2021年北京怀柔区庙城中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京怀柔区庙城中学高二上学期期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 直线 y=3x+1 的倾斜角的大小是
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6

2. 已知点 B 是点 A3,4,−2 在 xOy 平面上的射影，则 OB 等于
A. 3,4,0B. 25C. 5D. 13

3. 已知过点 A−2,m 和点 Bm,4 的直线为 l1，直线 2x+y−1=0 为 l2，直线 x+ny+1=0 为 l3．若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m+n 的值为
A. −10B. −2C. 0D. 8

4. 从 4 个人中任选 3 个人分别去完成 3 项不同的工作，则不同的安排方法有
A. 12 种B. 24 种C. 36 种D. 64 种

5. 已知 a=2,0,3，b=4,−2,1，c=−2,x,2，若 a−b⊥c，则 x=
A. 4B. −4C. 2D. −2

6. 若 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的不同取法的种数是
A. C61C942B. C61C992C. C1003−C943D. C1003−C942

7. 下列说法中正确的是
A. 若事件 A 与事件 B 是互斥事件，则 PA+PB=1
B. 若事件 A 与事件 B 满足条件：PA+B=PA+PB=1，则事件 A 与事件 B 是对立事件
C. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次击中靶心”与事件“至多有一次击中靶心”是对立事件
D. 把红、橙、黄、绿 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 人，每人分得 1 张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件

8. 甲、乙两射击运动员进行比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在 7,8,9,10 环，他们的成绩频率分布条形图如下：
则乙击中 8 环及甲击中 10 环的概率与甲击中环数的平均值都正确的一组数据依次是
A. 0.35,0.25,8.1B. 0.35,0.25,8.8C. 0.25,0.35,8.1D. 0.25,0.35,8.8

9. 已知抛物线 x2=4y，直线 y=k（k 为常数）与抛物线交于 A,B 两个不同点，若在抛物线上存在一点 P（不与 A,B 重合），满足 PA⋅PB=0，则实数 k 的取值范围为
A. k≥2B. k≥4C. 0
10. 椭圆 x225+y29=1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，则 ∣ON∣ 等于
A. 2B. 4C. 8D. 32

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 甲袋中有 8 个白球，4 个红球；乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中任取一个球，则取得的球是同色的概率是 ．

12. 若 2+x5=a0+a11+x+a21+x2+⋯+a51+x5，则 a4 的值为 ．

13. 有 3 女 2 男共 5 名志愿者要全部分到 3 个社区去参加志愿服务，每个社区 1 到 2 人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为 ．

14. 已知过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 右焦点且倾斜角为 45∘ 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ．

15. 等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 α 内，若 AC 与 α 所成的角为 30∘，则斜边上的中线 CM 与 α 所成的角为 ．

16. 动点 P 到点 F2,0 的距离与它到定直线的距离 x+2=0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
17. 如图，已知圆 C:x2+y2=9，点 A−5,0，直线 l:x−2y=0．
（1）求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程；
（2）在直线 OA 上（O 为坐标原点），存在定点 B（不同于点 A），满足对于圆 C 上任一点 P，都有 PBPA 为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标．

18. 在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥底面ABCD，且 PA=2，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AB⊥AD，BC∥AD，AD=AB=2，BC=4，M 为 PC 中点，E 在线段 BC 上，且 BE=1．
（1）求证：DM∥平面PAB．
（2）求平面 PDE 与平面 BDE 夹角的余弦值．
（3）求点 E 到平面 PDC 的距离．

19. 十八大以来，党中央提出要在 2020 年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：
表 1：新农合门诊报销比例
医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院门诊报销比例60%40%30%20%
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表 2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例70%10%15%5%
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为 50 元、 100 元、 200 元、 500 元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为 2000 人次．
（1）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60 岁以上的人次占了 80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选 2 人次，恰好 2 人次都是 60 岁以上人次的概率是多少?
（2）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X 的分布列与期望．

20. 如图，四棱锥 P­−ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F，H 分别是线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点．求证：
（1）AP∥平面BEF；
（2）GH∥平面PAD．

21. 已知椭圆 w:x24m+y2m=1 的左顶点为 A−2,0，动直线 l 与椭圆 w 交于不同的两点 P，Q（不与点 A 重合），点 A 在以 PQ 为直径的圆上，点 P 关于原点 O 的对称点为 M．
（1）求椭圆 w 的方程及离心率；
（2）求证：直线 PQ 过定点；
（3）（ⅰ）求 △PQM 面积的最大值；
（ⅱ）若 △MPQ 为直角三角形，求直线 l 的方程．
答案
第一部分
1. B【解析】y=3x+1 的斜率 k=3，
所以倾斜角 α 满足 tanα=3，
因为 α∈0,π，
所以 α=π3，
故直线 y=3x+1 的倾斜角为 π3．
2. C
3. A【解析】因为 l1∥l2，
所以 4−mm+2=−2（m≠−2），
解得 m=−8（经检验，l1 与 l2 不重合）．
因为 l2⊥l3，
所以 2×1+1×n=0，即 n=−2．
所以 m+n=−10．
4. B【解析】根据题意，先在 4 个人中任选 3 个人，有 C43 种选法，再将选出的 3 人全排列，安排去完成 3 项不同的工作，有 A33 种情况，则有 C43×A33=24 种安排方法；
故选：B．
5. B
6. C【解析】不考虑限制条件，从 100 件产品中任取 3 件，有 C1003 种取法，然后减去 3 件全是正品的取法 C943，故有 C1003−C943 种取法．
7. D【解析】对于A，事件 A 与事件 B 是互斥事件但不一定是对立事件，故A不正确；
对于B，若是在同一试验下，由 PA+B=PA+PB=1，说明事件 A 与事件 B 一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有 PA+B=PA+PB=1，但事件 A 和事件 B 不一定对立，故B不正确；
对于C，某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次击中靶心”与事件“至多有一次击中靶心”不是对立事件，故C不正确；
对于D，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件，故D正确．
8. D【解析】乙击中 8 环的概率为 1−0.2−0.2−0.35=0.25；
甲击中 10 环的概率为 1−0.2−0.15−0.3=0.35；
甲击中环数的平均值为 7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8．
9. B【解析】满足 PA⋅PB=0 的 P 点都在圆 x2+y−k2=4k 上，只需 x2=4y 与圆有除 A 、 B 外的交点即满足题意，联立两式有 y−ky−k−4=0．当 y=k 时交点为 A 、 B．故另一根 k−4 必须大于或等于零．解得 k≥4．
10. B
【解析】如图，F2 为椭圆的右焦点，连接 MF2，
则 ON 是 △F1MF2 的中位线，
所以 ∣ON∣=12∣MF2∣，
又 ∣MF1∣=2，
∣MF1∣＋∣MF2∣=2a=10，
所以 ∣MF2∣=8，
所以 ∣ON∣=4．
第二部分
11. p=812⋅612+412⋅612=12
12. 5
【解析】2+x5=1+1+x5，
则 1+1+x5 展开式的通项为 Tr+1=C5r1+xr，
令 r=4 得 a4=C54=5．
13. 12
【解析】根据题意，先将 5 名志愿者分成 3 组，由于甲、乙两名女志愿者需到同一社区，将甲乙看成第一组，将第三名女志愿者与一名男志愿者作为第二组，剩下的男志愿者作为第三组，则有 C22C21C11=2 种分组方法；再将分好的三组全排列，对应 3 个社区，有 A33=6 种情况，则不同的分法种数为 2×6=12 种．
14. 1,2
15. 45∘
【解析】如图，设 C 在平面 α 内的射影为 O 点，连接 AO,MO，
则 ∠CAO=30∘，∠CMO 就是 CM 与 α 所成的角．
设 AC=BC=1，则 AB=2，
所以 CM=22，CO=12．
所以 sin∠CMO=COCM=22，
所以 ∠CMO=45∘．
16. y2=8x
第三部分
17. （1） 设所求直线方程为 y=−2x+b，即 2x+y−b=0．
因为直线与圆相切，所以 ∣−b∣22+12=3，得 b=±35，所以所求直线方程为 y=−2x±35．
（2） 方法一：假设存在这样的点 Bt,0，当 P 为圆 C 与 x 轴的左交点 −3,0 时，PBPA=∣t+3∣2；当 P 为圆 C 与 x 轴的右交点 3,0 时，PBPA=∣t−3∣8，
依题意，∣t+3∣2=∣t−3∣8，解得 t=−5（舍去）或 t=−95．
下面证明点 B−95,0 对于圆 C 上任一点 P，都有 PBPA 为一常数．
设 Px,y，则 y2=9−x2，所以 PB2PA2=x+952+y2x+52+y2=x2+185x+8125+9−x2x2+10x+25+9−x2=18255x+1725x+17=925，从而 PBPA=35 为常数．
方法二：假设存在这样的点 Bt,0，使得 PBPA 为常数 λ，则 PB2=λ2PA2，
所以 x−t2+y2=λ2x+52+y2，
将 y2=9−x2 代入，得 x2−2xt+t2+9−x2=λ2x2+10x+25+9−x2，即 25λ2+tx+34λ2−t2−9=0 对 x∈−3,3 恒成立，
所以 5λ2+t=0,34λ2−t2−9=0, 解得 λ=35,t=−95 或 λ=1,t=−5（舍去），
所以存在点 B−95,0 对于圆 C 上任一点 P，都有 PBPA 为常数 35．
18. （1） 以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴建立空间直角坐标系，
所以 A0,0,0，B2,0,0，D0,2,0，P0,0,2，
C2,4,0，M1,2,1，E2,1,0，
所以 DM=1,0,1，
易知平面 PAB 的一个法向量为 AD=0,2,0，
故 DM⋅AD=0+0+0=0，
则 DM⊥AD．
又因为 DM⊄平面PAB，
故 DM∥平面PAB．
（2） 易知平面 BDE 的一个法向量为 AP=0,0,2，
设平面 PDE 的法向量为 m=x,y,z，
且 PD=0,2,−2，DE=2,−1,0，
所以有 m⋅PD=2y−2z=0,m⋅DE=2x−y=0,
令 y=2，则 x=1，z=2，
所以 m=1,2,2．
设平面 PDE 与平面 BDE 夹角为 θ，易知 θ 为锐角，
所以 csθ=cs⟨m,AP⟩=m⋅AP∣m∣⋅∣AP∣=43×2=23．
（3） 设平面 PDC 的法向量为 n=a,b,c，
且 DC=2,2,0，
所以 n⋅PD=2b−2c=0,n⋅DC=2a+2b=0,
令 b=1，则 a=−1，c=1，故 n=−1,1,1，
设点 E 到平面 PDC 距离为 h，
所以 h=DE⋅n∣n∣=33=3．
19. （1） 去三甲医院门诊就诊的人次为 100 人次，其中 60 岁以上老人为 80 人次，
设这 2 人次都是 60 岁以上老人这一事件为 A，
则 PA=C802C1002=316495．
（2） X 可取 20，60，140，400，
分布列为
每人次门诊实付费用
期望为 EX=20×0.7+60×0.1+140×0.15+400×0.05=61．
20. （1） 连接 EC，
因为 AD∥BC，BC=12AD，E 是 AD 的中点，
所以 BC=AE，BC∥AE，
所以四边形 ABCE 是平行四边形，
所以 O 为 AC 的中点．
又因为 F 是 PC 的中点，
所以 FO∥AP．
因为 FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以 AP∥平面BEF．
（2） 连接 FH，OH，
因为 F，H 分别是 PC，CD 的中点，
所以 FH∥PD．
因为 PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
所以 FH∥平面PAD．
又因为 O 是 AC 的中点，H 是 CD 的中点，
所以 OH∥AD．
又因为 AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以 OH∥平面PAD．
又因为 FH∩OH=H，
所以平面 OHF∥平面PAD．
又因为 GH⊂平面OHF，
所以 GH∥平面PAD．
21. （1） 因为椭圆 w:x24m+y2m=1 的左顶点为 A−2,0，
所以 4m=4，所以 m=1，
所以椭圆 w 的方程为 x24+y2=1，
因为 a=2，b=1，所以 c=3，
所以椭圆 w 的离心率为 32．
（2） 设 Px1,y1，Qx2,y2，
当 PQ⊥x 轴时，Qx1,−y1，
因为点 A 在以 PQ 为直径的圆上，
所以 PA⊥QA，PA⋅QA=0，
所以 −2−x12−y12=0 ，
因为 x124+y12=1，
所以 5x12+16x1+12=0，
解方程得 x1=−65 或 x1=−2．
因为 l 不过 A−2,0，所以 x1=−2 舍去，
所以 x1=−65，所以直线 PQ 的方程为 x=−65．
当 PQ 与 x 轴不垂直时，
设 PQ 的方程为 y=kx+nk≠0，
由 y=kx+n,x2+4y2=4 得 4k2+1x2+8knx+4n2−4=0，
所以 Δ>0,x1+x2=−8kn4k2+1,x1x2=4n2−44k2+1.
因为 PA⋅QA=0，
所以 x1+2x2+2+y1y2=0，
所以 k2+1x1x2+kn+2x1+x2+n2+4=0，
所以 k2+14n2−44k2+1+kn+2−8kn4k2+1+n2+4=0，
所以 12k2−16kn+5n2=0，
所以 6k−5n2k−n=0，
所以 n=2k 或 n=65k，
当 n=2k 时，
直线 l 的方程为 y=kx+2 过 A−2,0，不合题意，舍去．
当 n=65k 时，直线 l 的方程为 y=kx+65，
综上，直线 PQ 过定点 −65,0．
（3） （ⅰ）连接 QO，因为 O 为 PM 中点，
所以 S△PQM=2S△POQ=2×12×65∣y1−y2∣=65∣y1−y2∣，
当 PQ⊥x 轴时，由（Ⅱ）知 P−65,45，Q−65,−45，
所以 S△PQM=65×45×2=4825．
当 PQ 与 x 轴不垂直时，
S△PQM=2S△POQ=2×12×65∣y1−y2∣=65∣kx1−kx2∣=65∣k∣∣x1−x2∣=65∣k∣x1+x22−4x1x2=65∣k∣44k2+1−n24k2+1=242564k4+25k24k2+1.
令 t=4k2+1>1因为k≠0，
所以
S△PQM=122516t2−7t−9t2=122516−7t−9t2=1225−91t+7182+16+9×72182.
因为 0<1t<1，
所以 0综上，当直线 l:x=−65 时，△PQM 的面积最大，最大值为 4825．
（ⅱ）因为 △MPQ 为直角三角形，设 T−65,0，
下面分三种情况讨论：
①当 ∠QPM=90∘ 时，则 TP⋅OP=0，
因为 TP=x1+65,y1，OP=x1,y1，
所以 x12+65x1+1−x124=0，
所以 15x12+24x1+20=0，Δ<0，所以无解．
所以 ∠QPM 不可能为直角．
②当 ∠PQM=90∘ 时，
当 PQ⊥x 轴时，
由椭圆的对称性知 ∠PQM=90∘，
此时 l 的方程为 x=−65，
当 PQ 与 x 轴不垂直时，kPQ⋅kQM=−1，
又 kPQ⋅kQM=y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=y22−y12x22−x12=−14≠−1，
所以，此时 ∠PQM≠90∘．
③当 ∠QMP=90∘ 时，
因为 PQ 的方程为 y=kx+65，
因为 kPQ⋅kQM=−14，
所以 kQM=−14k，
又因为 kMP⋅kQM=−1，
所以 kMP=4k，
所以直线 PM 的方程为 y=4kx，
由 y=4kx,y=kx+65 得 P25,8k5，
因 P25,8k5 在椭圆上，
所以 425+4×64k225=4，
解得 k=±64，
所以直线 l 的方程为 y=±64x+65，
综上，直线 l 的方程为 y=64x+3610，y=−64x−3610 或 x=−65．