高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.1 直线的斜率与倾斜角导学案，共6页。


意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔．每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分．那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？
[问题] 如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？



知识点一 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则eq \f(y2－y1,x2－x1)是一个定值，我们将这个定值eq \f(y2－y1,x2－x1)称为直线l的斜率，即k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．
eq \a\vs4\al()
对斜率定义的理解
(1)并非所有直线都有斜率，当直线PQ垂直于x轴时，即x1＝x2时，直线l的斜率不存在；
(2)对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可以看做是k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(纵坐标的增量,横坐标的增量)＝eq \f(Δy,Δx)；
(3)直线l的斜率是一个定值，与P，Q的位置无关．
1．已知点A(1，0)，B(－1，1)，则直线AB的斜率为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－2 D．2
解析：选A 直线AB的斜率k＝eq \f(1－0,－1－1)＝－eq \f(1,2).
2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的斜率为1，则y＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2)
C．－1 D．1
解析：选C 由已知，得eq \f(y＋3,4－2)＝1.故y＝－1.
知识点二 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点eq \a\vs4\al(逆)时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角，称为这条直线的倾斜角．
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
3．倾斜角与斜率的关系
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足：k＝tan_α(α≠90°)．
1．每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？
提示：对．
2．已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？
提示：确定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( )
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.( )
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．－45°
解析：选B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3)
C．1 D.eq \f(\r(2),2)
解析：选A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
[例1] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．
[解] (1)存在．直线AB的斜率kAB＝eq \f(5－3,4－2)＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝eq \f(－1－3,2－（－2）)＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
eq \a\vs4\al()
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置；
(3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
[跟踪训练]
(1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率．
解：(1)由题意知两点的横坐标不相等，
则直线存在斜率，
根据直线的斜率公式得k＝eq \f(7－3,2－1)＝4.
(2)直线l的斜率k＝1，
所以直线l的倾斜角为45°，
所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，
即l′的斜率k′＝tan 135°＝－1.
[例2] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．
[答案] D
eq \a\vs4\al()
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[跟踪训练]
1.如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选D 由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
[例3] 已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(1,5)))且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围．
[解] 当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置，所以直线l的斜率k≥kPA＝eq \f(3,7)或k≤kPB＝－eq \f(11,6)，即直线l的斜率k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(11,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)，＋∞)).
eq \a\vs4\al()
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
[跟踪训练]
1．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C ∵直线l的倾斜角为锐角，
∴斜率k＝eq \f(m2－1,1－2)>0，∴－12．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq \f(2－3,－4－3)＝eq \f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq \f(－2－3,0－3)＝eq \f(5,3).故直线AB的斜率为eq \f(1,7)，直线AC的斜率为eq \f(5,3).
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，\f(5,3))).
1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4，2)与(－4，1) B．(0，3)与(3，0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2，2)与(－2，5)
解析：选D D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
2．若直线l经过点M(2，3)，N(4，3)，则直线l的倾斜角为( )
A．0° B．30°
C．60° D．90°
解析：选A 因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°.
3.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
答案：135°
4．已知直线l经过点A(－1，2)，且斜率k＝－2，判断B(1，－2)，C(0，4)，D(0，0)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上．
解：因为kAB＝eq \f(－2－2,1－（－1）)＝－2，kAC＝eq \f(4－2,0－（－1）)＝2≠－2，kAD＝eq \f(0－2,0－（－1）)＝－2，且直线l经过点A(－1，2)，
所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上．
新课程标准解读
核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素
数学抽象
2.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式
直观想象
直线的斜率
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
－eq \r(3)
－1
－eq \f(\r(3),3)
直线的倾斜角
直线的倾斜角、斜率的应用