2022版高考数学大一轮复习课时作业21《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业21《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
计算：sin45°cs15°＋cs225°sin165°=( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.－eq \f(1,2)
已知eq \f(π,2)<α<π，3sin2α=2csα，则cs(α－π)等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(6),4) C.eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(\r(2),2)
设taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))=eq \f(1,4)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=( )
A.－2 B.2 C.－4 D.4
已知tanα=eq \f(3,4)，α∈(0，π)，则cs(α＋eq \f(π,6))的值为( )
A.eq \f(4\r(3)－3,10) B.eq \f(4\r(3)＋3,10) C.eq \f(4－3\r(3),10) D.eq \f(3\r(3)－4,10)
已知sinα=eq \f(\r(10),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))的值为( )
A.eq \f(4\r(3)－3,10) B.eq \f(4\r(3)＋3,10) C.eq \f(4－3\r(3),10) D.eq \f(3\r(3)－4,10)
已知f(x)=sinx－csx，实数α满足f′(α)=3f(α)，则tan2α=( )
A.－eq \f(4,3) B.－eq \f(3,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
若函数f(x)=5csx＋12sinx在x=θ时取得最小值，则csθ=( )
A.eq \f(5,13) B.－eq \f(5,13) C.eq \f(12,13) D.－eq \f(12,13)
已知atanα＋b=(a－btanα)tanβ，且α＋eq \f(π,6)与β的终边相同，则eq \f(b,a)的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(\r(3),4)
二、填空题
已知csθ=－eq \f(5,13)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))的值为 .
计算eq \f(sin250°,1＋sin10°)= .
已知sinα＋csα=eq \f(\r(5),2)，则cs4α= .
若tanα＋eq \f(1,tanα)=eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α的值为 .
三、解答题
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5)).
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)=eq \f(5,13)，求csβ的值.
已知0<α(1)求sinα的值；
(2)求β的值.
已知函数f(x)=eq \r(3)sinxcsx＋cs2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若－eq \f(π,2)<α<0，f(α)=eq \f(5,6)，求sin2α的值.
已知函数f(x)=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(其中ω>0)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))=－eq \f(6,5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))=eq \f(16,17)，求cs(α＋β)的值．
\s 0 答案详解
答案为：B.
解析：sin45°cs15°＋cs225°sin165°=sin45°·cs15°＋(－cs45°)sin15°=sin(45°－15°)=sin30°=eq \f(1,2).
答案为：C.
解析：由3sin2α=2csα，得sinα=eq \f(1,3).因为eq \f(π,2)<α<π，
所以cs(α－π)=－csα=eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)=eq \f(2\r(2),3).
答案为：C.
解析：∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))=eq \f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))=eq \f(tanα－1,1＋tanα)=eq \f(1,4)，∴tanα=eq \f(5,3)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(tanα＋1,1－tanα)=－4.
答案为：A.
解析：因为tanα=eq \f(3,4)，α∈(0，π)，所以sinα=eq \f(3,5)，csα=eq \f(4,5)，
故cs(α＋eq \f(π,6))=csαcseq \f(π,6)－sinαsineq \f(π,6)=eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)=eq \f(4\r(3)－3,10)，故选A.
答案为：A.
解析：∵sinα=eq \f(\r(10),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴csα=eq \f(3\r(10),10)，sin2α=2sinαcsα
=2×eq \f(\r(10),10)×eq \f(3\r(10),10)=eq \f(6,10)=eq \f(3,5)，cs2α=1－2sin2α=1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),10)))2=1－eq \f(1,5)=eq \f(4,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))=eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)=eq \f(4\r(3)－3,10).故选A.
答案为：A.
解析：由题意可得f′(x)=csx＋sinx，∴f′(α)=csα＋sinα.
由f′(α)=3f(α)，得csα＋sinα=3sinα－3csα，
∴2sinα=4csα，即tanα=2.∴tan2α=eq \f(2tanα,1－tan2α)=eq \f(4,1－22)=－eq \f(4,3)，故选A.
答案为：B.
解析：f(x)=5csx＋12sinx=13eq \f(5,13)csx＋eq \f(12,13)sinx=13sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋α))，
其中sinα=eq \f(5,13)，csα=eq \f(12,13)，由题意知θ＋α=2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
得θ=2kπ－eq \f(π,2)－α(k∈Z)，
那么csθ=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)－α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))=－sinα=－eq \f(5,13)，故选B.
答案为：B.
解析：已知等式可化为atanα＋b=atanβ－btanα·tanβ，
即b(1＋tanα·tanβ)=a·(tanβ－tanα)，
∴eq \f(b,a)=eq \f(tanβ－tanα,1＋tanα·tanβ)=tan(β－α)，
又∵α＋eq \f(π,6)与β的终边相同，即β=2kπ＋α＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴tan(β－α)=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)))=taneq \f(π,6)=eq \f(\r(3),3)，即eq \f(b,a)=eq \f(\r(3),3)，故选B.
答案为：eq \f(5－12\r(3),26).
解析：由csθ=－eq \f(5,13)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))得sinθ=－eq \r(1－cs2θ)=－eq \f(12,13)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))=sinθcseq \f(π,6)－csθsineq \f(π,6)=－eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(1,2)=eq \f(5－12\r(3),26).
答案为：eq \f(1,2).
解析：eq \f(sin250°,1＋sin10°)=eq \f(1－cs100°,21＋sin10°)=eq \f(1－cs90°＋10°,21＋sin10°)=eq \f(1＋sin10°,21＋sin10°)=eq \f(1,2).
答案为：eq \f(7,8).
解析：由sinα＋csα=eq \f(\r(5),2)，得sin2α＋cs2α＋2sinαcsα=1＋sin2α=eq \f(5,4)，
所以sin2α=eq \f(1,4)，从而cs4α=1－2sin22α=1－2×(eq \f(1,4))2=eq \f(7,8).
答案为：0.
解析：∵tanα＋eq \f(1,tanα)=eq \f(10,3)，∴(tanα－3)·(3tanα－1)=0，
∴tanα=3或eq \f(1,3).∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα>1，∴tanα=3，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α=eq \f(\r(2),2)sin2α＋eq \f(\r(2),2)cs2α＋eq \f(\r(2)1＋cs2α,2)
=eq \f(\r(2),2)(sin2α＋2cs2α＋1)=eq \f(\r(2),2)eq \f(2tanα,1＋tan2α)＋2eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＋1=eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,10)－\f(16,10)＋1))=0.
解：(1)由角α的终边过点P(－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5))得sinα=－eq \f(4,5)，
所以sin(α＋π)=－sinα=eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点P(－eq \f(3,5)，－eq \f(4,5))得csα=－eq \f(3,5)，
由sin(α＋β)=eq \f(5,13)得cs(α＋β)=±eq \f(12,13).
由β=(α＋β)－α得csβ=cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα，
所以csβ=－eq \f(56,65)或csβ=eq \f(16,65).
解：(1)因为taneq \f(α,2)=eq \f(1,2)，
所以sinα=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·\f(α,2)))=2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)=eq \f(2sin\f(α,2)cs\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))=eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))=eq \f(2×\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)=eq \f(4,5).
(2)因为0<α又0<α所以sin(β－α)=eq \f(7\r(2),10)，
所以sinβ=sin[(β－α)＋α]=sin(β－α)csα＋cs(β－α)sinα
=eq \f(7\r(2),10)×eq \f(3,5)＋eq \f(\r(2),10)×eq \f(4,5)=eq \f(25\r(2),50)=eq \f(\r(2),2).
由eq \f(π,2)<β<π得β=eq \f(3,4)π.
解：(1)∵函数f(x)=eq \r(3)sinxcsx＋cs2x=eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1＋cs2x,2)=sin(2x＋eq \f(π,6))＋eq \f(1,2)，
∴函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)=π.
(2)若－eq \f(π,2)<α<0，则2α＋eq \f(π,6)∈(－eq \f(5π,6)，eq \f(π,6))，
∴f(α)=sin(2α＋eq \f(π,6))＋eq \f(1,2)=eq \f(5,6)，∴sin(2α＋eq \f(π,6))=eq \f(1,3)，
∴2α＋eq \f(π,6)∈(0，eq \f(π,6))，
∴cs(2α＋eq \f(π,6))=eq \r(1－sin22α＋\f(π,6))=eq \f(2\r(2),3)，
∴sin2α=sin(2α＋eq \f(π,6)－eq \f(π,6))=sin(2α＋eq \f(π,6))cseq \f(π,6)－cs(2α＋eq \f(π,6))sineq \f(π,6)
=eq \f(1,3)·eq \f(\r(3),2)－eq \f(2\r(2),3)·eq \f(1,2)=eq \f(\r(3)－2\r(2),6).
解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，所以10π=eq \f(2π,ω)，所以ω=eq \f(1,5).
(2)由(1)知f(x)=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,6))).又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))=－eq \f(6,5)，
所以2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＋\f(π,6)))=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))=－eq \f(6,5)，所以sin α=eq \f(3,5).
又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))=eq \f(16,17)，所以2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＋\f(π,6)))=2cs β=eq \f(16,17)，
所以cs β=eq \f(8,17).
又因为α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α=eq \f(4,5)，sin β=eq \f(15,17)，
所以cs(α＋β)=cs αcs β－sin αsin β=eq \f(4,5)×eq \f(8,17)－eq \f(3,5)×eq \f(15,17)=－eq \f(13,85).