2021年北京平谷区一起作业演示学校1（初中）八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区一起作业演示学校1（初中）八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 △ABC 中，AB=AC，若 ∠A=40∘，则 ∠C 为
A. 40∘B. 70∘C. 40∘ 或 70∘D. 100∘

2. 2020 年 12 月 1 日下午 6 点，京张高铁延庆线正式启用，“复兴号”列车在北京北站与延庆站之间往返，途径清河站、昌平站、八达岭站、如图是从北京北站到延庆站的线路图，其中延庆站到八达岭站，全长 9.33 公里、某天“复兴号”列车从八达岭站出发，终点为北京北．列车始终以每小时 160 公里的速度匀速行驶，那么在到达昌平站之前，“复兴号”列车到延庆站的距离与对应的行驶的时间满足的函数关系是
A. 正比例函数关系B. 反比例函数关系
C. 一次函数关系D. 二次函数关系

3. 甲乙两人匀速从同一地点到 1500 米处的图书馆看书，甲出发 5 分钟后，乙以 50 米/分的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距 s（米），甲行走的时间为 t（分），s 关于 t 的函数图象的一部分如图所示．下列结论正确的个数是
（1）t=5 时，s=150；
（2）t=35 时，s=450；
（3）甲的速度是 30 米/分；
（4）t=12.5 时，s=0．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列各式不能用平方差公式法分解因式的是
A. x2−4B. −x2−y2+2xy
C. m2n2−1D. a2−4b2

6. 已知 a=−2−2，b=−22，c=12−2，那么不等关系中，正确的是
A. b
7. 下列各式中，正确的是
A. ba=b2a2B. a2+b2a+b=a+b
C. 2y2x+y=yx+yD. 1−x+y=−1x−y

8. 一次函数 y=kx+b 的的 x 与 y 的部分对应值如表所示，根据表中数值分析，下列结论正确的是
x⋯−1012⋯y⋯52−1−4⋯
A. y 随 x 的增大而增大
B. x=2 是方程 kx+b=0 的解
C. 一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限
D. 一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 12,0

9. 如图，AC，BD 交于 E 点，AC=BD，AE=BE，∠B=37∘，∠1=97∘，则 ∠D 的度数是
A. 60∘B. 35∘C. 50∘D. 75∘

10. 已知点 A−2,1，B2,3，若要在 x 轴上找一点 P，使 AP+BP 最短，由此得点 P 的坐标为
A. −4,0B. −32,0C. −1,0D. 1,0

二、填空题（共9小题；共45分）
11. 若分式 x+3x−1 的值为 0，则 x= ．

12. 计算：−3a2b33⋅2ab−2= ．

13. 一个多边形的每一个外角为 30∘，那么这个多边形的边数是 ．

14. 某种电子元件的面积大约为 0.00000069 平方毫米，将 0.00000069 这个数用科学记数法表示为 ．

15. 计算：−a2bc2= ．

16. 若一次函数 y=kx+b（k≠0）与函数 y=12x+1 的图象关于 x 轴对称，且交点在 x 轴上，则这个函数的表达式为： ．

17. 在 △ABC 中，∠ABC=48∘，点 D 在 BC 边上，且满足 ∠BAD=18∘，DC=AB，则 ∠CAD= 度．

18. ①等腰三角形；②正方形；③正七边形；④平行四边形；⑤梯形；⑥菱形中，一定是轴对称图形的是 （填序号）．

19. 记 y=x21+x2=fx，并且 f1 表示当 x=1 时 y 的值，即 f1=121+12=12，那么 f1+f2+f12+f3+f13+⋯+fn+f1n= （n 为正整数）．

三、解答题（共10小题；共130分）
20. 因式分解：
（1）x2−9；
（2）2x2−2y2．

21. 先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷1+x2x−2x，其中 x=2+1．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 D 在边 AB 上，使 DB=BC，过点 D 作 EF⊥AC，分别交 AC 于点 E 、 CB 的延长线于点 F．求证：AB=BF．

23. 一次函数 y=kx−3 的图象经过点 1,−2．
（1）求这个一次函数关系式．
（2）点 2,−1 是否在此函数的图象上．说明理由．
（3）当 x 为何值时，y≤0．

24. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

25. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠B 的平分线交 AC 于 D，AE∥BC 交 BD 的延长线于点 E，AF⊥AB 交 BE 于点 F．
（1）若 ∠BAC=40∘，求 ∠AFE 的度数；
（2）若 AD=DC=2，求 AF 的长．

26. 如图，点 D，E 在 △ABC 的边 BC 上，连接 AD，AE．① AB=AC；② AD=AE；③ BD=CE，以这三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．
（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．

27. 如图，在 3×3 的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中 △ABC 是一个格点三角形．
（1）请在每一个备选图中作出一个与 △ABC 成轴对称的格点三角形；（不能重复）
（2）在这个 3×3 的正方形格纸中，与 ABC 成轴对称的格点三角形最多有 个．

28. 如图，已知直线 c 和直线 b 相交于点 2,2，直线 c 过点 0,3．平行于 y 轴的动直线 a 的解析式为 x=t，且动直线 a 分别交直线 b，c 于点 D，E（E 在 D 的上方）．
（1）求直线 b 和直线 c 的解析式；
（2）若 P 是 y 轴上一个动点，且满足 △PDE 是等腰直角三角形，求点 P 的坐标．

29. 已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D．
（1）如图 1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，连接 AF 交 CD 于点 G．求证：AG=GF．
（2）如图 2，点 E 是线段 CB 上一点（CE<12CB），连接 ED，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到 EF，连接 AF 交 CD 于点 G．若 AC=BC=7，CE=2，求 DG 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又 ∵∠A=40∘，
∴∠C=12180∘−∠A=12180∘−40∘=70∘．
2. C【解析】设列车到延庆站的距离为 y，行驶时间为 x，
由题意得 y=9.33+160x．
3. D【解析】由图象可知，当 t=5 时，s=150，故（1）正确；
当 t=35 时，s=450，故（2）正确；
甲的速度是 150÷5=30 米/分，故（3）正确；
令 30t=50t−5，解得 t=12.5，即当 t=12.5 时，s=0，故（4）正确．
4. C【解析】选项A，B，D都是轴对称图形，且对称轴都是竖直的，选项C的图形的轮廓也是轴对称图形，但内部图案不是轴对称图形（是中心对称图形）．
故选C．
5. B
6. A
7. D【解析】A：分式的分子和分母同时乘以一个不为 0 的数时，分式的值不变，即 ba≠b2a2，故选项A错误；
B：a2+b2a+b 不能再进行约分，即 a2+b2a+b≠a+b，故选项B错误；
C：只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分，即 2y2x+y≠yx+y，故选项C错误；
D：1−x+y=−1x−y，故选项D正确．
故答案选择D．
8. C【解析】根据表格可求得该一次函数解析式是：y=−3x+2．
A选项，因为 k<0，所以 y 随 x 的增大而减小，故A错误；
B选项，由表格可知，x=2 时，y=−4≠0，故B错误；
C选项，因为 k<0，b>0，所以图象经过一、二、四象限，故C正确；
D选项，令 y=0，解得 x=23，所以函数图象与 x 轴的交点是 23,0，故D错误．
故选C．
9. A【解析】∵AC=BD，AE=BE，
∴BD−BE=AC−AE，即 ED=EC．
在 △ADE 和 △BCE 中，
AE=BE,∠AED=∠BEC,ED=EC,
∴△ADE≌△BCE，
∴∠A=∠B=37∘，
∵∠1=97∘，
∴∠AED=180∘−97∘=83∘，
∴∠D=180∘−37∘−83∘=60∘．
10. C
第二部分
11. −3
12. −274a4b7
13. 12
14. 6.9×10−7
15. a4b2c2
16. y=−12x−1
【解析】∵ 两函数图象交于 x 轴，
∴0=12x+1，
解得：x=−2，
∴0=−2k+b，
∵y=kx+b 与 y=12x+1 关于 x 轴对称，
∴b=−1，
∴k=−12，
∴y=−12x−1．
17. 66
【解析】在线段 DC 取点 E，CE=BD，连接 AE，
∵CE=BD，
∴BE=CD，
∵AB=CD，
∴AB=BE，∠BAE=∠BEA=180∘−48∘÷2=66∘，
∴∠DAE=48∘，∠AED=66∘，
∴△ADB≌△AEC，
∴∠BAD=∠CAE=18∘，
∴∠CAD=∠DAE+∠CAE=66∘．
18. ①②③⑥
19. n−12
第三部分
20. （1） 原式=x+3x−3．
（2） 原式=2x2−y2=2x+yx−y．
21. 原式=x+12xx+1÷1+x2−2x2x=x+12xx+1⋅x1+x1−x=11−x,
当 x=2+1 时，
原式=11−2−1=−22．
22. ∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90∘．
∵∠ABC=90∘，
∴∠A+∠C=90∘，
∴∠A=∠F．
∵DB=BC，∠FBD=∠ABC，
∴△FBD≌△ABC．
∴AB=BF．
23. （1） ∵ 把 x=1，y=−2 代入一次函数 y=kx−3 得：k−3=−2，
解得 k=1，
∴ 一次函数关系式为 y=x−3．
（2） ∵ 当 x=2 时，y=2−3=−1，
∴ 点 2,−1 在此函数的图象上．
（3） 由 y=0 得，x−3=0，解得 x=3，
∵k=1>0，
∴ 当 x≤3 时，y≤0．
24. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．
25. （1） 因为 AB=AC，∠BAC=40∘，
所以 ∠ABC=180∘−40∘2=70∘，
因为 BD 平分 ∠ABC，
所以 ∠ABD=∠DBC=12×70∘=35∘，
因为 AF⊥AB，
所以 ∠BAF=90∘，
所以 ∠AFE=∠BAF+∠ABD=90∘+35∘=125∘．
（2） 因为 AE∥BC，
所以 ∠E=∠DBC，
又 ∠ADE=∠CDB，AD=CD，
所以 △ADE≌△CDB，
所以 AE=CB，
因为 ∠E=∠DBC，∠ABD=∠DBC，
所以 ∠E=∠ABD，
所以 AB=AE，
所以 AB=CB=AC，
所以 △ABC 为等边三角形，
所以 ∠ABC=60∘，
所以 ∠ABD=30∘，
因为 AD=DC=2，
所以 AB=4，
在 Rt△ABF 中，AF=AB⋅tan30∘=4×33=433．
26. （1） ①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．
（2） 选择 ①③⇒②，
证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
在 △ABD 和 △ACE 中，AB=AC,∠B=∠C,BD=CE.
∴ △ABD≌△ACE，
∴ AD=AE．
27. （1） 与 △ABC 成轴对称的格点三角形如图所示．（答案不唯一）
（2） 6
28. （1） 设直线 b 的解析式为：y=kx，
把 2,2 代入 y=kx 得，k=1，
∴ 直线 b 的解析式为：y=x；
设直线 c 的解析式为：y=kx+b，
把点 2,2，点 0,3 代入得，2k+b=2,b=3,
∴k=−12,b=3,
∴ 直线 c 的解析式为：y=−12x+3．
（2） ∵ 当 x=t 时，y=x=t；当 x=t 时，y=−12x+3=−12t+3，
∴E 点坐标为 t,−12t+3，D 点坐标为 t,t．
∵E 在 D 的上方，
∴DE=−12t+3−t=−32t+3，且 t<2，
∵△PDE 为等腰直角三角形，
∴PE=DE 或 PD=DE 或 PE=PD．
t>0 时，PE=DE 时，−32t+3=t，
∴t=65，−12t+3=125，
∴P 点坐标为 0,125，
①若 t>0，PD=DE 时，−32t+3=t，
∴t=65．
∴P 点坐标为 0,65；
②若 t>0，PE=PD 时，即 DE 为斜边，
∴−32t+3=2t，
∴t=67，DE 的中点坐标为 t,14t+32，
∴P 点坐标为 0,127．
若 t<0，PE=DE 和 PD=DE 时，由已知得 DE=−t，−32t+3=−t，t=6>0（不符合题意，舍去），此时直线 x=t 不存在．
③若 t<0，PE=PD 时，即 DE 为斜边，由已知得 DE=−2t，−32t+3=−2t，
∴t=−6，14t+32=0，
∴P 点坐标为 0,0，
综上所述：当 t=65 时，△PDE 为等腰直角三角形，此时 P 点坐标为 0,125 或 0,65；
当 t=67 时，△PDE 为等腰直角三角形，此时 P 点坐标为 0,127；
当 t=−6 时，△PDE 为等腰直角三角形，此时 P 点坐标为 0,0．
29. （1） ∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CF，
∴∠FCD=90∘，CF=CD，
∵ 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CD⊥AB 于 D，
∴AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∴CF=AD，
又 ∵∠AGD=∠CGF，且 ∠ADG=∠FCG=90∘，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴AG=GF．
（2） 过点 E 作 EM⊥CB 交 CD 于点 M，连接 MF，
由（1）知 D 为 AB 的中点，CD=BD=AD，
∴∠DCB=45∘，
∴△CEM 为等腰直角三角形，
∴CE=ME，
又 ∵∠CEM=∠DEF=90∘，
∴∠CED=∠MEF，
∵ 将线段 DE 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到 EF，
∴DE=EF，
∴△CED≌△MEF（SAS），
∴CD=MF，∠EMF=∠ECD=45∘，
∴AD=CD=MF，∠CMF=∠FMG=90∘，
又 ∵∠ADG=90∘，
∴∠ADG=∠FMG，
∵∠MGF=∠AGD，
∴△ADG≌△FMG（AAS），
∴AG=GF，DG=MG；
∵∠ACB=90∘，AC=BC=7，
∴AB=AC2+BC2=72，
∴CD=12AB=722，
∵CE=2，CE=ME，
∴CM=CE2+ME2=22+22=22，
∴DM=CD−CM=722−22=322，
∴DG=MG=12DM=342．