0= .
10.(2020河南商丘高二下期末联考,)已知m,n∈(0,+∞),若二项式m3x3-nx8的展开式中常数项为2800,所有项的系数和为0,则n5m3= .
11.()设a≠0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
三、解答题
12.(2020山东济宁育才中学高二下4月月考,)(1)若ax2+bx6的展开式中x3的系数为20,求a2+b2的最小值;
(2)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,求n.
13.(2019甘肃嘉峪关酒钢三中高二下期中,)若等差数列{an}的首项为C5n11-2n-A11-3n2n-2,公差d为52x-253x2m的展开式中的常数项,其中m是7777-15除以19的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
基础过关练
B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42(2)2+C43(2)3+C44(2)4=17+122=a+b2,∴a=17,b=12,
∴a+b=29,故选B.
2.A A-B=37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×3-1=(3-1)7=27=128,故选A.
3.A S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C40(x-1)4+C41(x-1)3+C42(x-1)2+C43·(x-1)+C44=[(x-1)+1]4=x4,故选A.
4.答案 4n
解析 Cn0+3Cn1+32Cn2+33Cn3+…+3nCnn=(1+3)n=4n.
5.答案 1
解析 ∵512017+a=(52-1)2017+a=C20170·522017-C20171522016+…+C20172016521-1+a能被13整除,∴-1+a能被13整除,又0≤a<13,a∈Z,∴a=1.
6.A 由二项展开式的通项知T7=C106·(-i)6=-C106=-210.
7.B 展开式的通项为Tr+1=C7r(2x)7-r·-1xr=C7r(-1)r27-rx7-2r,
令7-2r=5,得r=1,所以展开式中x5的系数为C71·(-1)·26=-448,故选B.
8.D 由题意得3x3+1x7的展开式的通项为Tr+1=C7r(3x3)7-r·1xr=37-r·C7rx21-72r,令21-72r=0,解得r=6,∴常数项为3C76=21.故选D.
9.B ∵x-1x7的展开式的通项为Tr+1=C7rx7-r-1xr=(-1)rC7rx7-2r(r=0,1,2,…,7),
∴展开式的第四项是T4=-C73x=-35x,
∵展开式的第四项等于7,∴-35x=7,
∴x=-15,故选B.
10.D 由题意得,12x-2y6的展开式的通项为Tr+1=C6r·12x6-r·(-2y)r=(-1)rC6r·22r-6·x6-ryr.令r=2,则T3=(-1)2×C62×2-2×x4y2=154x4y2,所以x4y2的系数为154.故选D.
11.解析 (1)由题设知Cn2Cn3=n(n-1)2×1n(n-1)(n-2)3×2×1=3n-2=34,解得n=6.
(2)∵n=6,∴x+13x3n=x+13x36,其展开式的通项为Tr+1=C6r·(x)6-r·13x3r=C6r13rx3-7r2(r=0,1,2,…,6),
∵0≤r≤6且r∈N,∴当r=0,2,4,6时,Tr+1为有理项,∴有理项是展开式中的第1,3,5,7项.
12.C 在(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10·x10中,令x=1,得(2-1)10=a0+a1+a2+a3+…+a10,令x=-1,得(2+1)10=a0-a1+a2-a3+…+a10,
所以(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2
=(a0+a1+a2+a3+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)
=(2-1)10×(2+1)10=[(2-1)×(2+1)]10=1,故选C.
13.答案 -65
解析 在(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11中,令x=0,可得a0=1,
令x=1,可得a0+a1+a2+…+a11=-64.
∴a1+a2+…+a11=-65.
14.答案 ①③④
解析 (2x-1)10的展开式的通项为Tr+1=C10r·(2x)10-r·(-1)r=(-1)r·210-r·C10r·x10-r,令10-r=2,得r=8,则a2=22·C108=180,故①正确;
②在(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10中,
令x=-1,得a0-a1+a2-…+a10=310,由展开式的通项知,x的奇数次方的系数为负,偶数次方的系数为正,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=a0-a1+a2-…+a10=310,故②错误;
③由(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10两边求导,可得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,取x=1可知a1+2a2+…+10a10=20,故③正确;
④由②可知,a0=1,取x=12,可得a0+a12+a222+a323+…+a10210=0,则a12+a222+a323+…+a10210=-1,故④正确.
故答案为①③④.
15.解析 (1)由题意,得Cm1+2Cn1=11,∴m+2n=11,又m+n=8,∴m=5,n=3,
此时x2的系数为Cm2+4Cn2=C52+4C32=22.
(2)由(1),知f(x)=(1+x)5+(1+2x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
从而f(1)=25+33=a0+a1+a2+a3+a4+a5,
f(-1)=0-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5,
∴a1+a3+a5=12[f(1)-f(-1)]=30,
即奇数次幂项的系数之和为30.
能力提升练
一、选择题
1.C (1-2x)7x的展开式的通项为Tk+1=(-2)kC7kxk-1,由k-1=2,得k=3,所以x2的系数为(-2)3C73=-280.故选C.
2.D 令x=1,得(2-x3)(1+x)8的展开式中各项系数和为28.而(1+x)8的展开式的通项为Tr+1=C8rxr2,则(2-x3)·(1+x)8展开式中含x4项的系数为2·C88-C82=-26,故(2-x3)(1+x)8的展开式中不含x4项的各项系数之和为28-(-26)=282.故选D.
3.B 由(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5,得展开式中x2的系数为C52+aC51=10+5a,展开式中x3的系数为C53+aC52=10+10a,所以(10+5a)+(10+10a)=15a+20=-10,解得a=-2.故选B.
4.B 由题意得x+ax8的展开式的通项为Tk+1=C8k·x8-k·axk=C8k·ak·x8-2k(k=0,1,2,…,8),
令8-2k=4,得k=2,所以展开式中x4的系数为C82·a2=28a2=112,解得a=±2.
当a=2时,该式为x+2x8,令x=1,得展开式中各项系数之和为(1+2)8=38;
当a=-2时,该式为x-2x8,令x=1,得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.故选B.
5.D 1-12x-4x6=1-12x+4x6,所以1-12x-4x6的展开式的通项为Tr+1=C6r·(-1)r·12x+4xr.当r=0时,常数项为C60·(-1)0=1;当r=2时,常数项为C62·(-1)2·C21·12x·4x=60;当r=4时,常数项为C64·(-1)4·C42·12x2·(4x)2=360;当r=6时,常数项为C66·(-1)6·C63·12x3·(4x)3=160.
故1-12x-4x6的展开式中常数项为1+60+360+160=581.故选D.
6.D 由题意得C20201x+C20202x2+C20203x3+…+C20202020x2020=(1+x)2020-1,
又1+x=1-i+2i1-i=1+i1-i=(1+i)2(1+i)(1-i)=i,
所以C20201x+C20202x2+C20203x3+…+C20202020x2020=(1+x)2020-1=i2020-1=1-1=0,故选D.
7.答案 D
信息提取 ①设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a=b(mdm);②a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a=b(md8).
数学建模 本题以数学文化为背景,通过《孙子算经》中对同余除法的研究构建关于二项式定理的模型,求解时首先要对“同余”的概念理解清楚,再结合二项式定理求解.
解析 由题意可得a=(1+2)20=320=910=(8+1)10,由二项式定理可得
a=C100×810+C101×89+…+C109×81+1,即a除以8的余数为1.因为a=b(md8),
所以b除以8的余数也为1,题中各选项中只有2025除以8的余数为1,则b的值可以是2025.故选D.
二、填空题
8.答案 -10
解析 (x-2)(x+1)5=x(x+1)5-2(x+1)5,(x+1)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5-r,令5-r=2,则r=3,所以(x+1)5的展开式中含x2的项为C53x2,令5-r=3,则r=2,所以(x+1)5的展开式中含x3的项为C52x3,所以(x-2)(x+1)5的展开式中,x3的系数是C53-2C52=-10.
9.答案 41
解析 令x=0,可得a0=1.
令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,
则a1+a2+a3+a4=0.①
令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4=81,
则-a1+a2-a3+a4=80.②
将①和②相加可得,2(a2+a4)=80,所以a2+a4=40,
所以a4+a2+a0=41.
10.答案 10
解析 由题意,得Tr+1=C8r(m3x3)8-r·-nxr=C8rm24-3r(-n)rx24-4r,令24-4r=0,得r=6,所以C86m6n6=2800且m,n∈(0,+∞),所以m3n3=10.令x=1,得展开式中所有项的系数和为(m3-n)8=0,所以m3=n,所以n4=10,所以n5m3=n5n=n4=10.
11.答案 3
解析 由题图知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4),即a0=1,a1=3,a2=4.
因为1+xan的展开式的通项为Tk+1=Cnkxak(k=0,1,2,…,n),
所以Cn1a=3,Cn2a2=4,解得a=3(a=0舍去).
三、解答题
12.解析 (1)ax2+bx6的展开式的通项为Tr+1=C6r·a6-r·br·x12-3r,
令12-3r=3,得r=3,故ax2+bx6的展开式中x3的系数为C63·a3·b3=20,
∴a3·b3=1,即ab=1,∴a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b时等号成立.∴a2+b2的最小值为2.
(2)令x=0,得a0=1+1+1+…+1=n,
令x=1,得2+22+…+2n=a0+a1+a2+…+an,
即2-2n+11-2=a0+a1+a2+…+an,
即2n+1-2=a0+a1+a2+…+an.
∵an=1,∴a1+a2+…+an-1=2n+1-n-3,
∴2n+1-n-3=29-n,解得n=4.
13.解析 由已知,得11-2n≤5n,2n-2≤11-3n,
∵n∈N*,∴n=2,
∴C5n11-2n-A11-3n2n-2=C107-A52=100,故等差数列的首项a1=100.
∵7777-15=(76+1)77-15=7677+C771·7676+…+C7776·76+1-15,∴7777-15除以19的余数是5,即m=5.
52x-253x25的展开式的通项为Tr+1=C5r·52x5-r-253x2r=(-1)rC5r·525-2rx5r3-5(r=0,1,2,3,4,5),若它为常数项,则5r3-5=0,∴r=3,
∴T4=-4=d.从而等差数列的通项公式是an=104-4n,设其前k(k∈N*)项之和最大,则104-4k≥0,104-4(k+1)≤0,解得k=25或k=26,故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大,为100+104-4×252×25=1300.
1.B
2.A
3.A
6.A
7.B
8.D
9.B
10.D
12.C
1.C
2.D
3.B
4.B
5.D
6.D
7.D