北师大版2021-2022学年八年级数学上册考点专项训练——比较二次根式大小的八种方法（附参考答案）

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方法指导：二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法等．
方法1：
平方法
1．比较eq \r(6)＋eq \r(11)与eq \r(14)＋eq \r(3)的大小．
方法2：
作商法
2．比较4－eq \r(3)与2＋eq \r(3)的大小．
方法3：
分子有理化法
3．比较eq \r(15)－eq \r(14)与eq \r(14)－eq \r(13)的大小．
方法4：
分母有理化法
4．比较eq \f(1,2－\r(3))与eq \f(1,\r(3)－\r(2))的大小．
方法5：
作差法
5．比较eq \f(\r(19)－1,3)与eq \f(2,3)的大小．
方法6：
倒数法
6．已知x＝eq \r(n＋3)－eq \r(n＋1)，y＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，试比较x，y的大小．
方法7：
特殊值法
7．用“<”连接x，eq \f(1,x)，x2，eq \r(x).(0 方法8：
定义法
8．比较eq \r(5－a)与eq \r(3,a－6)的大小．
参考答案
1．解：因为(eq \r(6)＋eq \r(11))2＝17＋2eq \r(66)，
(eq \r(14)＋eq \r(3))2＝17＋2eq \r(42)，
且17＋2eq \r(66)＞17＋2eq \r(42)，
所以(eq \r(6)＋eq \r(11))2>(eq \r(14)＋eq \r(3))2.
又因为eq \r(6)＋eq \r(11)>0，eq \r(14)＋eq \r(3)>0，
所以eq \r(6)＋eq \r(11)＞eq \r(14)＋eq \r(3).
2．解：因为eq \f(4－\r(3),2＋\r(3))＝(4－eq \r(3))(2－eq \r(3))＝11－6eq \r(3)，6eq \r(3)≈10.39，
所以11－6eq \r(3)＜1.
又因为4－eq \r(3)>0，2＋eq \r(3)>0，
所以4－eq \r(3)＜2＋eq \r(3).
3．解：因为eq \r(15)－eq \r(14)
＝eq \f(（\r(15)－\r(14)）（\r(15)＋\r(14)）,\r(15)＋\r(14))
＝eq \f(1,\r(15)＋\r(14))，
eq \r(14)－eq \r(13)
＝eq \f(（\r(14)－\r(13)）（\r(14)＋\r(13)）,\r(14)＋\r(13))
＝eq \f(1,\r(14)＋\r(13))，
且eq \r(15)＋eq \r(14)＞eq \r(14)＋eq \r(13)，eq \r(15)＋eq \r(14)>0，eq \r(14)＋eq \r(13)>0，
所以eq \f(1,\r(15)＋\r(14))即eq \r(15)－eq \r(14)＜eq \r(14)－eq \r(13).
4．解：因为eq \f(1,2－\r(3))＝2＋eq \r(3)，eq \f(1,\r(3)－\r(2))＝eq \r(3)＋eq \r(2)，2＋eq \r(3)＞eq \r(3)＋eq \r(2)，
所以eq \f(1,2－\r(3))＞eq \f(1,\r(3)－\r(2)).
5．解：因为eq \f(\r(19)－1,3)－eq \f(2,3)＝eq \f(\r(19)－3,3)，eq \r(19)－3>0，所以eq \f(\r(19)－3,3)>0.所以eq \f(\r(19)－1,3)>eq \f(2,3).
6．解：eq \f(1,x)＝eq \f(1,\r(n＋3)－\r(n＋1))＝
eq \f(\r(n＋3)＋\r(n＋1),2)＞0，
eq \f(1,y)＝eq \f(1,\r(n＋2)－\r(n))＝eq \f(\r(n＋2)＋\r(n),2)＞0.
因为eq \r(n＋3)＋eq \r(n＋1)＞eq \r(n＋2)＋eq \r(n)＞0，
所以eq \f(1,x)＞eq \f(1,y)＞0.所以x＜y.
7．解：因为0＜x＜1，所以不妨取特殊值x＝eq \f(1,4)，则x2＝eq \f(1,16)，eq \r(x)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,x)＝4.
所以x2＜x＜eq \r(x)＜eq \f(1,x).
8．解：因为5－a≥0，所以a≤5.
所以a－6＜0.
所以eq \r(3,a－6)＜0.
所以eq \r(5－a)＞eq \r(3,a－6).