初中数学人教版七年级下册6.1 平方根教案

平方根

一、学生起点分析

学生在七年级上册学习 “棋盘上的故事”就认识了一种运算 “乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0． 在七年级下册第六章《实数》的第一课时学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习 “立方根”做基础．

二、教学任务分析

       本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是

①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．

②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．

③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学

知识的应用能力．

教学重点是

①了解平方根、开平方的概念．

②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的

算术平方根和平方根．

③了解平方根与算术平方根的区别与联系．

教学难点是

①平方根与算术平方根的区别和联系．

②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．

三、教学过程设计:

本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业．

第一环节 复习旧知 引入新知

内容:方法一   复习引入

1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9，那么9的算术平方根就是   3  ．

　的平方等于   ，那么  的算术平方根就是______________．

　展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_  7_米． 

2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？

乘方有没有逆运算?

　　  平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为______；若面积变为原来的3倍，则边长为_________；若面积变为原来的n倍，则边长为________．

方法二  复习引入

问题 平方等于9，，49的数还有吗？ 

目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．

效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．

说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．

第二环节 : 新课学习

内容 （一）探究新知

填空

   3=(9 )                

  (－3)=(9 )            (  )=9            0=0

　()=()　                 (不存在)=－4

  ()=() 

（二）形成概念(1)

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．

表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根． 记作  ．

例如:(±4) =16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．

（三）探索平方与开平方的关系:

给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．

（四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系   1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．

2．只有非负数才有平方根和算术平方根．

3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．

区别  1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．

2．表示法不同：平方根表示为   ，而算术平方根表示为．

目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．

效果 由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概

念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．

说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．

对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．

第三环节  例题和新知巩固

（一）例题示范

求下列各数的平方根:

(1)64；(2)；(3)  0.0004；(4)；(5) 11

解 （1），，；

（2），；

（3），；

    （4）， ；

（5）

目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟

练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．

效果 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正

确的符号化语言．

（二）思考提升

1．      ，的算术平方根是_____，的平方根是_____；

2．    ，      ，     ，=_______；

3．=        ，           ．

（三）巩固练习

1 ．下列说法正确的是         

①②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

2．下列说法不正确的是(       ) ．

(A)0的平方根是0                      (B)的平方根是 

(C)非负数的平方根是互为相反数         (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（   ）．

    (A) a+1            (B)         (C)  +1          (D)

4．为何值，有意义？

答 因为，所以

     目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．

     效果 学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．

第四环节  课堂小结

内容 引导学生总结本课时的知识、方法．

目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．

效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如

平方根的概念 若，则x叫a的平方根，

平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．

平方与开方之间的关系；

求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．

第五环节  提高训练

内容 1.的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．

      2．已知实数a，b满足

①若a，b为的两边，求第三边c的取值范围；

②若a，b为的两边，第三边c等于5，求的面积．     

目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．

第六环节　作业布置

习题2．４

四、教学设计反思

本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．

（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再让学生去讨论 一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．

（二）鼓励学生进行探究和交流  本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如 把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．

（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念 “平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．

（四）根据学生实际，灵活使用教材

教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．

（五）建议

    根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前．