2021年北京东城区东城广渠门中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京东城区东城广渠门中学高二上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 圆 x2+y2+2y=1 的半径为
A. 1B. 2C. 2D. 4

2. 若直线 l 的一个方向向量 a=2,2,−2，平面 α 的一个法向量为 b=1,1,−1，则
A. l∥αB. l⊥αC. l⊂αD. A，C都有可能

3. 若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线经过点 3,1，则该双曲线的离心率为
A. 5B. 2C. 3D. 2

4. 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量 m（件）与每件的售价 x（元）满足一次函数：m=162−3x．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为
A. 30 元B. 42 元C. 54 元D. 越高越好

5. 已知 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=4，AC=6．在三角形所在的平面内有两个动点 M 和 N，满足 AM=2，MN=NC，则 BN 的取值范围是
A. 32,34B. 4,6
C. 25,42D. 2363−122,2363+122

6. A 是抛物线 y2=2pxp>0 上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当 AF=4 时，∠OFA=120∘，则抛物线的准线方程是
A. x=−1B. y=−1C. x=−2D. y=−2

7. 若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是
A. 13,+∞B. −∞,13C. 13,+∞D. −∞,13

8. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC−A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为
A. 55B. 53C. 255D. 35

9. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴端点为 A，B，若椭圆上存在一点 P 使 ∠APB=120∘，则椭圆离心率的取值范围是
A. 0,63B. 63,1C. 63,1D. 63,+∞

10. 把边长为 2 的正三角形 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 折成 60∘ 的二面角 B−AD−C 后，点 D 到平面 ABC 的距离为
A. 32B. 1C. 155D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知两条直线 l1：ax+3y−3=0，l2：4x+6y−1=0，若 l1∥l2，则实数 a= ．

12. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a3=5，a7=13，则 S10= ．

13. 已知函数 fx=ex+2lnx，其导函数为 fʹx，则 fʹ1= ．

14. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是棱 BC，DD1 上的点，如果 B1E⊥平面ABF，则 CE 与 DF 之和为 ．

15. 已知椭圆 C:x22+y2=1 的两焦点为 F1，F2，点 Px0,y0 满足 0
16. 已知 an 为等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 a3=−6，S1=S5，则公差 d= ，Sn 的最小值为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
17. 已知函数 fx=xex（e 为自然对数的底）．
（1）求函数 fx 的单调递增区间；
（2）求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程．

18. 已知圆 C:x2+y2−4x−2y−1=0．
（1）求 y 轴被圆 C 所截得的线段的长；
（2）过圆 C 圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为 S，求 S 的最小值．

19. 已知等差数列 an 满足：a1+a3+a5=24，an=an−2−2（n≥3 且 n∈N+）．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求数列 an 的前 n 项和 Sn．

20. 在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥底面ABCD，且 PA=2，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AB⊥AD，BC∥AD，AD=AB=2，BC=4，M 为 PC 中点，E 在线段 BC 上，且 BE=1．
（1）求证：DM∥平面PAB．
（2）求平面 PDE 与平面 BDE 夹角的余弦值．
（3）求点 E 到平面 PDC 的距离．

21. 已知圆 M：x2+y2+2y−7=0 和点 N0,1，动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E．
（1）求曲线 E 的方程；
（2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，点 B，C 在曲线 E 上，若直线 AB，AC 的斜率 k1，k2 满足 k1k2=4，求 △ABC 面积的最大值．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】因为直线 l 的一个方向向量为 a=2,2,−2，平面 α 的一个法向量为 b=1,1,−1，所以 a=2b，所以 l⊥α，故选B．
3. B【解析】若双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点 3,1，可得 b=3a，即 b2=3a2，可得 c2−a2=3a2，
所以 c2=4a2，c=2a，
所以双曲线的离心率为 e=ca=2．
4. B【解析】设日销售利润为 y 元，则 y=x−30162−3x，30≤x≤54，将上式配方后得 y=−3x−422+432，当 x=42 时，y 取得最大值．故每件商品的售价定为 42 元时，每天才能获得最大的销售利润．
5. B
【解析】以 A 点为坐标原点，AB 为 x 轴正半轴，AC 为 y 轴正半轴建立平面直角坐标系，
则 A0,0，B4,0，C0,6．
因为 AM=2，
所以 M 点是在以原点为圆心，2 为半径的圆上，MN=NC，
所以 N 点是 MC 的中点．
设 M 点坐标为 x,y，则 Nx2,y+62，BN=x2−4,y+62，
BN2=x2−42+y+622=25+x24+y24+3y−4x,
因为 M 点在 x2+y2=4 上，
所以 BN2=26+3y−4x，
设 3y−4x=b，
因为 x,y 在圆上，易知当直线 3y−4x−b=0 与圆 x2+y2=4 相切时，b 取最值．
也就是 ∣b∣32+42=2，b=±10，此时 BN2=26±10，BN=4或6，
故 BN 的取值范围为 4,6，
所以选B．
6. A【解析】过 A 向准线作垂线，设垂足为 B，准线与 x 轴的交点为 D．
因为 ∠OFA=120∘，
所以 △ABF 为等边三角形，∠DBF=30∘，
从而 p=DF=2，因此抛物线的准线方程为 x=−1．
7. C【解析】若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数，
只需 yʹ=3x2+2x+m≥0 恒成立，即 Δ=4−12m≤0，
所以 m≥13．
8. A【解析】不妨令 CB=1，则 CA=CC1=2．
可得 O0,0,0，B0,0,1，C10,2,0，A2,0,0，B10,2,1，
所以 BC1=0,2,−1，AB1=−2,2,1，
所以 cs⟨BC1,AB1⟩=BC1⋅AB1BC1AB1=55>0．
所以 BC1 与 AB1 的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角，
所以直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 55．
9. B【解析】不妨设 Px,y0≤x则 AD=a+x，BD=a−x，PD=y，
所以 tan∠APD=a+xy，tan∠BPD=a−xy，
则 tan∠APB=tan∠APD+tan∠BPD1−tan∠APD⋅tan∠BPD=2ay1−a2−x2y2=2ayx2+y2−a2，
又 x2=a2−a2b2y2，所以 tan∠APB=2a1−a2b2y，
因为 1−a2b2<0，所以 ∠APB∈π2,π，
所以当 y=b 时，∠APB 取得最大值，
所以当 P 在短轴上时，∠APB 取得最大值，
因为椭圆上存在一点 P 使 ∠APB=120∘，
所以 ∠ACB≥120∘（C 为短轴顶点），设 ∠ACB=2θ，则 θ≥60∘，
又因为 tanθ=ab≥3，所以离心率 e=1−b2a2≥63，
又因为 010. C
第二部分
11. 2
12. 100
13. e+2
14. 1
【解析】以 D 为坐标原点，分别以 D1A1，D1C1，D1D 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
设 CE=x，DF=y，
则易知 Ex,1,1，B11,1,0，F0,0,1−y，B1,1,1，
所以 B1E=x−1,0,1，FB=1,1,y，
由于 B1E⊥平面ABF，
所以 FB⋅B1E=1,1,y⋅x−1,0,1=0，
则 x+y=1．
15. 2,22
【解析】由点 Px0,y0 满足 016. 12，−54
【解析】因为 S1=S5，所以 a2+a3+a4+a5=0，所以 a3+a4=0．
因为 a3=−6，所以 a4=6，所以 d=a4−a3=12，
所以 a1=a3−2d=−30．
所以 Sn=−30n+nn−12×12=6n2−36n=6n−32−54．
故当 n=3 时，Sn 取最小值 −54．
第三部分
17. （1） fʹx=ex+xex．
令 fʹx>0⇒x>−1，即函数 fx 的单调递增区间是 −1,+∞．
（2） 因为 f1=e，fʹ1=2e，
所以曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为
y−e=2ex−1，即 2ex−y−e=0．
18. （1） 设圆 C:x2+y2−4x−2y−1=0 与 y 轴的交点为 0,y1，0,y2，
将 x=0 代入 C:x2+y2−4x−2y−1=0 可得 y2−2y−1=0，
即 y1+y2=2，y1⋅y2=−1，
所以 y 轴被圆 C 所截得的线段的长为 y1−y2=y1+y22−4y1⋅y2=22．
（2） 设 l:xa+yb=1a,b>0，由于 l 过 C2,1，
所以 1=2a+1b，
利用基本不等式，得 1=2a+1b≥22a⋅1b⇒ab≥8，
所以 S=12ab≥4，即 S 的最小值为 4，
此时 a=4，b=2，l:x4+y2=1，即 l:x+2y−4=0．
19. （1） 因为等差数列 an 满足 a1+a3+a5=24，
所以 3a3=24，
所以 a3=8，
设 an 的公差为 d，
因为 an=an−2−2，
所以 an−an−2=2d=−2，
所以 d=−1，an=a3+n−3d=11−n．
（2） 由（1）可知 an=11−n，则 an=∣11−n∣，
当 n≤11，n∈N+ 时，Sn=na1+an2=n210+11−n=n21−n2；
当 n>11，n∈N+ 时，
Sn=S11+a12+⋯+an=55+n−11a12+an2=55+n−1110−n2=n2−21n2+110.
综上所述，Sn=n21−n2,n≤11,n∈N+n2−21n2+110,n>11,n∈N+．
20. （1） 以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴建立空间直角坐标系，
所以 A0,0,0，B2,0,0，D0,2,0，P0,0,2，
C2,4,0，M1,2,1，E2,1,0，
所以 DM=1,0,1，
易知平面 PAB 的一个法向量为 AD=0,2,0，
故 DM⋅AD=0+0+0=0，
则 DM⊥AD．
又因为 DM⊄平面PAB，
故 DM∥平面PAB．
（2） 易知平面 BDE 的一个法向量为 AP=0,0,2，
设平面 PDE 的法向量为 m=x,y,z，
且 PD=0,2,−2，DE=2,−1,0，
所以有 m⋅PD=2y−2z=0,m⋅DE=2x−y=0,
令 y=2，则 x=1，z=2，
所以 m=1,2,2．
设平面 PDE 与平面 BDE 夹角为 θ，易知 θ 为锐角，
所以 csθ=cs⟨m,AP⟩=m⋅AP∣m∣⋅∣AP∣=43×2=23．
（3） 设平面 PDC 的法向量为 n=a,b,c，
且 DC=2,2,0，
所以 n⋅PD=2b−2c=0,n⋅DC=2a+2b=0,
令 b=1，则 a=−1，c=1，故 n=−1,1,1，
设点 E 到平面 PDC 距离为 h，
所以 h=DE⋅n∣n∣=33=3．
21. （1） 圆 M：x2+y2+2y−7=0 的圆心为 M0,−1，半径为 22．
点 N0,1 在圆 M 内，因为动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切．
所以动圆 P 与圆 M 内切，设动圆 P 的半径为 r，则 22−r=PM．
因为动圆 P 经过点 N，所以 r=PN，PM+PN=22>MN．
所以曲线 E 是以 M，N 为焦点，长轴长为 22 的椭圆．
由 a=2，c=1，得 b2=2−1=1，所以曲线 E 的方程为 x2+y22=1．
（2） 直线 BC 的斜率为 0 时，不合题意；
设 Bx1,y1，Cx1,y1，直线 BC：x=ty+m，
联立 x=ty+m,x2+y22=1, 得 1+2t2y2+4mty+2m2−2=0，
y1+y2=−4mt1+2t2，y1y2=2m2−21+2t2．
又 k1k2=4，知
y1y2=4x1−1x2−1=4ty1+m−1ty2+m−1=4t2y1y2+4m−1ty1+y2+4m−12.
代入得 2m2−21+2t21−4t2=4m−1−4mt21+2t2+4m−12，
又 m≠1，化简得 m+11−4t2=2−4mt2+2m−11+2t2，
解得 m=3，故直线 BC 过定点 3,0．
由 Δ>0，解得 t2>4．
S△ABC=12⋅2y2−y1=4t2−41+2t2=4t2−49+2t2−42=49t2−4+2t2−4≤23,
（当且仅当 t2=172 时取等号）
综上，△ ABC 面积的最大值为 23．