2021年北京平谷区二中八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区二中八年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 计算 2−2 的结果是
A. 14B. 4C. −4D. −14

2. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列四个多项式中，不能因式分解的是
A. ab−ab2+bB. a2+9C. a2−4b2D. 2a2+12a+18

4. 下列各式中，正确的是
A. ba=b2a2B. a2+b2a+b=a+b
C. 2y2x+y=yx+yD. 1−x+y=−1x−y

5. 如图，在点 M，N，P，Q 中，一次函数 y=kx+2k<0 的图象不可能经过的点是
A. MB. NC. PD. Q

6. 下列等式从左到右变形正确的是
A. yx=y+1x+1B. yx=ayaxC. yx=a2ya2xD. yx=a2+1ya2+1x

7. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定是
A. 形状、大小均相同B. 形状相同，但大小不同
C. 大小相同，但形状不同D. 形状、大小均不相同

8. 等腰三角形两边长分别是 5 cm 和 12 cm，则这个三角形的周长为
A. 17 cmB. 22 cm 或 29 cmC. 22 cmD. 29 cm

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，AB=15，则 △ABD 的面积是

A. 15B. 30C. 45D. 60

10. 对于实数 a，b，定义符号 mina,b，其意义为：当 a≥b 时，mina,b=b；当 aA. 2B. 3C. 43D. 53

二、填空题（共9小题；共45分）
11. 若代数式 1x−7 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

12. 已知 x2+4mx+16 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值为 ．

13. 在平面直角坐标系中，点 A3,−1，B3,−7 是一对关于某直线 l 对称的对称点，则点 C−2,−13 关于直线 l 的对称点的坐标为 ．

14. 如图所示，已知 ∠1=∠2，请你添加一个条件，使 △ABC≌△BAD，你的添加条件是 （填一个即可）．

15. 如图，已知函数 y=2x+b 与函数 y=kx﹣3 的图象交于点 P，则不等式 kx−3>2x+b 的解集是 ．

16. 如图所示是一块三角形镜子，小明不小心打碎成①②两块，现需配同样形状和大小的镜子．若只带其中一块，则须带 块去，理由是 ．

17. 如图，AD⊥BC，BA=EC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，若 DB=3，则 CD= ．

18. 化简：x+1x2+2x+1= ．

19. 如图 1，在长方形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，三角形 MNR 的面积为 y，如果 y 随 x 变化的图象如图 2 所示，则三角形 MNR 的最大的面积是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
20. 分解因式：
（1）3x2+6xy+3y2；
（2）a+b2−6a+b+9．

21. （1）化简： m+n−m−n2m+n ；
（2）若 m,n 是方程 x2−3x+2=0 的两个实根，求第（1）小题中代数式的值．

22. 计算：3m−m2m2+2m÷m−2−5m+2．

23. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

24. 如图，已知 ∠1=∠2，AD=AB，∠E=∠C，求证：△ADE≌△ABC．

25. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

26. 将直线 y=kx+3 沿 y 轴翻折后恰好经过点 P2,1，求 k 的值．

27. 阅读以下材料，解答问题：
例：设 y=x2+6x−1，求 y 的最小值．
解：
y=x2+6x−1=x2+2×3×x+32−32−1=x+32−10.
∵ x+32≥0，
∴ x+32−10≥−10 即 y 的最小值是 −10．
问题：
（1）设 y=x2−4x+5，求 y 的最小值．
（2）设 y=−x2−4x+5，求 y 的最大值．
（3）已知：2a2+4a+b2−4b+6=0，求 ab 的算术平方根．

28. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点，连接 BD，延长 BC 至 E，使 CE=CD，连接 DE．
（1）求 ∠E 的度数?
（2）说明 DB 与 DE 相等的理由．

29. 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算" # "法则：a#b#c=∣a−b−c∣+a+b+c2．
如：−1#2#3=∣−1−2−3∣+−1+2+32=5
（1）计算：4#−2#−5= .
（2）计算：3#−7#113= .
（3）在 −67，−57，⋯ ， −17 ， 0 ， 19 ， 29 ， ⋯ ， 89 这 15 个数中：
①任取三个数为 a 、 b 、 c 的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果的最小值是 ；
②若将这 15 个数任意分成 5 组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是 .

30. 已知 △ABC 和 △ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90∘，F 为 BE 的中点，连接 DF，CF．
（1）如图①，当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请直接写出此时线段 DF，CF 的数量关系和位置关系．
（2）如图②，在 1 的条件下将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 45∘，请你判断此时 1 中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
（3）如图③，在 1 的条件下将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90∘，若 AD=1，AC=22，求此时线段 CF 的长（直接写出结果）．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B【解析】A. ab−ab2+b=ba−ab+1，能因式分解，不符合题意；
B. a2+9 不能因式分解，符合题意；
C. a2−4b2=a+2ba−2b，能因式分解，不符合题意；
D. 2a2+12a+18=2a+32，能因式分解，不符合题意．
4. D【解析】A：分式的分子和分母同时乘以一个不为 0 的数时，分式的值不变，即 ba≠b2a2，故选项A错误；
B：a2+b2a+b 不能再进行约分，即 a2+b2a+b≠a+b，故选项B错误；
C：只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分，即 2y2x+y≠yx+y，故选项C错误；
D：1−x+y=−1x−y，故选项D正确．
故答案选择D．
5. D
6. D【解析】A 、分子分母加减，分式的值改变，故A错误；
B 、当 a=0 时分式无意义，故B错误；
C 、当 a=0 时分式无意义，故C错误；
D 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D正确．
7. A【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状、大小均相同．故选A．
8. D
9. B
10. B
第二部分
11. x≠7
12. 2 或 −2
13. −2,5
14. BC=AD 或 ∠C=∠D 或 ∠ABD=∠BAC
15. x<4
16. ①，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
17. 3
【解析】∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴AC=CE，
又 ∵BA=EC，
∴BA=CA，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=3．
18. 1x+1
19. 12
【解析】当 R 在 PN 上运动时，面积 y 不断在增大，
当到达点 P 时，面积开始不变，到达 Q 后面积不断减小，
由图 2 可知：
当 x=4 时，点 R 与点 P 重合，PN=4，
当 x=10 时，点 R 与点 Q 重合，PQ=10−4=6，
所以矩形 PQMN 的面积为 4×6=24，
三角形 MNR 的最大的面积是 24÷2=12．
第三部分
20. （1） 原式=3x2+2xy+y2=3x+y2.
（2） 原式=a+b−32=a+b−32.
21. （1） m+n−m−n2m+n=4mnm+n .
（2） ∵m+n=3,m⋅n=2,
∴m+n−m−n2m+n=4mnm+n=83 .
22. 原式=m3−mmm+2÷m+2m−2−5m+2=m3−mmm+2×m+2m2−4−5=−m−3m+2×m+2m+3m−3=−1m+3.
23. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
24. ∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即 ∠BAC=∠DAE，
在 △ADE 和 △ABC 中，∠E=∠C,∠DAE=∠BAC,AD=AB,
∴△ADE≌△ABCAAS．
25. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．
26. 直线 y=kx+3 翻折前过点 −2,1，将 −2,1 代入 y=kx+3，得 k=1．
27. （1） 配方得：
y=x2−4x+5=x2−4x+22+1=x−22+1,
∵ x−22≥0，
∴ x−22+1≥1，即 y 的最小值是 1．
（2） 配方得：
y=−x2−4x+5=−x2+4x+22+4+5=−x+22+9,
∵ x+22≥0，
∴ −x+22≤0，
∴ −x+22+9≤9，即 y 的最大值是 9．
（3） ∵2a2+4a+b2−4b+6=2a2+2×2×a+2×12+b2−2×2b+22=2a+12+b−22=0.
∵ 2a+12≥0，b−22≥0．
∴ a+1=0，b−2=0，
∴ a=−1，b=2，
∴ ab=−2，
则 ab 的算术平方根不存在．
28. （1） 30∘．
（2） 略
29. （1） 原式=∣4+2+5∣+4+−2+−52=4 ．
（2） 原式=3+7−113+3+−7+1132=6 ．
（3） 当 a所以当 a=−67 ， b=−57 ， c=0 时， 原式最小=−57 .
当 a≥b+c 是， 原式=a−b+c+a+b+c2=a ．
所以当 b=−67 ， c=0 时， a=−67 ，
所以 原式最小=−47 .
30. （1） DF=CF，DF⊥CF．
【解析】∵ ∠ACB=∠ADE=90∘，F 为 BE 的中点，
∴ DF=12BE，CF=1212BE，
∴ DF=CF．
∵ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠ABC=45∘．
∵ BF=DF，
∴ ∠DBF=∠BDF．
∵ ∠DFE=∠DBF+∠BDF，
∴ ∠DFE=2∠DBF．
同理，∠CFE=2∠CBF，
∴ ∠DFE+∠CFE=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90∘，
∴ DF⊥CF．
（2） 成立．
如图，延长 DF 交 BC 于点 G．
∵ ∠ADE=∠ACB=90∘，
∴ DE∥BC．
∴ ∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵ F 为 BE 的中点，
∴ EF=BF．
∴ △DEF≌△GBF AAS．
∴ DE=GB，DF=GF．
∵ AD=DE，
∴ AD=GB，
∵ AC=BC，
∴ AC−AD=BC−GB，
即 DC=GC，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ △DCG 是等腰直角三角形．
∵ DF=GF，
∴ DF=CF，DF⊥CF．
（3） 如图，延长 DF 交 BA 于点 H．
∵ △ABC 和 △ADE 是等腰直角三角形，
∴ AC=BC，AD=DE，
∠AED=∠ABC=45∘．
由旋转可知 ∠CAE=∠BAD=∠ACB=90∘，
∴ AE∥BC，
∴ ∠AEB=∠CBE，
∴ ∠DEF=∠HBF．
∵ F 是 BE 的中点，
∴ EF=BF，
又 ∵ ∠DFE=∠HFB，
∴ △DEF≌△HBFASA．
∴ ED=BH．
∵ BC=AC=22，∠ACB=90∘，
∴ AB=4．
∵ BH=ED=AD=1，
∴ AH=3．
∵ ∠BAD=90∘，
∴ DH=10，
∴ DF=102．
∴ CF=102．