2021年安徽濉溪县百善中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年安徽濉溪县百善中学八年级下期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=6，且 ∠ABC=90∘，则四边形 ABCD 的面积是
A. 2B. 12+2C. 1+2D. 1+22

2. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 AB 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 G，过 G 作 GE⊥AD 于点 E，若 AB=2，且 ∠1=∠2，则下列结论正确的个数有 个．
① DF⊥AB；② CG=2GA；③ CG=DF+GE；④ S四边形BFGC=3−1．
A. 1B. 2C. 3D. 4

3. 如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M，N，满足 AB=2MN，点 P 是 BC 的中点，连接 AN，PM，若 AB=6，则当 AN+PM 的最小值时，线段 AN 的长度为
A. 4B. 25C. 6D. 35

4. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2−8x+7=0 的两个根，则这个直角三角形的斜边的长是
A. 3B. 3C. 6D. 9

5. 如图，正方形 ABCD 的对角线上一动点 P，作 PM⊥AD 于点 M，PN⊥CD 于点 N，连接 BP，BN，若 AB=3，BP=5，则 BN 的长为
A. 15B. 13 或 10C. 4D. 5

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD 是 ∠BAC 的平分线．若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是
A. 2.4B. 4C. 4.8D. 5

7. 如果代数式 11−x 有意义，那么 x 的取值范围是
A. x≥1B. x>1C. x≤1D. x<1

8. 已知 m 为实数，则关于 x 的方程 x2−m−2x−2m=0 的实数根情况一定是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根D. 没有实数根

9. 在一次爱心义卖活动中，某中学九年级 6 个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为 800 ， 820 ， 930 ， 860 ， 820 ， 850 ，这组数据的众数和中位数分别是
A. 820 ， 850B. 820 ， 930C. 930 ， 835D. 820 ， 835

10. 某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为
A. 801+x2=100B. 1001−x2=80
C. 801+2x=100D. 801+x2=100

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 如图，某小区计划在一块长为 32 m，宽为 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570 m2，则道路宽 x 为 m．

13. 如图，正方形 ABCD 中，AD=4，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥ED，交 AB 于点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将 △EFG 沿 EF 翻折，得到 △EFM，连接 DM，交 EF 于点 N，若点 F 是 AB 边的中点，则 △EMN 的周长是 ．

14. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边 AC 沿着直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为 cm．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 若 x−y+y2−4y+4=0，求 1x+1y 的值．

16. 观察，猜想，证明．
观察下列的等式：
① 223=2+23；② 338=3+38；③ 4415=4+415⋯
（1）发现上述 3 个等式的规律，猜想第 5 个等式并进行验证；
（2）写出含字母 n（n 为任意自然数，且 n≥2）表示的等式，并写出证明过程．

17. 解下列关于 x 的方程并化简到最简式：
（1）x2−9x+20=0；
（2）x2+bx+2c=0 且 c2−cb2−2b4=0（字母只保留 b）；
（3）m−1x2+2mx+m+3=0（字母只保留 m）．

18. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到 BN，连接 EN，AM，CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB．
（2）①当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小?
②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小?并说明理由．
（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 3+1 时，求正方形的边长．

19. 机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克，用油的重复利用率仍为 60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克?
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油的重复利用率将增加 1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?

20. 已知，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，E 为边 AC 任意一点，连接 BE．
（1）如图 1，若 ∠ABE=15∘，O 为 BE 中点，连接 AO，且 AO=1，求 BC 的长；
（2）如图 2，F 也为 AC 上一点，且满足 AE=CF，过 A 作 AD⊥BE 交 BE 于点 H，交 BC 于点 D，连接 DF 交 BE 于点 G，连接 AG．
①若 AG 平分 ∠CAD，求证：AH=12AC；
②如图 3，当 G 落在 △ABC 外时，若将 △EFG 沿 EF 边翻折，点 G 刚好落在 BC 边上点 P，试猜想 AG 与 EF 的数量关系，不需证明．

21. 我市启动了第二届“美丽港城 ⋅ 美在悦读”全民阅读活动，为了了解市民每天的阅读时间情况，随机抽取了部分市民进行调查，根据调查结果绘制如下尚不完整的频数分布表：
阅读时间xmin0≤x<3030≤x<6060≤x<90x≥90合计频数450400 50 频率 0.40.1 1
（1）补全表格；
（2）将每天阅读时间不低于 60 min 的市民称为“阅读爱好者”，若我市约有 500 万人，请估计我市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人?

22. 11−x+11+x+21+x2+41+x4 ．

23. 如图，四边形 ABCD 为矩形，过点 D 作对角线 BD 的垂线，交 BC 的延长线于点 E，取 BE 的中点 F，连接 DF，DF=4，设 AB=x，AD=y，求 x2+y−42 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】在 Rt△ABC 中，AB=1，BC=1，
根据勾股定理得：AC=12+12=2，
在 △ACD 中，CD=2，AD=6，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD 为直角三角形，
则 S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×1×1+12×2×2=12+2．
2. C【解析】因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 ∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，
因为 ∠1=∠2，
所以 ∠GAD=∠2，
所以 AG=GD，
因为 GE⊥AD，
所以 GE 垂直平分 AD，
所以 AE=ED，
因为 F 为边 AB 的中点，
所以 AF=AE，
在 △AFG 和 △AEG 中，
AF=AE,∠FAG=∠EAG,AG=AG.
所以 △AFG≌△AEGSAS，
所以 ∠AFG=∠AEG=90∘，
所以 DF⊥AB，
所以①正确．
连接 BD，
因为 DF⊥AB，F 为边 AB 的中点，
所以 AF=12AB=1，AD=BD，
因为 AB=AD，
所以 AD=BD=AB，
所以 △ABD 为等边三角形，
所以 ∠BAD=∠BCD=60∘，
所以 ∠BAC=∠1=∠2=30∘，
所以 AC=2AB⋅cs∠BAC=2×2×32=23，
AG=AFcs∠BAC=132=233，
所以 CG=AC−AG=23−233=433，
所以 CG=2GA，
所以②正确．
因为 GE 垂直平分 AD，
所以 ED=12AD=1，
由勾股定理得：DF=AD2−AF2=22−12=3，
GE=EDtan∠2=tan30∘×1=33，
所以 DF+GE=3+33=433=CG，
所以③正确．
因为 ∠BAC=∠1=30∘，
所以 △ABC 的边 AC 上的高等于 AB 的一半，即为 1，FG=12AG=33，
S四边形BFGC=S△ABC−S△AGF=12×23×1−12×1×33=3−36=536.
所以④不正确．
3. B【解析】过 P 作 PE∥BD 交 CD 于点 E，连接 AE 交 BD 于点 N，过 P 作 PM∥AE 交 BD 于点 M，
此时，AN+PM 的值最小，
∵P 是 BC 的中点，PE∥BD，
∴E 为 CD 的中点，
∴PE=12BD，
∵AB=22BD，AB=2MN，
∴MN=12BD，
∴PE=MN，
∴ 四边形 PENM 是平行四边形，
∴EN=PM，
∵AE=AD2+DE2=35，
∵AB∥CD，
∴△ABN∽△EDN，
∴ANNE=ABDE=2，
∴AN=25．
4. B【解析】∵ −82−4×2×7=8>0，
∴ 设两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则 a+b=4，ab=72，
∴c=a2+b2=a+b2−2ab=42−2×72=9=3.
5. B
【解析】延长 NP 交 AB 于点 H．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC=45∘，AB∥CD，
∴PN⊥CD，
∵PN⊥AB，
∴∠HAP=∠HPA=45∘，
∴AH=PH，
设 AH=PH=x，则 BH=3−x，
在 Rt△PBH 中，
∵PB2=PH2+BH2，
∴x2+3−x2=52，
∴x=1或2，
当 x=1 时，BH=CN=2，在 Rt△BCN 中，BN=BC2+CN2=32+22=13，
当 x=2 时，BH=CN=1，在 Rt△BCN 中，BN=BC2+CN2=32+12=10．
综上所述，BN 的长为 13 或 10．
6. C【解析】如图，过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线．
∴PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10．
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245，
即 PC+PQ 的最小值为 4.8．
7. D
8. C【解析】Δ=m−22−4×−2m=m+22．
对于任意实数 m，都有 m+22≥0，即 Δ≥0，
所以原方程一定有两个实数根．
9. D
10. A
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 1
【解析】设道路的宽为 x m .
根据题意得：32×20−32x−2×20x+2x2=570，
整理得：x2−36x+35=0，
解得：x=1 或 x=35（不合题意，舍去）．
13. 52+102
【解析】解法一：
如图 1，过 E 作 PQ⊥DC，交 DC 于点 P，交 AB 于点 Q，连接 BE，
∵ DC∥AB，
∴ PQ⊥AB，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠ACD=45∘，
∴ △PEC 是等腰直角三角形，
∴ PE=PC，
设 PC=x，则 PE=x，PD=4−x，EQ=4−x，
∴ PD=EQ，
在 △DPE 和 △EQF 中，
∵ ∠DPE=∠EQF=90∘,∠PED=∠EFQ,PD=EQ,
∴ △DPE≌△EQF，
∴ DE=EF，
∵ DE⊥EF，
∴ △DEF 是等腰直角三角形，
由对称性易证明 △DEC≌△BEC，
∴ DE=BE，
∴ EF=BE，
∵ EQ⊥FB，
∴ FQ=BQ=12BF，
∵ AB=4，F 是 AB 的中点，
∴ BF=2，
∴ FQ=BQ=PE=1，
∴ CE=2，PD=4−1=3，
Rt△DAF 中，DF=42+22=25，DE=EF=10，
如图 2，
∵ DC∥AB，
∴ △DGC∽△FGA，
∴ CGAG=DCAF=DGFG=42=2，
∴ CG=2AG，DG=2FG，
∴ FG=13×25=253，
∵ AC=42+42=42，
∴ CG=23×42=823，
∴ EG=823−2=523，
连接 GM，GN，交 EF 于点 H，
∵ ∠GFE=45∘，
∴ △GHF 是等腰直角三角形，
∴ GH=FH=2532=103，
∴ EH=EF−FH=10−103=2103，
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=103，
∴ ∠EHM=∠DEF=90∘，
∴ DE∥HM，
∴ △DEN∽△MHN，
∴ DEMH=ENNH，
∴ 10103=ENNH=3，
∴ EN=3NH，
∵ EN+NH=EH=2103，
∴ EN=102，
∴ NH=EH−EN=2103−102=106，
Rt△GNH 中，GN=GH2+NH2=1032+1062=526，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴ △EMN 的周长 =EN+MN+EM=102+526+523=52+102；
解法二：
如图 3，过 G 作 GK⊥AD 于点 K，作 GR⊥AB 于点 R，
∵ AC 平分 ∠DAB，
∴ GK=GR，
∴ S△ADGS△AGF=12AD⋅KG12AF⋅GR=ADAF=42=2，
∵ S△ADGS△AGF=12DG⋅h12GF⋅h=2，
∴ DGGF=2，
同理，S△DNFS△MNF=DFFM=DNMN=3，
其它解法同解法一，可得：
∴ △EMN 的周长 =EN+MN+EM=102+526+523=52+102；
解法三：
如图 4，过 E 作 EP⊥AP，EQ⊥AD，
∵ AC 是对角线，
∴ EP=EQ，
易证 △DQE 和 △FPE 全等，
∴ DE=EF，DQ=FP，且 AP=EP，
设 EP=x，则 DQ=4−x=FP=x−2，解得 x=3，
∴ PF=1，
∴ AE=32+32=32，
∵ DC∥AB，
∴ △DGC∽△FGA，
∴ 同解法一得：CG=23×42=823，
∴ EG=823−2=523，AG=13AC=423，
过 G 作 GH⊥AB，过 M 作 MK⊥AB，过 M 作 ML⊥AD，
则易证 △GHF≌△FKM，
∴ GH=FK=43，HF=MK=23，
∵ ML=AK=AF+FK=2+43=103，DL=AD−MK=4−23=103，即 DL=LM，
∴ ∠LDM=45∘，
∴ DM 在正方形对角线 DB 上，
过 N 作 NI⊥AB，则 NI=IB，
设 NI=y，
∵ NI∥EP，
∴ NIEP=FIFP，
∴ y3=2−y1，解得 y=1.5，
∴ FI=2−y=0.5，
∴ I 为 FP 的中点，
∴ N 是 EF 的中点，
∴ EN=0.5EF=102，
∵ △BIN 是等腰直角三角形，且 BI=NI=1.5，
∴ BN=322，BK=AB−AK=4−103=23，BM=232，MN=BN−BM=322−232=562，
∴ △EMN 的周长 =EN+MN+EM=102+526+523=52+102．
14. 3
第三部分
15. x−y+y2−4y+4=0，
∴x−y+y−22=0，
∴x−y=0,y−2=0,
解得 x=2,y=2,
∴1x+1y=12+12=1．
16. （1） 猜想：6635=6+635，
验证：
右边=6+635=210+635=21635=36×635=6635=左边.
（2） 第 n−1 个等式：n⋅nn2−1=n+nn2−1；
证明：
右边=n+nn2−1=nn2−1+nn2−1=n3−n+nn2−1=n3n2−1=n⋅nn2−1=左边.
17. （1） ∵x2−9x+20=0，
∴x−4x−5=0，
则 x−4=0 或 x−5=0，
解得：x=4 或 x=5，
∴x1=4，x2=5．
（2） ∵c2−cb2−2b4=0，
∴c+b2c−2b2=0，
则 c=−b2 或 c=2b2，
∵Δ=b2−8c，
∴ 当 c=−b2 时，Δ=b2+8b2=9b2≥0，则 x=−b±9b22=−1±32b，
x1=b，x2=−2b，
当 c=2b2 时，Δ=b2−16b2=−15b2≤0，
仅当 b=c=0 时有解，此时 x1=x2=0．
（3） ∵a=m−1，b=2m，c=m+3，
∴Δ=2m2−4m−1m+3=−8m+12，
当 −8m+12<0，即 m>32 时，方程无解；
当 −8m+12≥0，即 m≤32 且 m≠1，x=−2m±12−8m2m−1=−m±3−2mm−1；
当 m=1 时，方程为 2x+4=0，解得 x=−2．
18. （1） ∵△ABE 是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60∘．
∵∠MBN=60∘，
∴∠MBN−∠ABN=∠ABE−∠ABN．即 ∠MBA=∠NBE．
又 MB=NB，
∴△AMB≌△ENBSAS．
（2） ①当 M 点落在 BD 的中点时，AM+CM 的值最小．
②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小．
理由如下：连接 MN．
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN．
∵∠MBN=60∘，MB=NB，
∴△BMN 是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短，
∴ 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长．
（3） 过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于点 F，
∴∠EBF=90∘−60∘=30∘．
设正方形的边长为 x，则 BF=32x，EF=x2．
在 Rt△EFC 中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴x22+32x+x2=3+12．
解得，x=2（舍去负值），
∴ 正方形的边长为 2．
19. （1） 由题意，得 70×1−60%=70×40%=28（千克）．
（2） 设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克，
由题意，得
x×1−90−x×1.6%−60%=12,
整理，得
x2−65x−750=0,
解得：
x1=75,x2=−10舍去,90−75×1.6%+60%=84%;
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28 千克．
（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是 75 千克，用油的重复利用率是 84%．
20. （1） 如图 1 中，在 AB 上取一点 M，使得 BM=ME，连接 ME．
在 Rt△ABE 中，
∵OB=OE，
∴BE=2OA=2，
∵MB=ME，
∴∠MBE=∠MEB=15∘，
∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30∘，
设 AE=x，则 ME=BM=2x，AM=3x，
∵AB2+AE2=BE2，
∴2x+3x2+x2=22，
∴x=6−22（负根已经舍弃），
∴AB=AC=2+3⋅6−22，
∴BC=2AB=3+1．
（2） ①如图 2 中，作 CP⊥AC，交 AD 的延长线于点 P，GM⊥AC 于点 M．
∵BE⊥AP，
∴∠AHB=90∘，
∴∠ABH+∠BAH=90∘，
∵∠BAH+∠PAC=90∘，
∴∠ABE=∠PAC，
在 △ABE 和 △CAP 中，∠ABE=∠PAC,AB=AC,∠BAE=∠ACP=90∘,
∴△ABE≌△CAP，
∴AE=CP=CF，∠AEB=∠P，
在 △DCF 和 △DCP 中，CD=CD,∠DCF=∠DCP,CF=CP,
∴△DCF≌△DCP，
∴∠DFC=∠P，
∴∠GFE=∠GEF，
∴GE=GF，
∵GM⊥EF，
∴FM=ME，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
∴AM=CM，
在 △AGH 和 △AGM 中，∠GAH=∠GAM,∠AHG=∠AMG,AG=AG,
∴△AGH≌△AGM，
∴AH=AM=CM=12AC；
②结论：AG=322EF．
理由：如图 3 中，作 CM⊥AC 交 AD 的延长线于点 M，连接 PG 交 AC 于点 O．
由（2）可知 △ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，
∴∠AEB=∠M=∠GEF，∠M=∠CFD=∠GFE，AE=CM=CF，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∵△EFP 是由 △EFG 翻折得到，
∴EG=EP=GF=PF，
∴ 四边形 EGFP 是菱形，
∴PG⊥AC，OE=OF，
∵AE=CF，
∴AO=OC，
∵AB∥OP，
∴BP=PC，
∵PF∥BE，
∴EF=CF=AE，
∵PB=PC，AO=OC，
∴PO=OG=12AB，
∴AB=PG，AB∥PG，
∴ 四边形 ABPG 是平行四边形，
∴AG∥BC，
∴∠GAO=∠ACB=45∘，
设 EO=OF=a，则 OA=OG=3a，AG=32a，
∴AGEF=32a2a=322，
∴AG=322EF．
21. （1） 如表所示：
阅读时间xmin0≤x<3030≤x<6060≤x<90x≥90合计频数450400100501000频率
（2） “阅读爱好者”频率为 0.1+0.05=0.15，
所以我市能称为“阅读爱好者”的市民约有 500×0.15=75（万人）．
22. 81−x8
【解析】题可采用逐步通分的方法，即先算 11−x+11+x ，用其结果再与 21+x2 相加，依次类推．
23. 由题意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
因为 BD⊥DE，F 为 BE 中点，
所以 DF=EF，DF=BF，
所以 ∠E=∠FDE，
所以 ∠BDF=∠DBF，
所以 DF=BF=4，
所以 CF=4−y，
在 Rt△CDF 中，DF2=CD2+CF2=x2+y−42=16．