2022届高考数学二轮专题测练-点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-点面距离（线面距离、点线距离、面面距离），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 甲："用一个平面去截一个长方体，截面一定是长方形"；乙："有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥"．这两种说法
A. 甲正确乙不正确B. 甲不正确乙正确
C. 甲正确乙正确D. 甲不正确乙不正确

2. 已知 平面α∥平面β，直线 l∥α，平面 α，β 间的距离为 4，则在 β 上到直线 l 的距离为 92 的点的轨迹是
A. 一个圆B. 两条平行直线C. 四个点D. 两个点

3. 已知直二面角 α−l−β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于
A. 23B. 33C. 63D. 1

4. 球与棱长为 32 的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为
A. 6πB. 18πC. 9πD. 10π

5. 已知向量 n=2,0,1 为平面 α 的法向量，点 A−1,2,1 在 α 内，则点 P1,2,2 到平面 α 的距离为
A. 55B. 5C. 25D. 510

6. 已知 a⊂α，A∉α，点 A 到平面 α 的距离为 m，点 A 到直线 a 的距离为 n，则
A. m≥nB. m>nC. m≤nD. m
7. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，则点 C1 到平面 B1EF 的距离等于
A. 23B. 223C. 233D. 43

8. 已知球 O 的半径为 1 ， A,B,C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 π2 ，则球心 O 到平面 ABC 的距离为
A. 13B. 33C. 23D. 63

9. 如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，∠ACB=90∘，∠ACC1=60∘，∠BCC1=45∘，侧棱 CC1 的长为 1，则该三棱柱的高等于
A. 12B. 22C. 32D. 33

10. 已知三棱锥 S−ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是
A. 33B. 1C. 3D. 332

11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，则点 C1 到平面 B1EF 的距离是
A. 233B. 223C. 23D. 43

12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，BB1 的中点，G 为棱 A1B1 上的一点，且 A1G=λ0≤λ≤1．则点 G 到平面 D1EF 的距离为
A. 3B. 22C. 2λ3D. 55

13. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=AD=2，AA1=1，则点 B 到平面 D1AC 的距离等于
A. 33B. 63C. 1D. 2

14. 如图，底面 ABCD 为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点 C 到平面 PAB 的距离为 d1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2，BC 到平面 PAD 的距离为 d3，则有
A. d3
15. 在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，若 AB=2，AA1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为
A. 34B. 32C. 334D. 3

16. 如图，已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 4，点 E，F 分别是线段 AB，C1D1 上的动点，点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1 的距离，则当点 P 运动时，PE 的最小值是
A. 5B. 4C. 42D. 25

17. 长、宽、高分别为 2，3，5 的长方体的外接球的表面积为
A. 4πB. 12πC. 24πD. 48π

18. 在 △ABC 中，∠C=90∘,∠B=30∘,AC=1，M 为 AB 中点，将 △ACM 沿 CM 折起，使点 A 落在点 Aʹ，AʹB 间的距离为 2，则 M 到面 AʹBC 的距离为 ．
A. 12B. 32C. 1D. 32

19. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面 α，β，γ 两两互相垂直，点 A∈α，点 A 到 β，γ 的距离都是 3，点 P 是 α 上的动点，满足 P 到 β 的距离是点 P 到点 A 距离的 2 倍，则点 P 的轨迹上的点到 γ 的距离的最小值为
A. 3B. 3−23C. 6−3D. 3−3

20. 在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，顶点 B1 到对角线 BD1 和到平面 A1BCD1 的距离分别为 h 和 d，则下列命题中正确的是
A. 若侧棱的长小于底面的边长，则 hd 的取值范围为 0,1
B. 若侧棱的长小于底面的边长，则 hd 的取值范围为 22,233
C. 若侧棱的长大于底面的边长，则 hd 的取值范围为 233,2
D. 若侧棱的长大于底面的边长，则 hd 的取值范围为 233,+∞

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，高为 2，则顶点 A1 到截面 AB1D1 的距离为 ．

22. 正四棱锥 P−ABCD 的底面边长为 1，PA=2，则顶点 P 到底面 ABCD 的距离为 ．

23. 与不共面四点等距离的平面有 个．

24. A、B 两点到平面 α 的距离分别是 3 cm 、 5 cm，M 点是 AB 的中点，则 M 点到平面的距离是 ．

25. 在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵 ABC−A1B1C1 中，AB=BC，A1A>AB，堑堵的顶点 C1 到直线 A1C 的距离为 m，C1 到平面 A1BC 的距离为 n，则 mn 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 设正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长是 2，求棱 AA1 和平面 BB1D1D 的距离．

27. 已知长方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 的棱 AAʹ=5，AB=12，AD=13．
（1）求点 B 和点 Dʹ 的距离；
（2）求点 C 和直线 AʹBʹ 的距离；
（3）求直线 CD 和平面 AAʹBʹB 的距离；
（4）求直线 DDʹ 和 BʹCʹ 的距离．

28. 如图，已知 P 为 △ABC 外一点，PA，PB，PC 两两垂直，PA=PB=PC=a，求点 P 到平面 ABC 的距离．

29. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=22，AB∥DC，∠BCD=90∘
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点 A 到平面 PBC 的距离．

30. 如图所示，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，在三棱锥 A1−ABD 中，求 A 到平面 A1BD 的距离 d．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C【解析】如图，过 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，
因为 α−l−β 是直二面角，
AC⊥l，∴ AC⊥ 平面 β，
∴ AC⊥DE，BC⊥DE，AC∩BC=C，
∴ DE⊥ 平面 ABC，故 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离．
在 Rt△BCD 中，由等面积法得 DE=BD×CDBC，
又 BC=AB2−AC2=3，CD=BC2−BD2=2，
∴ DE=1×23=63．
4. C
5. B
【解析】因为 PA=−2,0,−1，n=2,0,1，
所以点 P 到平面 α 的距离 d=∣PA⋅n∣∣n∣=∣−4−1∣5=5．
6. C
7. D【解析】以 B1 为坐标原点，分别以 B1C1，B1A1，B1B 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B10,0,0，C12,0,0，E0,1,2，F1,0,2．
设平面 B1EF 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅B1E=0,n⋅B1F=0, 即 y+2z=0,x+2z=0.
令 z=1，得 n=−2,−2,1．
又因为 B1C1=2,0,0，
所以点 C1 到平面 B1EF 的距离 h=n⋅B1C1n=43．
8. B
9. A【解析】过点 C1 作 C1O⊥面ABC 于点 O，在过点 O 在面 ABC 内作 OE⊥BC 于点 E，OF⊥AC 于点 F，
由题可知，在 △C1CF 中，∠C1FC=90∘，∠C1CF=60∘，C1C=1，则 CF=12；
在 △C1CE 中，∠C1EC=90∘，∠C1CE=45∘，则 CE=22；
由题可知，四边形 CEOF 为矩形，则 CO=32，因此，在 △C1OC 中，C1O=12．
10. A
【解析】由题意 S 在平面 ABC 内的射影为 AB 的中点 H，
所以 SH⊥平面ABC，
因为 SH=3，CH=1，
在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO，则 O 为 S−ABC 的外接球球心．
因为 SC=2，
所以 SM=1，∠OSM=30∘，
所以 SO=233，OH=33，即为 O 到平面 ABC 的距离．
11. D【解析】提示：可利用体积桥进行求解，VC1−B1EF=VE−B1FC1．
12. D【解析】因为 A1B1∥EF，G 在 A1B1 上，所以 G 到平面 D1EF 的距离即是 A1 到面 D1EF 的距离，即是 A1 到 D1E 的距离，D1E=52，由三角形面积可得所求距离为 1×1252=55．
13. B
14. D
15. B
【解析】利用等体积代换法：由 VA1−ABC=VA−A1BC，可求点 A 到平面 A1BC 的距离．
16. D【解析】因为 F 为 C1D1 上的动点，P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，且点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1 的距离，所以点 P 在 A1D1，B1C1 中点的连线上．为使当点 P 运动时，PE 最小，需 PE 平行于平面 AA1D1D，此时 PE=42+422=25．
17. B【解析】长方体的体对角线即为外接球的直径 2R，
因为长方体的长、宽、高分别为 2，3，5，
所以 2R2=22+32+52=12，R2=3，
所以外接球的表面积为 4πR2=12π．
18. A【解析】
由已知得 AB=2，AM=MB=MC=1，BC=3，
由 △AMC 为等边三角形，取 CM 中点 D，则 AD⊥CM，AD 交 BC 于 E，
则 AD=32，DE=36，CE=33．
折起后点 A 记为 Aʹ，由 BC2=AʹC2+AB2，知 ∠BAʹC=90∘，
又 cs∠ECAʹ=33，∴ AʹE2=CʹA2+CE2−2CAʹ⋅CEcs∠ECAʹ=23，
于是 AʹC2=AʹE2+CE2．∴ ∠AʹEC=90∘．
∵ AʹD2=AʹE2+ED2，∴ AʹE⊥ 平面 BCM，即 AʹE 是三棱锥 Aʹ−BCM 的高，AʹE=63．
设点 M 到面 AʹBC 的距离为 h，∵ S△BCM=34，∴由 VAʹ−BCM=VM−AʹBC，
可得 13×34×63=13×12×2×1×h，∴ h=12．
19. D【解析】建立空间直角坐标系如下图所示：
依题意得 A3,3,0，不妨设 Px,y,0，则点 P 到面 γ 的距离为 y，点 P 到 β 的距离是 x，即需求 y 的最小值．
由题意得 x=2x−32+y−32+0−02，化简得 4y−32=−3x2+24x−36，即 4y−32=−3x−42+12≤12．
易求出 y−32≤3，所以 y 的最小值为 3−3．
20. C
【解析】提示：设正四棱柱的底面边长为 a，侧棱长为 b，如图，
在 Rt△B1BD1 与 Rt△A1BB1 中分别作 B1M⊥BD1 与 B1N⊥A1B，垂足分别为 M 、 N，则 h=B1M，d=B1N．
于是有 d=aba2+b2，h=2ab2a2+b2．
从而
hd=2a2+b22a2+b2=2⋅ab2+12ab2+1.
令 t=ab，则 hd=2⋅12+122t2+1．
故 t>1 时，hd∈1,233；当 0第二部分
21. 263
【解析】由题意可得：AD1=AB1=42+22=25，B1D1=42+42=42，
据此可得 S△AB1D1=46，
设顶点 A1 到截面 AB1D1 的距离为 h，
对三棱锥 A1−AB1D1 的体积进行转换顶点求解：
VA1−AB1D1=VA−A1B1D1，
即：13×46×h=13×12×4×4×2，解得：h=263．
22. 142
【解析】设 PO⊥平面ABCD 于 O，则 P 到底面 ABCD 的距离为 PO．
因为正四棱锥 P−ABCD 的底面边长为 1，所以 AO=22，
因为 PA=2，所以 PO=22−222=142．
23. 7
24. 4 cm 或 1 cm
【解析】如图所示，当 A、B 在平面 α 的同侧时，AB 中点 C 到平面 α 的距离为
3+52=4;
当 A、B 在平面 α 的异侧时，AB 中点 C 到平面 α 的距离为
5−32=1.
25. 233,2
【解析】设 AB=BC=1，AA1=aa>1，
则 AC=2，A1C=a2+2，A1B=a2+1，且 B 到平面 ACC1A1 的距离为 22．
所以 m=A1C1⋅CC1A1C=2aa2+2，S△A1BC=12×A1B×BC=a2+12，
所以 VC1−A1BC=13S△A1BC⋅n=a2+16n，
又
VC1−A1BC=VB−A1C1C=13S△A1C1C⋅22=13×12×2×a×22=a6.
所以 n=aa2+1，
所以 mn=2a2+2a2+2=2−2a2+2，
因为 a>1，
所以 43<2−2a2+2<2，
所以 233故答案为：233,2．
第三部分
26. 2．
27. （1） 132．
（2） 194．
（3） 13．
（4） 12．
28. 解法 1：
过点 P 作 PO⊥平面ABC 于点 O，连接 AO，BO，CO，则 PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC．
∵PA=PB=PC=a，
∴△PAO≌△PBO≌△PCO．
∴OA=OB=OC，
∴O 为 △ABC 的外心．
∵PA，PB，PC 两两垂直，
∴AB=BC=CA=2a，即 △ABC 为正三角形．
∴AO=33AB=63a．
∴PO=PA2−AO2=33a．
∴ 点 P 到平面 ABC 的距离为 33a．
解法 2：
过点 P 作 PO⊥平面ABC 于点 O．
∵PA，PB，PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=a，
∴AB=AC=BC=2a，且 AP⊥平面PBC．
∴VA−PBC=VP−ABC．
∴13S△PBC⋅AP=13S△ABC⋅PO．
∴13⋅12⋅a⋅a⋅a=13⋅12⋅2a⋅2a⋅32⋅PO，
∴PO=33a．
29. （1） 因为 PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以 PD⊥BC，
因为 ∠BCD=90∘，
所以 BC⊥CD，
因为 PD∩CD=D，
所以 BC⊥平面PDC，
因为 PC⊂平面PCD，
所以 BC⊥PC．
（2） 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，
因为 PD⊥平面ABCD，PD 为三棱锥 P−ABC 的高，
PD=DC=BC=2，PC=PD2+CD2=2，
由 VA−PBC=VP−ABC，得 13S△PBC⋅h=13S△ABC⋅PD，
即 13×12×2×2×h=13×12×22×2×2，解得 h=2，
所以点 A 到平面 PBC 的距离为 2．
30. 在三棱锥 A1−ABD 中，AA1 是三棱锥 A1−ABD 的高，AB=AD=AA1=1，A1B=BD=A1D=2，
因为 13×12×12×1=13×12×2×32×2×d，
所以 d=33．