2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--点面距离基础练习卷（解析版）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何--点面距离基础练习卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何点面距离基础（共22题） 一、选择题（共8题））已知四棱锥 中，，，，则点 到底面 的距离为  A．  B．  C．  D．  如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 的正方体 ， 的中点 与 的中点 的距离为  A．  B．  C．  D．  在正方体 ，点 是侧面 内的一动点，若点 到直线 与到直线 的距离相等，则动点 的轨迹所在的曲线是  A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为  A．  B．  C．  D．  已知 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 的球面上．若球 的表面积为 ，则 到平面 的距离为  A．  B．  C．  D．  已知二面角 为 ，动点 ， 分别在平面 ， 内，点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，则 ， 两点间距离的最小值为  A．  B．  C．  D．  在长方体 中，，，则点 到平面 的距离等于  A．  B．  C．  D．  如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 是等边三角形，， 为底面 内的一个动点，且满足 ．则点 到直线 的最短距离为  A．  B．  C．  D．  二、多选题（共4题）已知四边形 是等腰梯形（如图 ），，，，．将 沿 折起，使得 （如图 ），连接 ，，设 是 的中点．下列结论中正确的是  A．  B．点 到平面 的距离为  C．  D．四面体 的外接球表面积为  如图，点 是正方体 的侧面 内的动点，则  A．点 至少存在两个位置满足  B．点 存在无数个位置满足到直线 和直线 的距离相等 C．三棱锥 的体积存在最大值 D．过点 的平面截正方体 所得截面多边形最大边数为  已知正方体 的棱长为 ，，， 分别为棱 ，， 的中点，则  A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行 C．平面 截正方体所得的截面面积为  D．点 和点 到平面 的距离相等 正方体 的棱长为 ，，， 分别为 ，， 的中点，则  A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行 C．平面 截正方体所得的截面面积为  D．点 与点 到平面 的距离相等 三、填空题（共4题）已知两条平行线 ， 分别在二面角 的两个面内，， 在 上的射影分别为 ，，若 ，，则 与 的距离是    ． 已知直三棱柱 的侧棱 ，在底面 中，，，则点 到平面 的距离为    ． ）已知长方体 的棱 ，，则 与 的距离是    ， 与 的距离是    ． 一个山坡面与水平面成 的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为 ，甲沿山坡自点 朝垂直于 的方向走 ，同时乙沿水平方向自点 朝垂直于 的方向走 ，点 ， 都是 上的点，若 ，这时甲、乙两人之间的距离为    ． 四、解答题（共6题）如图，底面 为菱形，其边长为 ，．，， 分别是 和 的中点．(1)  求证：；(2)  求点 到平面 的距离． 半径为 的球面上有三点 ，，，其中 与 ， 与 的球面距离都是 ， 与 的球面距离是 ，求球心 到平面 的距离． 设正方体 的棱长是 ，求棱 和平面 的距离． 如图，在棱长为 的正方体中， 为 中点， 为正方体的中心．(1)  求异面直线 和 间的距离；(2)  求异面直线 与 所成角的大小． 正方体 的棱长为 ，点 ， 分别是 ， 的中点．(1)  点 到平面 的距离；(2)  直线 到平面 的距离． 已知四棱锥 的底面 为菱形，且 ，，， 与 相交于点 ．(1)  求证：；(2)  求点 到平面 距离．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】D【解析】设平面 的法向量为 ，因为 ，，所以 ，，令 ，可得 ，所以点 到底面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 2.  【答案】B【解析】由题意得 ，，，，则 ，．因为 【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 3.  【答案】D【解析】画出图象如图所示，由于 到直线 的距离，也即是 的长度．由此将问题转化为 到直线 的距离和到点 的距离相等，这恰好是抛物线的定义．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 4.  【答案】D【解析】易知 ，则点 到平面 的距离 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 5.  【答案】C【解析】设球 的半径为 ，则 ，解得：．设 外接圆半径为 ，边长为 ，因为 是面积为 的等边三角形，所以 ，解得：．所以 ．所以球心 到平面 的距离 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 6.  【答案】C【解析】作 ，，垂足分别为 ，．分别在平面 ， 内作 ，，垂足分别为 ，，如图所示．连接 ，，则 ，，所以 ， 均为二面角 的平面角．所以 ．在 中，．同理 ．又因为 ，所以 所以当 取最小值 时， 最小，此时 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 7.  【答案】B【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 8.  【答案】D【解析】正方形 所在平面图如图所示，取 中点 ， 中点 ，连接 和 ，因为 为正三角形，所以 ，因为 且 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为四边形 为正方形，所以 ，所以如图所示建立空间直角坐标系，因为 ，，所以 ，，，，设 ，则 ，，所以 ，即 ，所以点 满足平面 上的圆的方程，圆心为 ，半径为 ，则圆心到 的距离为 ，因为 ，所以点 到 的最短距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 二、多选题（共4题）9.  【答案】B；D【解析】对选项A，在图 中，过 作 ，如图所示：因为 ，所以四边形 是矩形，因为 ，所以 ．因为四边形 是等腰梯形，，所以 ．因为 ，所以 ．连接 ，则 ，因为 ，所以 ，得 ，则 ．在图 中，因为 ，，，所以 ．因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．若 ，又 ，，所以 ，过一点 与 垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾．故A错误；由 ，，得 ，又 ，所以 ，而 ，因为 到平面 的距离等于 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，即 ，故B正确；假设 ，因为 ，，，所以 ，又因为 ，所以 ，与已知条件矛后，故C错误：对选项D，连接 ，如图所示：因为 ， 为直角三角形，且 为 的中点，所以 ，即 为四面体 的外接球的球心．所以四面体 的外接球的半径为 ，则四面体 的外接球表面积为 ，故D正确．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 10.  【答案】A；B；C；D【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 11.  【答案】B；C【解析】对于选项A，（解法一）以 点为坐标原点，，， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，，，．从而 ，，从而 ，所以直线 与直线 不垂直，故选项A错误．（解法二）取 的中点 ，连接 ，则 为直线 在平面 内的射影， 与 不垂直，从而 与 也不垂直，故选项A错误．对于选项B，由上述解法一中所建坐标系可得， ，，，设 ，则 解得 所以 ，所以 ，， 共面，又 ，所以直线 与平面 平行，故选项B正确．对于选项C，连接 ，，延长 ，交 的延长线于 ．易知四边形 为平面 截正方体所得的截面四边形（如图所示），易知 ，，所以 ，而 ，故选项C正确．对于选项D，（解法一）连接 ，，，如图．由于 ，而 ，所以 ，又 ， ，所以 ，即 ，所以点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的二倍，故选项D错误．（解法二）连接 ，假设点 与点 到平面 的距离相等，则平面 将 平分，则平面 必过 的中点，设 与 的交点为 ，易知 不是 的中点，所以假设不成立，故选项D错误．【知识点】空间中直线与直线的垂直、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 12.  【答案】B；C【解析】假设 ，又因为 ，且 ，，所以 ，所以 ，所以 ，显然不成立，故A错误；如图所示，取 的中点 ，连接 ，，由已知条件可知，，，且 ，，所以 ，又因为 ，所以 ，故B正确；如图所示，连接 ，，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，，所以 ，，， 四点共面，所以截面即为梯形 ，延长 ，， 交于点 ，易知 ，，所以 ，所以 ，故C正确；记点 与点 到平面 的距离分别为 ，，因为 ，，所以 ，故D错误．故选BC．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 三、填空题（共4题）13.  【答案】 【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、二面角 14.  【答案】  【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 15.  【答案】 ； 【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 16.  【答案】 【知识点】空间向量的应用、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  取 中点 ，连接 ，，则 ，，因为 为 的中点，底面 为菱形，所以 ，．所以四边形 为平行四边形，得 ．又 ，，故 ．(2)  由 ，，得 ，在底面菱形 中，过 作 ，则 ，由 ，，得 ，又 ，所以 到平面 与 到平面 的距离相等为 ．设 ，则 ，．设点 到平面 的距离为 ，则 ．由 ，得 ，解得 ．即点 到平面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 18.  【答案】设球心 到截面 的距离为 ，因为 ，，，所以 ，．因为 ，所以 ，所以 ． 【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、球面距离 19.  【答案】 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 20.  【答案】(1)  连接 ，，交于 点，因为 为正方体的中心， 为 的中点，所以 ，．因为 ，所以 ．异面直线 和 的距离为 ， ． (2)  连接 ，，因为 ，所以异面直线 与 所成角等于 与 所成角．所以 为所求角．又因为 为等边三角形，所以 ． 【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、异面直线所成的角 21.  【答案】(1)  建立如图所示空间直角坐标系，则 ，，，，，，．设 是平面 的一个法向量，则 ，．又 ，，所以 所以 令 ，则平面 的一个法向量 ．所以 ．在平面 上取一点 ，可得向量 ，于是点 到平面 的距离 ．(2)  因为 ，平面 的一个法向量 ，所以 ，显然 不在平面 内，所以 ，在直线上取一点 ，在平面内取一点 ，可得向量 ．于是点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、利用向量的坐标运算解决立体几何问题 22.  【答案】(1)  因为 为 中点，，所以 ．同理 ，又 交 于 ，所以 ．(2)  过 作 于 ，连 ．因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，作 于 ，所以 ，则 为 到平面 的距离，在 中， ，，，所以 ，所以 到平面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）