2022届高考大一轮复习知识点精练：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：两角和与差的正弦、余弦、正切公式，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知 △ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 a=4，b+c=5．tanA+tanB+3=3tanA⋅tanB ，则 △ABC 的面积为
A. 32B. 33C. 332D. 3

2. 如果 α∈π2,π，且 sinα=45，那么 sinα+π4−22csπ−α=
A. −25B. −225C. 25D. 225

3. 已知 sinα=55，且 α∈0,π2，则 sinα+π4=
A. −1010B. 1010C. −31010D. 31010

4. 化简 csα+βcsα+sinα+βsinα=
A. csαB. csβC. cs2α+βD. sin2α+β

5. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 △ABC 为锐角三角形，且满足 sinB1+2csC=2sinAcsC+csAsinC，则下列等式成立的是
A. a=2bB. b=2aC. A=2BD. B=2A

6. 函数 y=sin2x+π6+cs2x+π3 的最小正周期和最大值分别为
A. π，1B. π，2C. 2π，1D. 2π，2

7. 如图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME−7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图 2），其中 OA1=A1A2=A2A3=⋯=A7A8=1，则 sin∠A6OA8=
A. 72+22128B. 72−22128C. 143+128D. 143−128

8. 若 csα+π3=−16，且 π6<α<2π3，则 sinα+7π12=
A. 70+212B. 70−212C. 2−7012D. −70+212

9. 已知 α,β∈3π4,π，sinα+β=−35，sinβ−π4=1213，则 csα+π4=
A. 1665B. 5665C. −1665D. −5665

10. 若 32sinx+12csx=4−m，则实数 m 的取值范围是
A. 3≤m≤5B. −5≤m≤5C. 3
11. 在 △ABC 中，csA+csB=3，AB=23．当 sinA+sinB 取最大值时，△ABC 内切圆的半径为
A. 23−3B. 22−2C. 13D. 2

12. 设 tanα=12，csπ+β=−45，β∈0,π，则 tan2α−β 的值为
A. −724B. −524C. 524D. 724

13. 已知 x∈0,π2，y∈0,π2，csx+sinxcsx−sinx=1−cs2ysin2y，则
A. y−x=π4B. 2y−x=π4C. y−x=π2D. 2y−x=π2

14. 在 △ABC 中，sinB−C+sinA=32，AC=3AB，则角 C=
A. π2B. π3C. π6 或 π3D. π6

15. 若 sinπ+θ=−35，θ 是第二象限角，sinπ2+φ=−255，φ 是第三象限角，则 csθ−φ 的值是
A. −55B. 55C. 11525D. 5

16. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以 x 轴的非负半轴为始边，OA 为终边的角为 θθ≠kπ+π2,k∈Z，若将 OA 绕 O 点顺时针旋转 3π2 至 OB，则点 B 的坐标为
A. −csθ,sinθB. csθ,−sinθ
C. −sinθ,csθD. sinθ,−csθ

17. 在 △ABC 中，若 sinB⋅sinC=cs2A2，则此三角形为
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形

18. 定义运算 abcd=ad−bc．若 csα=17,sinαsinβcsαcsβ=3314,0<β<α<π2，则 β 等于
A. π12B. π6C. π4D. π3

19. 已知点 A 的坐标为 43,1，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 π3 至 OB，则点 B 的纵坐标为 .
A. 332B. 532C. 112D. 132

20. 设 tanα=12，csπ+β=−45，β∈0,π，则 tan2α−β 的值为
A. −724B. −524C. 524D. 724

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 tanθ=2，则 cs2θ= ；tanθ−π4= ．

22. 若 tanα+π4=−3，则 tanα= ．

23. 如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 θ，在山坡的 A 处测得 ∠DAC=15∘，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得 ∠DBC=45∘，根据以上数据可得 csθ= ．

24. 已知复数 z1=cs15∘+sin15∘i 和复数 z2=cs45∘+sin45∘i，则 z1⋅z2=

25. 设 α 为锐角，若 csα+π6=45，则 sin2α+π12 的值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知 sinα=513，csβ=−35，且 α，β 都是第二象限的角．求 sinα−β，csα−β，tanα−β 的值．

27. 求 sin3π8csπ8+cs3π8sinπ8 的值．

28. 已知 α 为第二象限的角，sinα=35，β 为第一象限的角，csβ=513，求 tan2α−β 的值．

29. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 tanA+tanB=2sinCcsA 且 △ABC 的面积为 332，a−c=1，
（1）求角 B 的大小及 b；
（2）求 sin2A+B 的值．

30. 在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b=27，c=2，B=π3．
（1）求 a 的值；
（2）求 sinA；
（3）求 sinB+2A 的值．

31. （1）已知 sinπ4−x=513，且 0（2）已知 csθ=33，θ∈0,π2，求 2cs2θ2−sinθ−13sinπ3+θsinπ3−θ 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】因为 tanA+tanB+3=3tanA⋅tanB，
所以 tanA+tanB=−31−tanA⋅tanB，
即 tanA+B=tanA+tanB1−tanA⋅tanB=−3，
所以 A+B=2π3，C=π3，
又因为 a=4，b+c=5．
所以 5−b2=42+b2−2×4b×12．
解得 b=32，则 △ABC 的面积为 S=12×4×32×32=332．
2. A【解析】因为 α∈π2,π，sinα=45，
所以 csα=−35，
所以
sinα+π4−22csπ−α=22sinα+csα+22csα=22sinα+2csα=22×45−2×35=−25.
3. D【解析】因为 sinα=55，且 α∈0,π2，
所以 csα=1−552=255，
所以
sinα+π4=22sinα+csα=2255+255=31010.
4. B【解析】原式=csα+β−α=csβ.
5. A
【解析】sinA+C+2sinBcsC=2sinAcsC+csAsinC，
所以 2sinBcsC=sinAcsC⇒2sinB=sinA⇒2b=a．
6. A
7. A【解析】由题意得，
OA2=1+1=2，
OA3=1+2=3，
OA4=4，OA5=5，OA6=6，OA7=7，OA8=8，
sin∠A6OA7=1OA7=17，
cs∠A6OA7=OA6OA7=67，
sin∠A7OA8=1OA8=18，
cs∠A7OA8=OA7OA8=78，
sin∠A6OA8=sin∠A6OA7+∠A7OA8=sin∠A6OA7cs∠A7OA8+cs∠A6OA7sin∠A7OA8=17×78+67×18=72+22128.
8. B【解析】因为 π6<α<2π3，
所以 π2<α+π3<π，
所以 sinα+π3>0，
所以 sinα+π3=1−−162=356，
所以
sinα+7π12=sinα+π3+π4=sinα+π3csπ4+csα+π3sinπ4=356×22−16×22=70−212.
9. D【解析】因为 α,β∈3π4,π，
所以 α+β∈32π,2π，
又 sinα+β=−35，
所以 csα+β=45，
因为 β−π4∈π2,34π，sinβ−π4=1213，
所以 csβ−π4=−513，
所以
csα+π4=csα+β−β−π4=csα+βcsβ−π4+sinα+βsinβ−π4=45×−513+−35×1213=−5665.
10. A
【解析】因为 32sinx+12csx=csxcsπ3+sinxsinπ3=csx−π3，
所以 csx−π3=4−m，于是 ∣4−m∣≤1，
解得 3≤m≤5．
11. A【解析】设 sinA+sinB=m，
又 csA+csB=3，
两式平方相加得 2+2csA−B=m2+3，
所以 m2=2csA−B−1，
所以 ∣m∣≤1，
所以当 A=B 时，sinA+sinBmax=1，
此时 A=B=π6，
所以 C=23π，
在等腰三角形 ABC 中，又 AB=23，
所以 AC=BC=2，
设 △ABC 内切圆半径为 r，则 122+2+23r=12×2×2×sin2π3
所以 r=23−3．
12. D
13. A【解析】csx+sinxcsx−sinx=1−cs2ysin2y=1−1−2sin2y2sinycsy=sinycsy，
所以 csxcsy+sinxcsy=csxsiny−sinxsiny，
所以 csx−y=siny−x，
因为 x∈0,π2，y∈0,π2，
所以 y−x=π4．
14. D【解析】△ABC 中，sinB−C+sinA=32，
所以 sinB−C+sinB+C=32，
所以 2sinBcsC=32；
又因为 AC=3AB，
所以 sinB=3sinC，
所以 23sinCcsC=32，
所以 sin2C=32，
所以 2C=π3 或 2π3，
所以 C=π6 或 π3．
若 C=π3，则 sinB=32．
因为 B∈0,π，
所以 0所以 C=π6．
15. B
【解析】因为 sinπ+θ=−35，所以 sinθ=35，θ 是第二象限角，所以 csθ=−45．
因为 sinπ2+φ=−255，所以 csφ=−255，φ 是第三象限角，所以 sinφ=−55．
所以 csθ−φ=csθcsφ+sinθsinφ=−45×−255+35×−55=55．
16. C【解析】A 为单位圆上一点，以 x 轴的非负半轴为始边，OA 为终边的角为 θθ≠kπ+π2,k∈Z，
若将 OA 绕 O 点顺时针旋转 3π2 至 OB，则点 B 的横坐标为 cs−3π2+θ=−sinθ，
点 B 的纵坐标为 sin−3π2+θ=csθ，
故点 B 的坐标为 −sinθ,csθ．
17. B
18. D【解析】由题意 sinαcsβ−csαsinβ=sinα−β=3314，
又 0＜β＜α＜π2，所以 0＜α−β＜π2，所以 csα−β=1−sin2α−β=1314，又 csα=17，所以 sinα=437，所以 sinβ=sinα−α−β=sinαcsα−β−csαsinα−β=437×1314−17×3314=32．
所以 β＝π3．
19. D【解析】设 Bx,y，OA 的倾斜角为 α，且 OA=7，所以 sinα=17，csα=437，所以 OB 的倾斜角为 α+π3，所以 sinα+π3=y7，解得 y=132．
20. D
第二部分
21. −35，13
【解析】cs2θ=cs2θ−sin2θ=cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−221+22=−35，
tanθ−π4=tanθ−11+tanθ=2−11+2=13．
22. 2
23. 3−1
【解析】由 ∠DAC=15∘，∠DBC=45∘ 可得 ∠BDA=30∘，∠DBA=135∘，∠BDC≡90∘−15∘+θ−30∘=45∘−θ，由内角和定理可得 ∠DCB=180∘−45∘−θ−45∘=90∘+θ，根据正弦定理可得 50sin30∘=DBsin15∘，即 DB=100sin15∘=100×sin45∘−30∘=2523−1，又 25sin45∘=2523−1sin90∘+θ，即 25sin45∘=2523−1csθ，得 csθ=3−1．
24. 12+32i
【解析】z1⋅z2=cs15∘+isin15∘cs45∘+isin45∘=cs15∘cs45∘−sin15∘sin45∘+sin15∘cs45∘+cs15∘sin45∘i=cs15∘+45∘+isin15∘+45∘=cs60∘+isin60∘=12+32i.
25. 17250
【解析】根据 csα+π6=45，得 cs2α+π3=2cs2α+π6−1=2×1625−1=725，因为 α 为锐角，所以 π3<2α+π3<4π3，又因为 cs2α+π3>0，所以 2α+π3 为第一象限角，所以 sin2α+π3=1−7252=2425，因此
sin2α+π12=sin2α+π3−π4=sin2α+π3csπ4−cs2α+π3sinπ4=17250.
第三部分
26. sinα−β=3365，csα−β=5665，tanα−β=3356．
27. 1．
28. 方法一：
tan2α−β=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ，
α 为第二象限得角，sinα=35，
所以 csα=−1−sin2α=−45，
tanα=sinαcsα=−35，
所以 tan2α=2tanα1−tan2α=−247，
β 为第一象限角，csβ=513，
所以 sinβ=1−cs2β=1213，tanβ=125，
所以 tan2α−β=−247−1251+−247×125=204253．
方法二：
α 为第二象限角，sinα=35，
所以 csα=−10sin2α=−45，
β 为第一象限，csβ=513，
所以 sinβ=1−cs2β=1213，
故 sin2α=2sinαcsα=−2425，
cs2α=1−2sin2α=725，
sin2α−β=sin2αcsβ−cs2αsinβ=−204325，
cs2α−β=cs2αcsβ+sin2αsinβ=−253325，
所以 tan2α−β=sin2α−βcs2α−β=204253．
29. （1） 因为 tanA+tanB=2sinCcsA，
所以 sinAcsA+sinBcsB=2sinCcsA，
所以 sinAcsB+sinBcsAcsAcsB=2sinccsA，
所以 sinA+BcsAcsB=2sinCcsA，
因为 csA≠0，sinA+B=sinC≠0，
所以 csB=12，
因为 B∈0,π，
所以 B=π3，
因为 S=12acsinB=323，
所以 ac=6，
因为 a−c=1，
所以 a=3，c=2，b=7．
（2） 由正弦定理可知：所以 bsinB=asinA，
所以 sinA=32114，
所以 csA=b2+c2−a22bc=714，
所以 sin2A=2sinAcsA=3314，
所以 cs2A=1−2sin2A=−1314，
所以
sin2A+B=sin2AcsB+cs2AsinB=31314×12+−1314×32=−5314.
30. （1） 在 △ABC 中，由余弦定理，有 csB=a2+c2−b22ac，
所以 a2+4−284a=12，即 a2−2a−24=0，
所以 a=6．
（2） 在 △ABC 中，由正弦定理，有 asinA=bsinB，
所以 sinA=32114．
（3） 因为 csA=b2+c2−a22bc，
所以 csA=28+4−362×27×2=−714，
所以 sin2A=2sinAcsA=−3314，
cs2A=2cs2A−1=−1314，
所以
sinB+2A=sinBcs2A+csBsin2A=32×−1314+12×−3314=−437.
31. （1） 因为 csπ4+x=csπ2−π4−x=sinπ4−x=513，
又因为 0所以 0<π4−x<π4，
所以 csπ4−x=1−sin2π4−x=1213．
所以 cs2x=sinπ2−2x=sin2π4−x=2sinπ4−xcsπ4−x=120169，
cs2xcsπ4+x=120169513=2413．
（2） 原式=2⋅1+csθ2−sinθ−1332csθ+12sinθ32csθ−12sinθ=csθ−sinθ334cs2θ−14sin2θ=csθ−sinθ334⋅1+cs2θ2−14⋅1−cs2θ2=csθ−sinθ32cs2θ+34.
因为 θ∈0,π2，csθ=33，
所以 sinθ=63，cs2θ=2cs2θ−1=−13，
所以原式 =33−63−36+34=41−2．