专题03 二次根式化简的两种类型-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题03 二次根式化简的两种类型

类型一、利用性质化简二次根式

例1．若成立，则满足的条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：，，解得，

故选：D．

例2．若实数a满足ab，则化简的结果为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：∵ ，∴

∴，

故选：A

例3．已知，则2x﹣y的平方根是____．

【答案】±3

【详解】解：由题意可得，解得：x＝5，∴，

∴2x﹣y＝2×5﹣1＝9，∴2x﹣y的平方根是±3，

故答案为：±3．

例4．如图：化简_________．

【答案】

【详解】解：由数轴可知，，

则，所以

，故答案为：．

【变式训练1】已知，则的值为（    ）

A．6 B． C．4 D．

【答案】A

【解析】∵，∴a-13=0，∴a=13，

∴b=-10，∴=，

故选：A．

【变式训练2】已知，则的化简结果为（       ）

A． B． C．2 D．－2

【答案】C

【详解】解：∵，∴，，

∴，，

∴，

故选C．

【变式训练3】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是________．

【答案】

【详解】解：由题意得：a<0，a−b<0，b>0

则=−a+(b−a)+b=−a+b−a+b

=−2a+2b．

故答案为：−2a+2b．

【变式训练4】若5，12，m为三角形的三边长，则化简＋m的结果为_____．

【答案】

【详解】解∶∵5，12，m为三角形的三边长，

∴12-5＜m＜12+5，即7＜m＜17，

∴5-m＜0，∴===．

故答案为：．

【变式训练5】已知，求的值．

【答案】

【详解】解：，

∴，

即，

 ∴，     解得：，   

∴．

【变式训练6】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为__________．

【答案】－2a

【详解】解：由数轴可得：a﹣b＜0，b﹣＜0，

∴

＝b﹣a+﹣b﹣a﹣＝﹣2a．

故答案为：﹣2a．

类型二、复合二次根式化简

例．我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：

例：求的算术平方根．

解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：

(1)填空：=                ；

=                ；

(2)化简：++++．

【答案】(1)；；(2)；

【解析】(1)解：；

；

(2)解：，

，

，

，

．

．

【变式训练1】先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得

，，那么便有：

 例如：化简；

 解：首先把化为，这里，，由于4+3=7，

 即，

 ∴==

(1)化简：；(2)化简：；(3)化简：．

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】(1)解：根据，可得：，，

，，

即，，

；

(2)解：根据，可得：，，

 ，，即，，

；

(3)解：根据，可得：，，

  ，，

即，，

 ．

【变式训练2】在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．

请利用“平方法”解决下面问题：

(1)比较c＝4，d＝2大小，c      d（填写＞，＜或者＝）．

(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．

(3)化简：＝            （直接写出答案）．

【答案】(1)c>d；(2)m<n，证明过程见解析；(3)4或4

【解析】(1)解：∵c2=32，d2=28，则c2>d2，∴c>d；故答案为：>．

(2)解：猜想：m<n，

证明：∵m＝，n＝，

∴m2=()2=26+4， n2＝()2=26+4，

∵<，∴m2<n2，∴m<n；

(3)解：∵，，

∴=2=2+2

∵≥0

∴p≥1，

分情况讨论：

①若≤0，即1≤p≤2时，原式=2+2=4；

②若>0，即p>2时，

原式=2+2=4

综合①②得：当1≤p≤2时，原式=4；

当p>2时，原式=4；

故答案为：4或4．

【变式训练3】阅读下列解题过程：

＝＝；

＝＝；

＝＝＝2﹣；…则：

（1）＝　　；＝　　；

（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝　　；

（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．

【答案】（1）；；（2）；（3）﹣＞﹣

【详解】解：（1）；

；

（2）由题意可知：．

（3）由于，，∵，∴，

∴，∴．

故答案为：（1），．

（2）．