北师大版2021-2022学年八年级数学上册考点专项训练——常见二次根式化简求值的八种技巧(附参考答案)
展开方法总结:在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式内仍然适用,运算的最后结果注意要化简到最简形式.在进行化简时,一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件,根据题目的特点,选取适当的解题方法.
技巧1:
估算法
1.估计eq \r(32)×eq \r(\f(1,4))+eq \r(18)的运算结果应在( )
A.5到6之间 B.6到7之间
C.7到8之间 D.8到9之间
2.若将三个数-eq \r(3),eq \r(7),eq \r(11)在数轴上对应的点表示出来,则这三个数中被如图所示的墨汁覆盖的点所表示的数是________.
(第2题)
技巧2:
公式法
3.计算:(5+eq \r(6))×(5eq \r(2)-2eq \r(3)).
技巧3:
拆项法
4.计算:eq \f(\r(6)+4\r(3)+3\r(2),(\r(6)+\r(3))(\r(3)+\r(2))).[提示:eq \r(6)+4eq \r(3)+3eq \r(2)=(eq \r(6)+eq \r(3))+3(eq \r(3)+eq \r(2))]
技巧4:
倒数法
5.化简:eq \f(\r(6)+\r(3)+\r(2)+2,\r(3)+2\r(2)+1).
技巧5:
约分法
6.计算:eq \f(\r(2)+\r(3),2+\r(6)+\r(10)+\r(15)).
技巧6:
配方法
7.化简:2eq \r(3-2\r(2))+eq \r(17-12\r(2)).
技巧7:
平方法
8.化简:eq \f(\r(\r(10)+3)+\r(\r(10)-3),\r(\r(10)+1)).
技巧8:
换元法
9.化简:eq \f(\r(2)+\r(5)-\r(3),2\r(30)-6\r(2)+4\r(3)).
参考答案
1.C
2.eq \r(7) 解析:因为-eq \r(3)<0,2<eq \r(7)<3,3<eq \r(11)<4,所以被墨汁覆盖的点所表示的数为eq \r(7).
3.解:原式=(5+eq \r(6))×(5eq \r(2)-eq \r(2)×eq \r(6))
=(5+eq \r(6))×[eq \r(2)×(5-eq \r(6))]
=eq \r(2)×(5+eq \r(6))×(5-eq \r(6))
=eq \r(2)×(25-6)
=19eq \r(2).
4.解:原式=eq \f((\r(6)+\r(3))+3(\r(3)+\r(2)),(\r(6)+\r(3))(\r(3)+\r(2)))
=eq \f(\r(6)+\r(3),(\r(6)+\r(3))(\r(3)+\r(2)))+eq \f(3(\r(3)+\r(2)),(\r(6)+\r(3))(\r(3)+\r(2)))
=eq \f(1,\r(3)+\r(2))+eq \f(3,\r(6)+\r(3))
=eq \r(3)-eq \r(2)+eq \r(6)-eq \r(3)
=eq \r(6)-eq \r(2).
5.解:设原式=eq \f((\r(3)+\r(2))(\r(2)+1),(\r(3)+\r(2))+(\r(2)+1))=x,
则eq \f(1,x)=eq \f(1,\r(3)+\r(2))+eq \f(1,\r(2)+1)
=eq \r(3)-eq \r(2)+eq \r(2)-1
=eq \r(3)-1.
所以原式=x=eq \f(1,\r(3)-1)=eq \f(\r(3)+1,2).
6.解:原式=eq \f(\r(2)+\r(3),\r(2)(\r(2)+\r(3))+\r(5)(\r(2)+\r(3)))
=eq \f(\r(2)+\r(3),(\r(2)+\r(3))(\r(2)+\r(5)))
=eq \f(1,\r(2)+\r(5))
=eq \f(\r(5)-\r(2),3).
7.解:2eq \r(3-2\r(2))+eq \r(17-12\r(2))
=2eq \r(2-2× \r(2)×1+1)+eq \r(9-2×3×2 \r(2)+8)
=2eq \r((\r(2)-1)2)+eq \r((3-2\r(2))2)
=2eq \r(2)-2+3-2eq \r(2)=1.
8.解:设原式=x,则x2=eq \f(2\r(10)+2,\r(10)+1)=2,
所以原式=x=eq \r(2).
9.解:设a=eq \r(2),b=eq \r(5),c=eq \r(3),则
原式=eq \f(a+b-c,2(abc-ac2+a2c))
=eq \f(a+b-c,2ac(b-c+a))=eq \f(1,2ac)=eq \f(1,2\r(6))=eq \f(\r(6),12).
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