知识讲解_二元一次不等式（组）与平面区域_提高练习题

二元一次不等式（组）与平面区域

编稿：张希勇    审稿：李霞  

【学习目标】

1.     了解不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.
2.     会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
3.     理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域.

【要点梳理】

要点一：二元一次不等式（组）的定义

1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.

2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.

要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数.

要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.

 二元一次不等式所表示的平面区域：

在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：

①直线上的点（x，y）的坐标满足：；

②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；

③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.

即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.

要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定

二元一次不等式表示的平面区域

由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当时，常把原点作为此特殊点）

以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法.

不等式组所表示的平面区域

由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

2. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：

①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；

②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；

③确定要画不等式所表示的平面区域.

要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法.

【典型例题】

类型一：二元一次不等式表示的平面区域

例1.  画出不等式表示的平面区域.

【解析】先画直线（画成虚线）.

取原点代入得,

∴原点不在表示的平面区域内，

不等式表示的区域如图：

【总结升华】

1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当时，常把原点作为此特殊点.

2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线

举一反三：

【变式】画出下列不等式所表示的平面区域

（1）；  （2）

【答案】

（1）                （2）

类型二：二元一次不等组表示的平面区域

例2. 用平面区域表示不等式组

【思路点拨】

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

【解析】不等式－y+5≥0表示直线－y+5＝0上及右下方的点的集合，+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：

【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式组.

【解析】不等式表示直线右下方的区域，

表示直线右上方的区域，

取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.

【变式2】画出下列不等式组表示的平面区域.

（1）； （2）；   （3）.

【答案】

（1）                 （2）                      （3）

【变式3】由直线，和围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为                .

【答案】

例3. 画出下列不等式表示的平面区域

(1) ； (2)

【思路点拨】将原不等式等价转化为不等式组，然后画图.

【解析】

(1) 原不等式等价转化为或（无解），

故点在区域内，如图：

(2) 原不等式等价为或，如图

【总结升华】把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式

【答案】

【变式2】用平面区域表示不等式

（1）；  （2）； （3）

【答案】

（1）               （2）                  （3）

【变式3】（2015  开封模拟）设不等式，表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________。

【答案】作出区域D的图象，联系指数函数y=ax的图象，能够看出，

当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点。

则a的取值范围是1＜a≤3。

故答案为：1＜a≤3。

类型三：求平面区域的面积

【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域  392663例题1】

例4：求不等式组表示的平面区域的面积.

【解析】

【法1】（特殊三角形）

显然为等腰直角三角形，，，

易得B点坐标为，C点坐标为 ，则

∴ .

【法2】（面积公式）

易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为 ，

则

由点到直线的距离公式得高

∴ .

【法3】（向量法）

易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为 ，

则，

∴ .

故不等式组表示的平面区域的面积等于36.

【总结升华】这一类问题的关键是正确画出所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示的平面区域的应用，注意图形的分解转化

举一反三：

【变式1】若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为          

【答案】

【变式2】（2015  衡阳二模）如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】

有两种情形：

（1）直角由y＝2x与kx-y+1＝0形成（如图），则

∵  2×k＝-1，

∴  与的交点坐标为，

三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，，

∴  该三角形的面积为；

（2）直角由x＝0与kx-y+1＝0形成（如图），则k＝0，

∴  由x＝0与-y+1＝0交于点

三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)，，

∴  该三角形的面积为．

综上所述，三角形的面积为或

故选C．

【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域392663 例题3】

【变式3】若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，

则值是(  )

A、     B、     C、     D、

【答案】A.

【解析】不等式组表示的平面区域是及其内部（如图），其顶点分别为、、

∵直线必过定点，

∴只有直线过的中点时，直线才能平分平面区域

则，即.故选A.

例5．(2015  重庆)若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(    )．

A．-3    B．1    C．  D．3

【答案】B

【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．

【解析】

作出不等式组对应的平面区域如图：

若表示的平面区域为三角形，

由，得，即A(2，0)，

则A(2，0)在直线x-y+2m＝0的下方，

即2+2m＞0，

则m＞-1，

则A(2，0)，D(-2m，0)，

由，解得，即B(1-m，1+m)，

由，解得，即．

则三角形ABC的面积

即，

即

解得m＝1或m＝-3（舍），

故选B：

【总结升华】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键。

举一反三：

【变式】在平面直角坐标系中，若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)

A．－5  B．1

C．2   D．3

【答案】　D

类型四：实际应用问题

例6. 某运输公司有7辆重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，有9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，列出满足搬运条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.

【思路点拨】本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。

【解析】　设每天出动A型车辆，B型车辆，则

即

【总结升华】用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，在画出表示的区域.

举一反三：

【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域392663 例题4】

【变式1】某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).

分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．

【答案】　设开设初中班x个，高中班y个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30.

考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40.

另外，开设的班数不能为负且为整数，即，.

把上面四个不等式合在一起，得到：

用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．

【变式2】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：

该厂有工人200人，每天只能保证160/kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150t，试写出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.

【答案】设每天生产甲、乙两种产品为别为xt和yt，有