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2020-2021学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1、b＝2、c＝ B．a＝1.5、b＝2、c＝3
C．a＝6、b＝8、c＝10 D．a＝3、b＝4、c＝5
3．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
4．（3分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
5．（3分）正多边形通过镶嵌能够密铺成一个无缝隙的平面，下列组合中不能镶嵌成一个平面的是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正三角形和正六边形
C．正方形和正六边形 D．正方形和正八边形
6．（3分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．3x2﹣x+2＝0 B．4x2+4x+1＝0 C．x2﹣3x﹣4＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
7．（3分）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（3分）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．630°
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）若y＝+3，则xy＝ ．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生．某村种植了杂交水稻2018年的平均亩产300千克，2020年平均亩产363千克，则此水稻亩产量的平均增长率为 ．
13．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 ．
14．（3分）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ．
16．（3分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 cm
三、计算题：（每小题5分，共10分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
四、解答题：（共5小题，共42分）
19．（7分）精准扶贫是我国扶贫开发工作中的重点工作，某村提倡贫困户在家承接手工产品提高经济收入．张大爷一家承接的手工产品成本每件10元，销售单价为20元时，每月销量为300件，销售价每降低1元，每月销量增加10件．政府根据每月销量补贴每件2元扶贫补助金．
（1）当销售单价定为15元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得3200元的收入？
20．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
21．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
22．（8分）为了了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校环保社团的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”的问卷，并在本校随机抽取了若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部成绩分成四组，并绘制了不完整的统计表和如图所示的统计图：
分组
频数
频率
60≤x＜70
a
b
70≤x＜80
24
0.4
80≤x＜90
18
c
90≤x＜100
12
0.2
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了多少名学生进行问卷测试；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果测试成绩不低于80分的为“优秀”，请你估计全校2000名学生中“优秀”的学生有多少人．
23．（12分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．
（1）概念理解：如：图1，四边形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
2020-2021学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1、b＝2、c＝ B．a＝1.5、b＝2、c＝3
C．a＝6、b＝8、c＝10 D．a＝3、b＝4、c＝5
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵12+2＝22，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
【分析】先化二次项的系数为1，然后把常数项移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．
【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：D．
4．（3分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；
＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；
S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；
故选：D．
5．（3分）正多边形通过镶嵌能够密铺成一个无缝隙的平面，下列组合中不能镶嵌成一个平面的是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正三角形和正六边形
C．正方形和正六边形 D．正方形和正八边形
【分析】由正多边形的内角拼成一个周角进行判断，ax+by＝360°（a、b表示多边形的一个内角度数，x、y表示多边形的个数）．
【解答】解：A、∵正三角形和正方形的内角分别为60°、90°，3×60°+2×90°＝360°，
∴正三角形和正方形可以镶嵌成一个平面．故A选项不符合题意；
B、∵正三角形和正六边形的内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°＝360°，或4×60°+1×120°＝360°，
∴正三角形和正六边形可以镶嵌成一个平面．故B选项不符合题意；
C、∵正方形和正六边形的内角分别为90°、120°，2×90°+1×120°＝300°＜360°且3×90°+1×120°＝390°＞360°，
∴正方形和正六边形不能镶嵌成一个平面．故C选项符合题意；
D、正方形和正八边形的内角分别为90°、135°，1×90°+2×135°＝360°，
∴正方形和正八边形可以镶嵌成一个平面．故D选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．3x2﹣x+2＝0 B．4x2+4x+1＝0 C．x2﹣3x﹣4＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的正负，由此即可得出结论．
【解答】解：A、∵△＝（﹣）2﹣4×3×2＝﹣21＜0，
∴方程3x2﹣x+2＝0无实数根；
B、∵△＝42﹣4×4×1＝0，
∴方程4x2+4x+1＝0有两个相等的实数根；
C、∵（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴方程x2﹣3x+4＝0有两个不相等的实数根；
D、∵△＝（﹣1）2﹣4××（﹣1）＝1+4＞0，
∴方程x2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的判定即可判断①；画出图形，根据菱形的判定即可判断②；根据菱形和正方形的判定即可判断③；根据三角形的中位线性质得出EF∥A′C′，EH＝B′D′，EH∥B′D′，FG＝B′D′，FG∥B′D′，求出EH＝FG，EH∥FG，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的性质得出A′C′⊥B′D′，求出∠HEF＝90°，根据矩形的判定得出四边形EFGH是矩形，即可判断④．
【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误；
②如图，
AC⊥BD，但是四边形ABCD不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误；
③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；
④如图，
∵E、F、G、H分别是菱形A′B′C′D′的边A′B′、B′C′、C′D′、A′D′的中点，
∴EF∥A′C′，EH＝B′D′，EH∥B′D′，FG＝B′D′，FG∥B′D′，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形A′B′C′D′是菱形，
∴A′C′⊥B′D′，
∵EH∥B′D′，
∴EH⊥A′C′，
∵EF∥A′C′，
∴EF⊥EH，
即∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，故④正确；
所以正确的个数是1，
故选：D．
8．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
故选：C．
9．（3分）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．630°
【分析】如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形）的情况有以上三种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断．
【解答】解：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N＝540°+180°＝720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N＝360°+180°＝540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N＝180°+180°＝360°．
故选：D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12
∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2
∴PE+PF＝4
∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）若y＝+3，则xy＝ 8 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到意，解得x＝2，再求出y，如何用根据乘方的意义求解．
【解答】解：根据题意，
解得x＝2，
所以y＝3，
所以xy＝23＝8．
故答案为8．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生．某村种植了杂交水稻2018年的平均亩产300千克，2020年平均亩产363千克，则此水稻亩产量的平均增长率为 10% ．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×1加增长率的平方＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：300×（1+x）2＝363，
解得：x＝10%或x＝﹣210%（舍去）．
答：水稻亩产量的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
13．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
＝5﹣a+a﹣2
＝3．
故答案为：3．
14．（3分）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ 1 ．
【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF＝DF；易得FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2＝42+（6﹣x）2，解方程求出x．
【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴AE＝DC，
而∠AFE＝∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC＝FA，
设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，
则FD＝6﹣x＝．
故答案为：
16．（3分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 16 cm
【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝10，BN＝ND，根据三角形中位线定理求出CD，计算即可．
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA）
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∵BN＝ND，BM＝MC，
∴CD＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝16，
故答案为：16．
三、计算题：（每小题5分，共10分）
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+3+2﹣+2
＝5+3．
18．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
【分析】把方程左边进行因式分解得到（2x﹣5）（x+1）＝0，则方程就可化为两个一元一次方程2x﹣5＝0，或x+1＝0，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：2x2﹣3x﹣5＝0，
∴（2x﹣5）（x+1）＝0，
∴2x﹣5＝0，或x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
四、解答题：（共5小题，共42分）
19．（7分）精准扶贫是我国扶贫开发工作中的重点工作，某村提倡贫困户在家承接手工产品提高经济收入．张大爷一家承接的手工产品成本每件10元，销售单价为20元时，每月销量为300件，销售价每降低1元，每月销量增加10件．政府根据每月销量补贴每件2元扶贫补助金．
（1）当销售单价定为15元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得3200元的收入？
【分析】（1）直接利用每降低1元，每月销量增加10件，表示出总销量，进而得出政府补助金额；
（2）直接利用销量×每件利润＝3200，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：2×（300+5×10）＝700（元），
答：政府本月补助张大爷一家700元；
（2）设销售单价为x元，由题意可得：
（x﹣10+2）[300+10（20﹣x）]＝3200，
解得：x1＝18，x2＝40（不合题意舍去），
答：当某月销售单价为18元时，张大爷一家能获得3200元的收入．
20．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2，，的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△ABC即为所求．
（3）△ABC即为所求．
21．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
22．（8分）为了了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校环保社团的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”的问卷，并在本校随机抽取了若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部成绩分成四组，并绘制了不完整的统计表和如图所示的统计图：
分组
频数
频率
60≤x＜70
a
b
70≤x＜80
24
0.4
80≤x＜90
18
c
90≤x＜100
12
0.2
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了多少名学生进行问卷测试；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果测试成绩不低于80分的为“优秀”，请你估计全校2000名学生中“优秀”的学生有多少人．
【分析】（1）用成绩是“70≤x＜80”的人数除以所占的百分比即可；
（2）利用总人数减去其它组的人数即可求得成绩是“60≤x＜70”的人数，从而补全条形图；
（3）利用总人数2000乘以成绩是“优秀”的学生所占的百分比即可；
【解答】解：（1）24÷0.4＝60（名），
答：共抽取了60名学生进行问卷测试；
（2）成绩在60≤x＜70范围内的A组频数 60﹣（24+18+12）＝6，
补全的频数分布直方图如下：
（3）2000×＝1000（人）
答：估计全校2000名学生中，“优秀”等次的学生约有1000人．
23．（12分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．
（1）概念理解：如：图1，四边形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理得出AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，即可得出结论；
（3）先由SAS证明△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，进而证出CE⊥BG，再根据勾股定理、结合（2）的结论计算，即可得出结果．
【解答】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：∵BA＝BC，DA＝DC，
∴BD垂直平分AC，
∴四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
Rt△COB中，OC2+OB2＝CB2，Rt△AOD中，OD2+OC2＝DC2，
∴AB2+DC2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+CB2．
（3）解：如图3，连接CG、BE，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
即CE⊥BG，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，
∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，
∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，
∴GE＝．
2020-2021学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1、b＝2、c＝ B．a＝1.5、b＝2、c＝3
C．a＝6、b＝8、c＝10 D．a＝3、b＝4、c＝5
3．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
4．（3分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
5．（3分）正多边形通过镶嵌能够密铺成一个无缝隙的平面，下列组合中不能镶嵌成一个平面的是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正三角形和正六边形
C．正方形和正六边形 D．正方形和正八边形
6．（3分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．3x2﹣x+2＝0 B．4x2+4x+1＝0 C．x2﹣3x﹣4＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
7．（3分）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（3分）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．630°
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）若y＝+3，则xy＝ ．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生．某村种植了杂交水稻2018年的平均亩产300千克，2020年平均亩产363千克，则此水稻亩产量的平均增长率为 ．
13．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 ．
14．（3分）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ．
16．（3分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 cm
三、计算题：（每小题5分，共10分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
四、解答题：（共5小题，共42分）
19．（7分）精准扶贫是我国扶贫开发工作中的重点工作，某村提倡贫困户在家承接手工产品提高经济收入．张大爷一家承接的手工产品成本每件10元，销售单价为20元时，每月销量为300件，销售价每降低1元，每月销量增加10件．政府根据每月销量补贴每件2元扶贫补助金．
（1）当销售单价定为15元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得3200元的收入？
20．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
21．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
22．（8分）为了了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校环保社团的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”的问卷，并在本校随机抽取了若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部成绩分成四组，并绘制了不完整的统计表和如图所示的统计图：
分组
频数
频率
60≤x＜70
a
b
70≤x＜80
24
0.4
80≤x＜90
18
c
90≤x＜100
12
0.2
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了多少名学生进行问卷测试；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果测试成绩不低于80分的为“优秀”，请你估计全校2000名学生中“优秀”的学生有多少人．
23．（12分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．
（1）概念理解：如：图1，四边形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
2020-2021学年安徽省宣城市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1、b＝2、c＝ B．a＝1.5、b＝2、c＝3
C．a＝6、b＝8、c＝10 D．a＝3、b＝4、c＝5
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵12+2＝22，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
【分析】先化二次项的系数为1，然后把常数项移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．
【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：D．
4．（3分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；
＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；
S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；
故选：D．
5．（3分）正多边形通过镶嵌能够密铺成一个无缝隙的平面，下列组合中不能镶嵌成一个平面的是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正三角形和正六边形
C．正方形和正六边形 D．正方形和正八边形
【分析】由正多边形的内角拼成一个周角进行判断，ax+by＝360°（a、b表示多边形的一个内角度数，x、y表示多边形的个数）．
【解答】解：A、∵正三角形和正方形的内角分别为60°、90°，3×60°+2×90°＝360°，
∴正三角形和正方形可以镶嵌成一个平面．故A选项不符合题意；
B、∵正三角形和正六边形的内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°＝360°，或4×60°+1×120°＝360°，
∴正三角形和正六边形可以镶嵌成一个平面．故B选项不符合题意；
C、∵正方形和正六边形的内角分别为90°、120°，2×90°+1×120°＝300°＜360°且3×90°+1×120°＝390°＞360°，
∴正方形和正六边形不能镶嵌成一个平面．故C选项符合题意；
D、正方形和正八边形的内角分别为90°、135°，1×90°+2×135°＝360°，
∴正方形和正八边形可以镶嵌成一个平面．故D选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．3x2﹣x+2＝0 B．4x2+4x+1＝0 C．x2﹣3x﹣4＝0 D．x2﹣x﹣1＝0
【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的正负，由此即可得出结论．
【解答】解：A、∵△＝（﹣）2﹣4×3×2＝﹣21＜0，
∴方程3x2﹣x+2＝0无实数根；
B、∵△＝42﹣4×4×1＝0，
∴方程4x2+4x+1＝0有两个相等的实数根；
C、∵（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴方程x2﹣3x+4＝0有两个不相等的实数根；
D、∵△＝（﹣1）2﹣4××（﹣1）＝1+4＞0，
∴方程x2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的判定即可判断①；画出图形，根据菱形的判定即可判断②；根据菱形和正方形的判定即可判断③；根据三角形的中位线性质得出EF∥A′C′，EH＝B′D′，EH∥B′D′，FG＝B′D′，FG∥B′D′，求出EH＝FG，EH∥FG，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的性质得出A′C′⊥B′D′，求出∠HEF＝90°，根据矩形的判定得出四边形EFGH是矩形，即可判断④．
【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误；
②如图，
AC⊥BD，但是四边形ABCD不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误；
③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；
④如图，
∵E、F、G、H分别是菱形A′B′C′D′的边A′B′、B′C′、C′D′、A′D′的中点，
∴EF∥A′C′，EH＝B′D′，EH∥B′D′，FG＝B′D′，FG∥B′D′，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形A′B′C′D′是菱形，
∴A′C′⊥B′D′，
∵EH∥B′D′，
∴EH⊥A′C′，
∵EF∥A′C′，
∴EF⊥EH，
即∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，故④正确；
所以正确的个数是1，
故选：D．
8．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
故选：C．
9．（3分）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．630°
【分析】如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形）的情况有以上三种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断．
【解答】解：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N＝540°+180°＝720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N＝360°+180°＝540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N＝180°+180°＝360°．
故选：D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12
∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2
∴PE+PF＝4
∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）若y＝+3，则xy＝ 8 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到意，解得x＝2，再求出y，如何用根据乘方的意义求解．
【解答】解：根据题意，
解得x＝2，
所以y＝3，
所以xy＝23＝8．
故答案为8．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生．某村种植了杂交水稻2018年的平均亩产300千克，2020年平均亩产363千克，则此水稻亩产量的平均增长率为 10% ．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×1加增长率的平方＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：300×（1+x）2＝363，
解得：x＝10%或x＝﹣210%（舍去）．
答：水稻亩产量的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
13．（3分）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
＝5﹣a+a﹣2
＝3．
故答案为：3．
14．（3分）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ 1 ．
【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF＝DF；易得FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2＝42+（6﹣x）2，解方程求出x．
【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴AE＝DC，
而∠AFE＝∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC＝FA，
设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，
则FD＝6﹣x＝．
故答案为：
16．（3分）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 16 cm
【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝10，BN＝ND，根据三角形中位线定理求出CD，计算即可．
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA）
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∵BN＝ND，BM＝MC，
∴CD＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝16，
故答案为：16．
三、计算题：（每小题5分，共10分）
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+3+2﹣+2
＝5+3．
18．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．
【分析】把方程左边进行因式分解得到（2x﹣5）（x+1）＝0，则方程就可化为两个一元一次方程2x﹣5＝0，或x+1＝0，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：2x2﹣3x﹣5＝0，
∴（2x﹣5）（x+1）＝0，
∴2x﹣5＝0，或x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
四、解答题：（共5小题，共42分）
19．（7分）精准扶贫是我国扶贫开发工作中的重点工作，某村提倡贫困户在家承接手工产品提高经济收入．张大爷一家承接的手工产品成本每件10元，销售单价为20元时，每月销量为300件，销售价每降低1元，每月销量增加10件．政府根据每月销量补贴每件2元扶贫补助金．
（1）当销售单价定为15元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得3200元的收入？
【分析】（1）直接利用每降低1元，每月销量增加10件，表示出总销量，进而得出政府补助金额；
（2）直接利用销量×每件利润＝3200，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：2×（300+5×10）＝700（元），
答：政府本月补助张大爷一家700元；
（2）设销售单价为x元，由题意可得：
（x﹣10+2）[300+10（20﹣x）]＝3200，
解得：x1＝18，x2＝40（不合题意舍去），
答：当某月销售单价为18元时，张大爷一家能获得3200元的收入．
20．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2，，的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△ABC即为所求．
（3）△ABC即为所求．
21．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
22．（8分）为了了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校环保社团的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”的问卷，并在本校随机抽取了若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部成绩分成四组，并绘制了不完整的统计表和如图所示的统计图：
分组
频数
频率
60≤x＜70
a
b
70≤x＜80
24
0.4
80≤x＜90
18
c
90≤x＜100
12
0.2
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了多少名学生进行问卷测试；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果测试成绩不低于80分的为“优秀”，请你估计全校2000名学生中“优秀”的学生有多少人．
【分析】（1）用成绩是“70≤x＜80”的人数除以所占的百分比即可；
（2）利用总人数减去其它组的人数即可求得成绩是“60≤x＜70”的人数，从而补全条形图；
（3）利用总人数2000乘以成绩是“优秀”的学生所占的百分比即可；
【解答】解：（1）24÷0.4＝60（名），
答：共抽取了60名学生进行问卷测试；
（2）成绩在60≤x＜70范围内的A组频数 60﹣（24+18+12）＝6，
补全的频数分布直方图如下：
（3）2000×＝1000（人）
答：估计全校2000名学生中，“优秀”等次的学生约有1000人．
23．（12分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．
（1）概念理解：如：图1，四边形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理得出AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，即可得出结论；
（3）先由SAS证明△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，进而证出CE⊥BG，再根据勾股定理、结合（2）的结论计算，即可得出结果．
【解答】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：∵BA＝BC，DA＝DC，
∴BD垂直平分AC，
∴四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
Rt△COB中，OC2+OB2＝CB2，Rt△AOD中，OD2+OC2＝DC2，
∴AB2+DC2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+CB2．
（3）解：如图3，连接CG、BE，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
即CE⊥BG，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，
∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，
∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，
∴GE＝．
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