知识讲解_任意角的三角函数_基础练习题

任意角的三角函数

【学习目标】

1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.

2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.

3．会应用三角函数的定义解决相关问题。

【要点梳理】

要点一：三角函数定义

设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:

(1)叫做的正弦,记做,即；

(2)叫做的余弦,记做,即；

(3)叫做的正切,记做,即.

要点诠释：

三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。

要点二：三角函数在各象限的符号

三角函数在各象限的符号：

在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

要点诠释：

口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。

要点三：诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等

，其中

，其中

，其中

要点诠释：

该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.

要点四：单位圆中的三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.

要点诠释：

三条有向线段的位置：

正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；

余弦线在轴上；

正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；

三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.

【典型例题】

类型一：三角函数的定义

例1．已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值。

【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论

【答案】，，或，，

【解析】  。

若a＞0，则r=5a，是第二象限角，则

，

，

，

若a＜0，则r=－5a，是第四象限角，则

，，。

【总结升华】  本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。

举一反三：

【变式1】已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。

【答案】或

【解析】因为角的终边在直线上，

所以可设为角终边上任意一点。

则（a≠0）。

若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以

，

，

。

若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。

类型二：三角函数的符号

例2．判断下列各三角函数值的符号

（1）；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。

【答案】（1）正（2）正（3）正

【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。

（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0。

∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0。

∴tan120°·sin269°＞0。

（3）∵191°是第三象限的角，

∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0。

举一反三：

【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】

【变式1】确定下列各三角函数值的符号.

（1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6），其中是第二象限角.

【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负

【变式2】（2015秋 甘肃定西月考）已知sin＜0，tan＞0．

    （1）求角的集合；

（2）求终边所在象限；

（3）试判断的符号．

【答案】（1）；（2）略；（3）略

【解析】（1）∵sin＜0，

∴为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，

∵tan＞0，

∴为第一、三象限角，

∴为第三象限角，即角的集合为：．

（2）由（1）可得：，k∈Z

当k是偶数时，在第二象限，

当k是奇数时，在第四象限．

（3）∵，

∴当k是偶数时，在第二象限，

则，，．可得：，

当k是奇数是，在第四象限，

则，，，可得：，

综上，．

类型三：诱导公式一的应用

例3．（1）

（2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°。

【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。

【答案】（1）（2）4

【解析】（1）原式。

（2）原式= sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)

         =sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。

【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。

举一反三：

【变式1】计算：

（1）

（2）sin1170°+tan405°+cos720°。

【答案】（1）（2）3

【解析】

（1）原式。

（2）原式= sin(3×360°+90°)+tan(360°+45°) +cos(0°+2×360°)

         =sin90°+tan45°+cos0°=3。

类型四：三角函数线的应用

例4．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角的终边。

①；②；③tan=2；

（2）比较sin1155°与sin（―1654°）的大小。

【答案】（1）略（2）>

【解析】（1）①作直线交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角的终边，如下图①。

②作直线交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角的终边。如下图②。

③在直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角的终边。如下图③。

（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数。

sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,

sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°。

在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M2P2，M1P1（如图）。

因为M1P1＜M2P2，所以sin1155°>sin（－1654°）。

【总结升华】  （1）三角函数线可以用来求出满足形如的三角函数的角的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的。

（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小。

举一反三：

【变式1】求证：当时，sin＜＜tan。

【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：

在Rt△POM中，sin=MP；

在Rt△AOT中，tan=AT。

又根据弧度制的定义，有。

易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，

即，

即sin＜＜tan。

例5．（2015春 辽宁大连月考）利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围．

（1）；

（2）sin＜cos．

【思路点拨】（1）首先在[0，2π]范围内找到三角函数线为－1，的角度，然后再由终边相同角写出集合．

（2）首先在[0，2π]范围内找到三角函数线为OM＞BM的的角度，然后再由终边相同角定出集合．

【解析】如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆，把角的顶放到原点，角的始边放到x轴的正半轴上．

设的终边与单位圆的交点为B，单位圆和x轴的正半轴的交点为A，再作BM⊥x轴，M为垂足，则有BM=sin，OM=cos，OA=1．

    （1）在单位圆中时，在[0，2π]的角度是，或，

所以取值范围为：，或，k∈Z．

（2）在单位圆中sin＜cos时，在[0，2π]的角度是，或，

所以取值范围为：，或，k∈Z．

【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．

类型五：三角函数定义域的求法

例6．求函数的定义域。

【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。

【答案】

【解析】 由题意得。

由图可知：

sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；

tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。

从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。

∴该函数的定义域为：

。

【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义。（2）不可忽略正切函数自身的定义域。

举一反三：

【变式1】求函数的定义域：

【答案】

【解析】 要使函数有意义，需tan x≠0，

∴（k∈Z）且x≠kπ（k∈Z）

∴（k∈Z）。

∴函数的定义域为。