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2021年北京房山区岳各庄中学八年级上期末数学试卷
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这是一份2021年北京房山区岳各庄中学八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是
A. B.
C. D.
2. 下列说法中正确的是
A. 两个无理数的差一定是无理数
B. 两个无理数的商一定是无理数
C. 两个无理数的积一定是无理数
D. 有理数和无理数的和一定是无理数
3. 用以下各组线段为边，可以组成三角形的是
A. 2 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，5 cm，7 cm
C. 2 cm，5 cm，8 cmD. 4 cm，5 cm，8 cm
4. 下列等式从左到右变形正确的是
A. yx=y+1x+1B. yx=ayaxC. yx=a2ya2xD. yx=a2+1ya2+1x
5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A. 15B. 0.5C. 5D. 50
6. 知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到 B，C 两处景区游玩，他们从家 A 处出发，向正北行驶 160 km 到达 B 处，若在 A 处测得景区 C 在北偏西 34∘ 方向上，且 ∠ACB=32∠BAC，则在 B 处测得景区 C 应位于
A. 北偏西 68∘B. 南偏西 85∘C. 北偏西 85∘D. 南偏西 68∘
7. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18
8. 设 5=m，7=n，则 0.056 可以表示为
A. mn25B. mn20C. mn15D. mn10
9. 若三角形的三边长分别是 a，b，c，且 a−252+a−b−1+∣c−4∣=0，则这个三角形的周长是
A. 25+5B. 45−3C. 45+5D. 45+3
10. 如图所示，已知线段 a，h，作等腰 △ABC，使 AB=AC，且 BC=a，BC 边上的高 AD=h．小红的作法如下：
①作线段 BC=a；
②作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D；
③在直线 MN 上截取线段 h；
④连接 AB，AC，△ABC 为所求的等腰三角形．
上述步骤中，错误的一步是
A. ①B. ②C. ③D. ④
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 a 、 b 互为相反数，c 、 d 互为负倒数，则 a+b+3cd= .
12. 当 x 时，分式 x2−1x+1 的值为零．
13. 81 的算术平方根是 ．
14. 若整数 x 满足 ∣x∣≤3，则使 7−x 为整数的 x 的值是 ．
15. 已知等腰三角形的一个内角等于 100∘，那么这个等腰三角形的底角等于 度．
16. 如果等腰直角三角形斜边上的高等于 5 cm，那么连接这个三角形两条直角边中点的线段长等于 cm．
17. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论中：
① ∠ABC=∠ADC；
② AC 与 BD 相互平分；
③ AC，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；
④四边形 ABCD 的面积 S=12AC⋅BD．
正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
18. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．
三、解答题（共11小题；共143分）
19. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．
20. 计算：5×6−215÷15．
21. 先化简，再求值：x−2−12x+2÷4−xx+2，其中 x=−4+3．
22. 已知 a=2−1，求 a2+1a2−2 的值．
23. 解关于 x 的方程：x+1x+2+x+6x+7=x+2x+3+x+5x+6．
24. 先化简，再求值：a−2a2+2a−a−1a2+4a+4÷a−4a+2，其中 a=−1．
25. 某校八年级学生到离学校 25 km 处的时思社会实践基地进行社会实践活动，部分同学骑自行车出发 40 分钟后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的 3 倍，全体学生同时到达，求自行车的速度?
26. 解分式方程：3x2−9−2x−3=1x+3．
27. 如图，在 △ABC 中，AB=AC．
（1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB，连 AE，作 ∠EAC 的平分线 AF，AF 交 DE 于点 F （ 用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ）；
（2）在（1）条件下，连接 CF，求证：∠E=∠ACF．
28. 当 a=2 时，求下列二次根式的值．
（1）4a−8．
（2）a2−2a+5．
29. 如图，将 △ADE 沿 DE 折叠，点 A 恰好落在 BC 边上的点 Aʹ 处．若 D 为 AB 边的中点，∠B=50∘，求 ∠BDAʹ 的度数．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. D【解析】A 、分子分母加减，分式的值改变，故A错误；
B 、当 a=0 时分式无意义，故B错误；
C 、当 a=0 时分式无意义，故C错误；
D 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D正确．
5. C
6. C【解析】如图，
根据题意可知 ∠A=34∘，
∵∠ACB=32∠BAC，
∴∠ACB=32×34∘=51∘．
由三角形外角的性质可知 ∠1=∠ACB+∠BAC=34∘+51∘=85∘．
故选C．
7. C
8. A【解析】0.056=561000=56010000=16×5×710000=4×5×7100=mn25
9. D
10. C
第二部分
11. −1
12. x=1
13. 3
14. −2 或 3
15. 40
16. 5
17. ①④
【解析】①在 △ABC 和 △ADC 中，
AB=AD,BC=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADCSSS，
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
② ∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而 AB 与 BC 不一定相等，所以 AO 与 OC 不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的 ∠BAD，∠BCD，
而 AB 与 BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的 ∠ABC，∠ADC；
故③结论不正确；
④ ∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=12BD⋅AO+12BD⋅CO=12BD⋅AO+CO=12AC⋅BD.
故④结论正确；
所以正确的有：①④．
18. 322+16
第三部分
19. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12
20. 2−2
21. 原式=x−2x+2−12x+2÷4−xx+2=x2−16x+2×x+24−x=x+4x−4x+2×−x+2x−4=−x+4.
当 x=−4+3 时，
原式=−−4+3−4=4−3−4=−3.
22. ∵ a=2−1，
∴ 1a=2+1，
∴ 原式=a−1a2=4=2．
23. 根据题意移项，得
x+2x+3−x+1x+2=x+6x+7−x+5x+6.
左右两边通分，得
1x+3x+2=1x+7x+6.
解方程可得
x=−92.
24. 原式=a−2aa+2−a−1a+22÷a−4a+2=a2−4aa+22−a2−aaa+22÷a−4a+2=a−4aa+22⋅a+2a−4=1a2+2a.
当 a=−1 时，原式=1−12+2×−1=−1．
25. 设自行车的速度为 x km/h，则汽车的速度是 3x km/h，
25x−4060=253x,
解之得：
x=25,
经检验；x=25 是方程的解，
答：自行车的速度是 25 km/h．
26.
3−2x+3=x−3.3−2x−6=x−3.−3x=0.x=0.
经检验，x=0 是原方程的解，
∴ 原方程的解是
x=0.
27. （1） 如图．
（2）
∵AF 平分 ∠EAC，
∴∠EAF=∠CAF．
∵AE=AB=AC，
AF=AF．
∴△ACF≌△AEF．
∴∠E=∠ACF．
28. （1） 当 a=2 时，
4a−8=4×2−8=0=0.
（2） 当 a=2 时，
a2−2a+5=22−2×2+5=5.
29. ∵D 是 AB 的中点，
∴BD=AD．
由折叠的性质，得
AʹD=AD，
∴BD=AʹD．
∴∠BAʹD=∠B=50∘．
∵∠B+∠BAʹD+∠BDAʹ=180∘，
∴∠BDAʹ=180∘−∠B−∠BAʹD=80∘．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是
A. B.
C. D.
2. 下列说法中正确的是
A. 两个无理数的差一定是无理数
B. 两个无理数的商一定是无理数
C. 两个无理数的积一定是无理数
D. 有理数和无理数的和一定是无理数
3. 用以下各组线段为边，可以组成三角形的是
A. 2 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，5 cm，7 cm
C. 2 cm，5 cm，8 cmD. 4 cm，5 cm，8 cm
4. 下列等式从左到右变形正确的是
A. yx=y+1x+1B. yx=ayaxC. yx=a2ya2xD. yx=a2+1ya2+1x
5. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A. 15B. 0.5C. 5D. 50
6. 知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到 B，C 两处景区游玩，他们从家 A 处出发，向正北行驶 160 km 到达 B 处，若在 A 处测得景区 C 在北偏西 34∘ 方向上，且 ∠ACB=32∠BAC，则在 B 处测得景区 C 应位于
A. 北偏西 68∘B. 南偏西 85∘C. 北偏西 85∘D. 南偏西 68∘
7. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18
8. 设 5=m，7=n，则 0.056 可以表示为
A. mn25B. mn20C. mn15D. mn10
9. 若三角形的三边长分别是 a，b，c，且 a−252+a−b−1+∣c−4∣=0，则这个三角形的周长是
A. 25+5B. 45−3C. 45+5D. 45+3
10. 如图所示，已知线段 a，h，作等腰 △ABC，使 AB=AC，且 BC=a，BC 边上的高 AD=h．小红的作法如下：
①作线段 BC=a；
②作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D；
③在直线 MN 上截取线段 h；
④连接 AB，AC，△ABC 为所求的等腰三角形．
上述步骤中，错误的一步是
A. ①B. ②C. ③D. ④
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 a 、 b 互为相反数，c 、 d 互为负倒数，则 a+b+3cd= .
12. 当 x 时，分式 x2−1x+1 的值为零．
13. 81 的算术平方根是 ．
14. 若整数 x 满足 ∣x∣≤3，则使 7−x 为整数的 x 的值是 ．
15. 已知等腰三角形的一个内角等于 100∘，那么这个等腰三角形的底角等于 度．
16. 如果等腰直角三角形斜边上的高等于 5 cm，那么连接这个三角形两条直角边中点的线段长等于 cm．
17. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论中：
① ∠ABC=∠ADC；
② AC 与 BD 相互平分；
③ AC，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；
④四边形 ABCD 的面积 S=12AC⋅BD．
正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
18. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．
三、解答题（共11小题；共143分）
19. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．
20. 计算：5×6−215÷15．
21. 先化简，再求值：x−2−12x+2÷4−xx+2，其中 x=−4+3．
22. 已知 a=2−1，求 a2+1a2−2 的值．
23. 解关于 x 的方程：x+1x+2+x+6x+7=x+2x+3+x+5x+6．
24. 先化简，再求值：a−2a2+2a−a−1a2+4a+4÷a−4a+2，其中 a=−1．
25. 某校八年级学生到离学校 25 km 处的时思社会实践基地进行社会实践活动，部分同学骑自行车出发 40 分钟后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的 3 倍，全体学生同时到达，求自行车的速度?
26. 解分式方程：3x2−9−2x−3=1x+3．
27. 如图，在 △ABC 中，AB=AC．
（1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB，连 AE，作 ∠EAC 的平分线 AF，AF 交 DE 于点 F （ 用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ）；
（2）在（1）条件下，连接 CF，求证：∠E=∠ACF．
28. 当 a=2 时，求下列二次根式的值．
（1）4a−8．
（2）a2−2a+5．
29. 如图，将 △ADE 沿 DE 折叠，点 A 恰好落在 BC 边上的点 Aʹ 处．若 D 为 AB 边的中点，∠B=50∘，求 ∠BDAʹ 的度数．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. D【解析】A 、分子分母加减，分式的值改变，故A错误；
B 、当 a=0 时分式无意义，故B错误；
C 、当 a=0 时分式无意义，故C错误；
D 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D正确．
5. C
6. C【解析】如图，
根据题意可知 ∠A=34∘，
∵∠ACB=32∠BAC，
∴∠ACB=32×34∘=51∘．
由三角形外角的性质可知 ∠1=∠ACB+∠BAC=34∘+51∘=85∘．
故选C．
7. C
8. A【解析】0.056=561000=56010000=16×5×710000=4×5×7100=mn25
9. D
10. C
第二部分
11. −1
12. x=1
13. 3
14. −2 或 3
15. 40
16. 5
17. ①④
【解析】①在 △ABC 和 △ADC 中，
AB=AD,BC=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADCSSS，
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
② ∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而 AB 与 BC 不一定相等，所以 AO 与 OC 不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的 ∠BAD，∠BCD，
而 AB 与 BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的 ∠ABC，∠ADC；
故③结论不正确；
④ ∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=12BD⋅AO+12BD⋅CO=12BD⋅AO+CO=12AC⋅BD.
故④结论正确；
所以正确的有：①④．
18. 322+16
第三部分
19. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12
20. 2−2
21. 原式=x−2x+2−12x+2÷4−xx+2=x2−16x+2×x+24−x=x+4x−4x+2×−x+2x−4=−x+4.
当 x=−4+3 时，
原式=−−4+3−4=4−3−4=−3.
22. ∵ a=2−1，
∴ 1a=2+1，
∴ 原式=a−1a2=4=2．
23. 根据题意移项，得
x+2x+3−x+1x+2=x+6x+7−x+5x+6.
左右两边通分，得
1x+3x+2=1x+7x+6.
解方程可得
x=−92.
24. 原式=a−2aa+2−a−1a+22÷a−4a+2=a2−4aa+22−a2−aaa+22÷a−4a+2=a−4aa+22⋅a+2a−4=1a2+2a.
当 a=−1 时，原式=1−12+2×−1=−1．
25. 设自行车的速度为 x km/h，则汽车的速度是 3x km/h，
25x−4060=253x,
解之得：
x=25,
经检验；x=25 是方程的解，
答：自行车的速度是 25 km/h．
26.
3−2x+3=x−3.3−2x−6=x−3.−3x=0.x=0.
经检验，x=0 是原方程的解，
∴ 原方程的解是
x=0.
27. （1） 如图．
（2）
∵AF 平分 ∠EAC，
∴∠EAF=∠CAF．
∵AE=AB=AC，
AF=AF．
∴△ACF≌△AEF．
∴∠E=∠ACF．
28. （1） 当 a=2 时，
4a−8=4×2−8=0=0.
（2） 当 a=2 时，
a2−2a+5=22−2×2+5=5.
29. ∵D 是 AB 的中点，
∴BD=AD．
由折叠的性质，得
AʹD=AD，
∴BD=AʹD．
∴∠BAʹD=∠B=50∘．
∵∠B+∠BAʹD+∠BDAʹ=180∘，
∴∠BDAʹ=180∘−∠B−∠BAʹD=80∘．
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